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山西省臨汾市堯都區(qū)第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖,在公路的兩側(cè)有四個(gè)村鎮(zhèn):,它們通過小路和公路相連,各路口分別是.某燃?xì)夤疽诠放越ㄒ粋€(gè)調(diào)壓站,并從調(diào)壓站出發(fā)沿公路和各小路通過低壓輸配管道(每個(gè)村鎮(zhèn)單獨(dú)一條管道)將燃?xì)馑偷礁鞔彐?zhèn),為使低壓輸配管道總長度最小,調(diào)壓站應(yīng)建在A.處
B.段公路旁的任一處
C.處
D.段公路旁的任一處參考答案:D2.是經(jīng)過雙曲線焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的直線,是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn),若在上存在一點(diǎn),使,則雙曲線離心率的最大值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A考點(diǎn):雙曲線的幾何性質(zhì)及運(yùn)用.【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和基本不等式的綜合運(yùn)用,屬于難題.本題利用雙曲線的幾何特征,建立關(guān)于為變量的正切函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,通過計(jì)算求得,即,由此計(jì)算得雙曲線的離心率.3.某校高三一班有學(xué)生54人,二班有學(xué)生42人,現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加視力測試,則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是(
)(A)8,8(B)9,7
(C)10,6(D)12,4參考答案:B略4.直線的傾斜角的取值范圍是A. B. C. D.參考答案:B直線的斜截式方程為,所以斜率為,即,所以,解得,即傾斜角的取值范圍是,選B.5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于(
) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限參考答案:B略6.在矩形中,,,點(diǎn)為矩形內(nèi)一點(diǎn),則使得的概率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D7.若,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A8.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A.(-∞,0)
B.(0,+∞)
C.(0,1)
D.參考答案:D9.在△ABC中,AB=3,AC=2,D為BC的中點(diǎn),則(
)A.-5 B. C. D.5參考答案:B由題意,如圖所示,根據(jù)平面向量的基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,可得,故選B.
10.已知函數(shù),若,則的取值范圍是 A.
B.
C.
D.參考答案:D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的圓心在第一象限,圓C與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),且與直線x﹣y+1=0相切,則圓C的半徑為
.參考答案:【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系.【專題】計(jì)算題;直線與圓.【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo),利用圓C與x軸交于A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn),且與直線x﹣y+1=0相切,建立方程,即可求得圓C的半徑.【解答】解:由題意,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,b)(b>0),則=,∴b2+6b﹣7=0∵b>0,∴b=1∴圓C的半徑為故答案為:【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12.從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個(gè)數(shù),欲使取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,則k=
.參考答案:7考點(diǎn):古典概型及其概率計(jì)算公式.專題:概率與統(tǒng)計(jì).分析:,先求出所有的基本事件有45種,再求出取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k的基本事件有(k﹣1)(10﹣k),根據(jù)古典概率公式即可得到關(guān)于k的方程解得即可解答: 解:從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取兩個(gè)數(shù)的基本事件有=45種,取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k,比k的小的數(shù)有(k﹣1)個(gè).比k的大的數(shù)有(10﹣k)個(gè),故有=(k﹣1)(10﹣k),所以取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是P==,解得k=7故答案為:7點(diǎn)評:本題考查了古典概型的概率公式的應(yīng)用,關(guān)鍵是求出取到的一個(gè)數(shù)大于k,另一個(gè)數(shù)小于k的基本事件,屬于基礎(chǔ)題13.(5分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0,1),它在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x0,2)和(x0+2π,﹣2)則f(x)=.參考答案:2sin(x+)【考點(diǎn)】:由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式.【專題】:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】:根據(jù)圖象求出A,T,求出ω,圖象經(jīng)過(0,1),求出φ,然后求f(x)的解析式解:(1)由題意可得:A=2,=2π,T=4π∴ω===,∴f(x)=2sin(x+φ)∴f(0)=2sinφ=1,由|φ|<),∴φ=.(∴,故答案為:2sin(x+)【點(diǎn)評】:本題考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,考查計(jì)算能力,視圖能力,是基礎(chǔ)題14.設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù),f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),則f(5)=
.參考答案:【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.【專題】計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.【分析】利用奇函數(shù)的定義、函數(shù)滿足的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解函數(shù)在特定自變量處的函數(shù)值是解決本題的關(guān)鍵.利用函數(shù)的性質(zhì)尋找并建立所求的函數(shù)值與已知函數(shù)值之間的關(guān)系,用到賦值法.【解答】解:由f(1)=,對f(x+2)=f(x)+f(2),令x=﹣1,得f(1)=f(﹣1)+f(2).又∵f(x)為奇函數(shù),∴f(﹣1)=﹣f(1).于是f(2)=2f(1)=1;令x=1,得f(3)=f(1)+f(2)=,于是f(5)=f(3)+f(2)=.故答案為:.【點(diǎn)評】本題考查抽象函數(shù)求值的方法,考查函數(shù)性質(zhì)在求函數(shù)值中的應(yīng)用,考查了抽象函數(shù)求函數(shù)值的賦值法.靈活運(yùn)用已知條件賦值是迅速解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.15.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?,是區(qū)域D上任意一點(diǎn), 則的最大值與最小值之和是
▲
.參考答案:16.若(1﹣3x)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015,則++…+的值為
.參考答案:﹣1考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).專題:二項(xiàng)式定理.分析:分別在已知的二項(xiàng)式中取x=0和,得到a0=1,,則答案可求.解答: 由(1﹣3x)2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015,取x=0,得a0=1,再取x=,得,∴.故答案為:﹣1.點(diǎn)評:本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是在已知的二項(xiàng)式中對x值的選取,是基礎(chǔ)題.17.若在的展開式中的系數(shù)為,則參考答案:答案:-2三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.已知△ABC中,AB=AC,D為△ABC外接圓劣弧AC上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A,C重合),延長BD至E,延長AD交BC的延長線于F(1)求證:∠CDF=∠EDF;(2)求證:AB?AC?DF=AD?FC?FB.參考答案:考點(diǎn):與圓有關(guān)的比例線段.專題:推理和證明.分析:(I)根據(jù)A,B,C,D四點(diǎn)共圓,可得∠ABC=∠CDF,AB=AC可得∠ABC=∠ACB,從而得解.(II)證明△BAD∽△FAB,可得AB2=AD?AF,因?yàn)锳B=AC,所以AB?AC=AD?AF,再根據(jù)割線定理即可得到結(jié)論.解答: 證明:(I)∵A,B,C,D四點(diǎn)共圓,∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,對頂角∠EDF=∠ADB,故∠EDF=∠CDF;(II)由(I)得∠ADB=∠ABF,∵∠BAD=∠FAB,∴△BAD∽△FAB,∴=,∴AB2=AD?AF,∵AB=AC,∴AB?AC=AD?AF,∴AB?AC?DF=AD?AF?DF,根據(jù)割線定理DF?AF=FC?FB,∴AB?AC?DF=AD?FC?FB.點(diǎn)評:本題以圓為載體,考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì),考查等腰三角形的性質(zhì),考查三角形的相似,屬于基礎(chǔ)題.19.在中,角所對的邊分別為,向量),且.(I)求角的大小;(II)若,求的值.參考答案:(1)由可得
-----2分由正弦定理,得,即.
------4分再結(jié)合余弦定理得,.因此,所以.
------6分(2)因此,所以由正弦定理知,則,故.
------9分所以=.
------12分
20.(12分)在三角形ABC中,=(cos,sin),=(cos,-sin且、
的夾角為
(1)求C;
(2)已知c=,三角形的面積S=,求a+b(a、b、c分別∠A、∠B、∠C所對的邊)參考答案:
解析:
21.空氣質(zhì)量指數(shù)(單位:)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個(gè)值越高,代表空氣污染越嚴(yán)重.的濃度與空氣質(zhì)量類別的關(guān)系如下表所示:
日均濃度0~3535~7575~115115~150150~250>250空氣質(zhì)量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染
從甲城市2013年9月份的30天中隨機(jī)抽取15天的日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)莖葉圖如圖5所示.(1)試估計(jì)甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù);(2)在甲城市這15個(gè)監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取個(gè),設(shè)為空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案:解:(1)由莖葉圖可知,甲城市在2013年9月份隨機(jī)抽取的15天中的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為5天.…………………1分所以可估計(jì)甲城市在2013年9月份30天的空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù)為10天.…………2分(2)的取值為0,1,2,………………3分因?yàn)?,……………………?分,………………ks5u…………7分.………
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