山西省臨汾市薛關(guān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山西省臨汾市薛關(guān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列函數(shù)：①f（x）=xsinx；②f（x）=ex+x；③f（x）=ln（﹣x）；?a＞0，使f（x）dx=0的函數(shù)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③參考答案：B【考點(diǎn)】特稱命題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】①求出f（x）dx的積分，結(jié)合函數(shù)的圖象得出存在a＞0，使f（x）dx=0成立；②求出（ex+x）dx=0時(shí)a的值，得出命題不成立；③根據(jù)f（x）是定義域上的奇函數(shù)，積分的上下限互為相反數(shù)，得出定積分值為0，滿足條件．【解答】解：對(duì)于①，f（x）=xsinx，∵（sinx﹣xcosx）′=xsinx，∴xsinxdx=（sinx﹣xcosx）=2sina﹣2acosa，令2sina﹣2acosa=0，∴sina=acosa，又cosa≠0，∴tana=a；畫出函數(shù)y=tanx與y=x的部分圖象，如圖所示；在（0，）內(nèi)，兩函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即存在a＞0，使f（x）dx=0成立，①滿足條件；對(duì)于②，f（x）=ex+x，（ex+x）dx=（ex+x2）=ea﹣e﹣a；令ea﹣e﹣a=0，解得a=0，不滿足條件；對(duì)于③，f（x）=ln（﹣x）是定義域R上的奇函數(shù)，且積分的上下限互為相反數(shù)，所以定積分值為0，滿足條件；綜上，?a＞0，使f（x）dx=0的函數(shù)是①③．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了定積分運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用問題，當(dāng)被積函數(shù)為奇函數(shù)且積分區(qū)間對(duì)稱時(shí)，積分值為0，是綜合性題目．2.函數(shù)的圖象上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為該數(shù)列的公比的數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D3.設(shè)函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)（a,b,c都是整數(shù)）且f（1）=2,f（2）<3

（1）求a,b,c的值；（2）當(dāng)x<0，f（x）的單調(diào)性如何？用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論。

（3）當(dāng)x>0時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值。參考答案：（12分）解：（Ⅰ）由是奇函數(shù)，得對(duì)定義域內(nèi)x恒成立，則對(duì)對(duì)定義域內(nèi)x恒成立，即

（或由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得）

又由①得代入②得，又是整數(shù)，得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，當(dāng)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．下用定義證明之．

設(shè)，則＝

，因?yàn)?，?/p>

，故在上單調(diào)遞增；

同理，可證在上單調(diào)遞減．略4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D5.已知雙曲線,其中，雙曲線半焦距為c,若拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長為（e為雙曲線C的離心率），則雙曲線C的漸近線方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.已知復(fù)數(shù)z滿足(i是虛數(shù)單位)，則(

)A． B． C． D．參考答案：A7.二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則展開式第四項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C8.某校開展“愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是A．4

B．3

C．2

D．1參考答案：D9.下列復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的是A．

B．

C．

D．參考答案：C10.甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生各自在3門數(shù)學(xué)選修課：數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)建模和幾何畫板中任選一門學(xué)習(xí)，則這三門課程都有同學(xué)選修且甲不選修幾何畫板的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】求出5名學(xué)生任選一門的做法，根據(jù)條件概率求出三門課程都有同學(xué)選修的做法以及三門課程都有同學(xué)選修且甲不選幾何畫板的做法，求出滿足條件的概率即可．【解答】解：5名學(xué)生任選一門的做法為35=243，三門課程都有同學(xué)選修的做法為，三門課程都有同學(xué)選修且甲不選幾何畫板的做法為：，所求的概率為，故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若0，﹣＜β＜0，cos（）=，sin（+）=，則cos（2α+β）=．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】利用兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)公式，二倍角公式化簡(jiǎn)已知等式，可求sin2α，sinβ，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosβ的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cos2α，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解．【解答】解：∵cos（）=（cosα﹣sinα）=，可得：cosα﹣sinα=，①∴兩邊平方可得，1﹣sin2α=，解得：sin2α=，∵0，可得：cosα+sinα==，②∴由①②解得：cos2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=，又∵sin（+）=，可得：（sin+cos）=，兩邊平方，可得：sinβ=，cosβ=，∴cos（2α+β）=cos2αcosβ﹣sin2αsinβ=×﹣×（﹣）=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)公式，二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．12.已知全集，且的取值范圍是

。參考答案：13.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為_________．參考答案：略14.用表示不超過的最大整數(shù)，如，設(shè)函數(shù)，關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①的值域?yàn)?；②是偶函?shù)；③是周期函數(shù)，最小正周期為1；④是增函數(shù).其中正確命題的序號(hào)是：

.參考答案：③15.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=，b=2，A=60°，則sinB=_________________，c=___________________.參考答案：

3由正弦定理，得，所以.由余弦定理，，得，所以.16.已知點(diǎn)O是銳角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若，則6x+9y=．參考答案：5【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【專題】平面向量及應(yīng)用．【分析】如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．可得D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．可得=，=．由A=，可得．對(duì)，兩邊分別與，作數(shù)量積即可得出．【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．則D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴===32．===72．∵A=．∴==48．∵，∴=，=+y，化為32=64x+48y，72=48x+144y，聯(lián)立解得x=，y=．∴6x+9y=5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角形外心性質(zhì)、垂經(jīng)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．17.如圖，點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng).且.設(shè)點(diǎn)位于軸上方，且點(diǎn)到軸的距離為，則下列敘述正確的個(gè)數(shù)是_________.①隨著的增大而減小；②的最小值為，此時(shí)；③的最大值為，此時(shí)；④的取值范圍是.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)。（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）斜率為的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，

求證：。參考答案：1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．∵當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0，∴當(dāng)時(shí)，．-----------------4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x＞0），．①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)a＜0時(shí)，令F'（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F'（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得．綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．------------------------------------8分（3）證：．要證，即證，等價(jià)于證，令，則只要證，由t＞1知lnt＞0，故等價(jià)于證lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．①設(shè)g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），則，故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．②設(shè)h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），則h'（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．由①②知（*）成立，得證．---------------------------------12分略19.（本小題共13分）已知數(shù)列，，，，（）．⑴求，；⑵是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有；⑶設(shè)，問是否為有理數(shù)，說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）；．

（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有．則存在無數(shù)個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有．設(shè)為其中最小的正整數(shù)．若為奇數(shù)，設(shè)（），則．與已知矛盾．

若為偶數(shù)，設(shè)（），則，而從而．而，與為其中最小的正整數(shù)矛盾．綜上，不存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的，有．（Ⅲ）若為有理數(shù)，即為無限循環(huán)小數(shù)，則存在正整數(shù)，，對(duì)任意的，且，有．與（Ⅱ）同理，設(shè)為其中最小的正整數(shù)．若為奇數(shù)，設(shè)（），

當(dāng)時(shí)，有．與已知矛盾．

若為偶數(shù)，設(shè)（），當(dāng)時(shí)，有，而從而．而，與為其中最小的正整數(shù)矛盾．故不是有理數(shù)．

……………………13分20.已知在等比數(shù)列{an}中，a1=1，且a2是a1和a3﹣1的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：（I）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a2是a1和a3﹣1的等差中項(xiàng)，a1=1，∴2a2=a1+（a3﹣1）=a3，..................................2∴=2，.......................................3∴=2n﹣1，（n∈N*）．......................5（Ⅱ）∵∴（2n﹣1+2n﹣1）=[1+3+5+…+（2n﹣1）]+（1+2+22+…+2n﹣1）..................................6=+......................................10=n2+2n﹣1．............................1221.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三個(gè)不同的解，求的取值范圍．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．N4(1)；(2)解析：（Ⅰ）時(shí)，，zxxk∴當(dāng)時(shí)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí),符合題意.

3分綜上,的解集為

5分（Ⅱ）設(shè)，的圖象和的圖象如右圖：

7分易知的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位）與的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而.

10分【思路點(diǎn)撥】(1)若a=0，則f（x）=，分x＜﹣1時(shí)、當(dāng)﹣1≤x＜0時(shí)、當(dāng)x≥0時(shí)，三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．(2)設(shè)u（x）=|x+1|﹣|x|，由題意易知，把函數(shù)y=u（x）的圖象向下平移1個(gè)單位以內(nèi)（不包括1個(gè)單位）與y=x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而求得a的范圍．22.函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足：①對(duì)于任意的，；②在區(qū)間上單調(diào)遞增.求:（Ⅰ）

（Ⅱ）不等式的解集.參考答案：解：（Ⅰ）令，則，所以