山東省青島市黃島區(qū)第四中學2021-2022學年高三數學理模擬試題含解析

山東省青島市黃島區(qū)第四中學2021-2022學年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“，且”是“”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A2.已知函數對定義域內的任意都有=，且當時其導函數滿足若則A．

B．C．

D．參考答案：C略3.用數學歸納法證明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時，由n=k（k＞1）不等式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數是（

）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1參考答案：C【分析】考查不等式左側的特點，分母數字逐漸增加1，末項為，然后判斷n=k+1時增加的項數即可．【解答】解：左邊的特點：分母逐漸增加1，末項為；由n=k，末項為到n=k+1，末項為=，∴應增加的項數為2k．故選C．【點評】本題是基礎題，考查數學歸納法證明問題的第二步，項數增加多少問題，注意表達式的形式特點，找出規(guī)律是關鍵．4.已知實數x，y滿足：，z=|2x﹣2y﹣1|，則z的取值范圍是(

)A．[，5] B．[0，5] C．[0，5） D．[，5）參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】數形結合；不等式的解法及應用．【分析】由約束條件作出可行域如圖，令u=2x﹣2y﹣1，由線性規(guī)劃知識求出u的最值，取絕對值求得z=|u|的取值范圍．【解答】解：由約束條件作可行域如圖，聯立，解得，∴A（2，﹣1），聯立，解得，∴．令u=2x﹣2y﹣1，則，由圖可知，當經過點A（2，﹣1）時，直線在y軸上的截距最小，u最大，最大值為u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；當經過點時，直線在y軸上的截距最大，u最小，最小值為u=．∴，∴z=|u|∈[0，5）．故選：C．【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數學轉化思想方法，求z得取值范圍，轉化為求目標函數u=2x﹣2y﹣1的取值范圍，是中檔題．5.己知三棱錐A﹣BCD的所有頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為．BC=4，BD=，∠CBD=90°，則球O的表面積為（）A．11π B．20π C．23π D．35π參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】先利用體積，求出A到平面BCD的距離，可得O到平面BCD的距離，再利用勾股定理，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．【解答】解：由題意，設A到平面BCD的距離為h，則∵該三棱錐的體積為．BC=4，BD=，∠CBD=90°，∴××4×h=，∴h=2，∴O到平面BCD的距離為1，∵△BCD外接圓的直徑BD=，∴OB==，∴球O的表面積為4π×=23π．故選：C．【點評】本題考查球O的表面積，考查學生的計算能力，是中檔題，確定球的半徑是正確解題的關鍵．6.如圖，已知邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1，點E為線段CD1的中點，則直線AE與平面A1BCD1所成角的正切值為A.

B.

C.

D.參考答案：A7.設集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}，則A∩B=(

)A．（﹣1，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）參考答案：A【考點】交集及其運算．【專題】計算題．【分析】求解一元二次不等式化簡集合B，然后直接利用交集運算進行求解．【解答】解：由A={x|﹣1＜x＜2}，又B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B={x|﹣1＜x＜2}∩{x|﹣1≤x≤1}=（﹣1，1]．故選A．【點評】本題考查了交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎的運算題．8..曲線與直線及所圍成的封閉圖形的面積為A.

B.

C.

D.參考答案：A9.命題“”的否定為

（

）

A.

B.C.

D.參考答案：B略10.函數的值域是A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若數列是等差數列，則數列也為等差數列，類比上述性質，若數列是等比數列，且，則有________也是等比數列．參考答案：12.不等式，對任意恒成立，則實數的取值范圍是

參考答案：方法一：令，當時，不等式為不合題意；當時，需，解得；綜上方法二：，【考點】不等式恒成立問題13.將函數圖像上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再將所得圖像向左平移個單位得到函數g(x)的圖像，在g(x)圖像的所有對稱軸中，離原點最近的對稱軸方程為A．

B．

C．

D．參考答案：A14.某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為

.參考答案：2試題分析：由三視圖知該幾何體是四棱錐，．考點：三視圖，體積．【名師點睛】三視圖問題，關鍵是由三視圖畫出幾何體的直觀圖而且也是難點，有許多幾何體可以看作是由正方體（或長方體）切割形成的，因此在畫直觀圖時，我們可以先畫出正方體（或長方體），然后在正方體（或長方體）上取點，想投影，連線，得結論（幾何體直觀圖），這樣做幾何體中線面位置關系與線段長度都能明確顯示，易于求解．15.復數且，則的值為_______;參考答案：解析：∵

所以.16.下列命題：①數列為遞減的等差數列且，設數列的前項和為，則當時，取得最大值；②設函數，則滿足關于的方程的充要條件是對任意均有；③在長方體中，，直線與平面所成角的正弦值為；④定義在上的函數滿足且，已知，則是的充要條件.

其中正確命題的序號是

（把所有正確命題的序號都寫上）.參考答案：②③④略17.已知a＝(m,n－1)，b＝(1,1)(m、n為正數)，若a⊥b，則的最小值是________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，,,為的中點，,=.（Ⅰ）求證：平面⊥平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：（I）見解析；（II）.試題分析：（Ⅰ）欲證面面垂直，應先證線線垂直、線面垂直.注意到在中的邊長關系，應用勾股定理逆定理可得為直角三角形，．又，且是的中點，可得，從而證得平面，即證得平面平面．又，平面又面平面平面．（6分）（Ⅱ）以點為坐標原點，建立如圖

所示直角坐標系，則，．設平面的法向量為，則有19.（本小題共14分）如圖，三棱柱中，⊥平面，，，，為的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在側棱上是否存在點，使得⊥平面？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．參考答案：【知識點】立體幾何綜合【試題解析】（Ⅰ）證明：連接，與相交于，連接．

∵是矩形，∴是的中點．

又是的中點，∴∥．

∵平面，平面，

∴∥平面．

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系，則，

，，，，

設是平面的一個法向量，

則即

令，則，

易知是平面的一個法向量，

∴，

由題意知二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

（Ⅲ）假設側棱上存在一點

()，使得平面．

則，即∴．

∴方程組無解．∴假設不成立．

∴側棱上不存在點，使⊥平面．20.（本小題滿分14分）設數列{an}的前n項和為Sn，滿足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數列．（1）

求a1的值；（2）

求數列{an}的通項公式．（3）

證明：對一切正整數n，有.參考答案：本題考查由數列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學生的運算求解能力與推理論證能力，難度一般.21.已知函數，．（1）若函數在處取得極值，求的值；（2）若函數的圖象上存在兩點關于原點對稱，求的范圍．參考答案：（1）當時，，………2分∵在處取得極值∴，即解得：，經驗證滿足題意，∴．

………5分（2）的圖象上存在兩點關于原點對稱，即存在圖象上一點，使得在的圖象上則有

………8分化簡得：，即關于的方程在內有解

………9分設，則∵∴當時，；當時，即在上為減函數，在上為增函數∴，且時，；時，即值域為