山西省呂梁市賀羅中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

山西省呂梁市賀羅中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)為奇函數(shù)，時(shí)為增函數(shù)且，則=（

）A.

B.C.

D.參考答案：A2.

甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)、兩變量的線性相關(guān)性作試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)與殘差平方和如下表：

甲乙丙丁0.820.780.690.85115106124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)、兩變量更強(qiáng)的線性相關(guān)性？（

）

甲

乙

丙

丁參考答案：D3.已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，再根據(jù)函數(shù)由兩個(gè)零點(diǎn)，得出，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，即，解得或（舍去）則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，要使得函數(shù)由兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，其中解答中利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最大值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.4.設(shè)全集，集合則集合=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：,.考點(diǎn)：集合交并補(bǔ)．5.如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是橢圓，那么這個(gè)橢圓的離心率是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓【試題解析】設(shè)

由題知：，所以

又因?yàn)樗裕?/p>

所以

所以6.已知一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖為等腰直角三角形，側(cè)視圖與俯視圖均為正方形，那么該幾何體的表面積是（

）A．16

B．

C．20

D．參考答案：B7.

設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為

(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A8.已知函數(shù)，則的圖象大致為

參考答案：A略9.已知不等式組，則目標(biāo)函數(shù)z=2y﹣x的最大值是（） A．1 B． ﹣1 C． ﹣5 D． 4參考答案：A略10.四棱錐的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為，底面是邊長(zhǎng)2的正方形，則四棱錐的外接球的表面積（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，并且圓與相切，則圓的方程為_(kāi)_____________。參考答案：12.已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是

．參考答案：且試題分析：由于與的夾角為銳角，，且與不共線同向，由，解得，當(dāng)向量與共線時(shí)，得，得，因此的取值范圍是且．考點(diǎn)：向量夾角．13.(09年石景山區(qū)統(tǒng)一測(cè)試?yán)?若展開(kāi)式的第項(xiàng)為，則=

．參考答案：14.為了了解居民天氣轉(zhuǎn)冷時(shí)期電量使用情況，某調(diào)查人員由下表統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算出回歸直線方程為，現(xiàn)表中一個(gè)數(shù)據(jù)為污損，則被污損的數(shù)據(jù)為

．（最后結(jié)果精確到整數(shù)位）

氣溫x181310－1用電量y2434·64

參考答案：3815.已知函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)?，則--____參考答案：16.設(shè)向量，，則向量在向量方向上的投影為

．參考答案：17.曲線在處的切線的斜率

參考答案：2

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）在圓上是否存在一點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線與橢圓相交于、兩點(diǎn)滿足？若存在，求的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：（1）又,橢圓的方程為：（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，:或與橢圓：相交于，兩點(diǎn)，此時(shí)或當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不滿足.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：則直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，化簡(jiǎn)得設(shè)，，又與圓相切，，顯然不成立，在圓上不存在這樣的點(diǎn)使其成立.19.已知函數(shù)（Ｒ）的兩個(gè)零點(diǎn)為設(shè).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明：．（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）證法1：由求根公式得：因?yàn)?，所以，一方面：，?分另一方面，由，得于是，

…………7分證法2：因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間（-2,0）上單調(diào)遞減.………4分又因?yàn)椋?，所以：．………?分(Ⅱ)…………９分若則上單調(diào)遞減，從而在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，于是只有.

…………11分當(dāng)時(shí)，由（1）知：，于是，由在上單調(diào)遞增可知，在也是單調(diào)遞增的．

…………13分又因?yàn)樵诤途鶈握{(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖象可知，上單調(diào)遞增，于是，欲使在（2，+）上單調(diào)遞增，只需，亦即．綜上所述，.

…………15分20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．B12【答案解析】（1）g（x）有極大值為g（1）＝0，無(wú)極小值；（2）當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞），無(wú)減區(qū)間；當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）；（3）（－∞，2]．

解析：（1）g（x）＝lnx－x＋1，g′（x）＝－1＝，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＜0，可得g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，故g（x）有極大值為g（1）＝0，無(wú)極小值．

（2）h（x）＝lnx＋|x－a|．當(dāng)a≤0時(shí)，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時(shí)h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，

①當(dāng)x≥a時(shí)，h（x）＝lnx＋x－a，h′（x）＝1＋＞0恒成立，此時(shí)h（x）在（a，＋∞）上單調(diào)遞增；

②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，h（x）＝lnx－x＋a，h′（x）＝－1＝．

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，h′（x）＞0恒成立，此時(shí)h（x）在（0，a）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)h′（x）＞0，當(dāng)1≤x＜a時(shí)h′（x）≤0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減．

綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）的增區(qū)間為（0，＋∞），無(wú)減區(qū)間；當(dāng)a＞1時(shí)，h（x）增區(qū)間為（0，1），（a，＋∞）；減區(qū)間為（1，a）．（3）不等式（x2－1）f（x）≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立，即（x2－1）lnx≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立．當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x2－1＜0；lnx＜0，則（x2－1）lnx＞0；當(dāng)x≥1時(shí)，x2－1≥0；lnx≥0，則（x2－1）lnx≥0．因此當(dāng)x＞0時(shí)，（x2－1）lnx≥0恒成立．又當(dāng)k≤0時(shí)，k（x－1）2≤0，故當(dāng)k≤0時(shí)，（x2－1）lnx≥k（x－1）2恒成立．下面討論k＞0的情形．記△＝4（1－k）2－4＝4（k2－2k）．①當(dāng)△≤0，即0＜k≤2時(shí)，h′（x）≥0恒成立，故h（x）在（0，1）及（1，＋∞）上單調(diào)遞增．于是當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＜h（1）＝0，又x2－1＜0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又當(dāng)x＝1時(shí)，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此當(dāng)0＜k≤2時(shí)，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立．②當(dāng)△＞0，即k＞2時(shí)，設(shè)x2＋2（1－k）x＋1＝0的兩個(gè)不等實(shí)根分別為x1，x2（x1＜x2）．函數(shù)φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1圖像的對(duì)稱軸為x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故當(dāng)x∈（1，k－1）時(shí)，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，從而h（x）在（1，k－1）在單調(diào)遞減；而當(dāng)x∈（1，k－1）時(shí)，h（x）＜h（1）＝0，此時(shí)x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此當(dāng)k＞2時(shí)，（x2－1）lnx≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x不恒成立．綜上，當(dāng)（x2－1）f（x）≥k（x－1）2對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立時(shí)，k≤2，即k的取值范圍是（－∞，2]．【思路點(diǎn)撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）=f（x）﹣x+1的極值；（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求函數(shù)h（x）=f（x）+|x﹣a|（a為實(shí)常數(shù)）的單調(diào)區(qū)間；（3）注意：①適當(dāng)變形后研究函數(shù)h（x）；②當(dāng)k＞2時(shí)，區(qū)間（1，k﹣1）是如何找到的．21.已知橢圓+=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，），離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0）與F2（c，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓C與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)M（﹣4，0）作斜率為k（k≠0）的直線l，交橢圓C于B、D兩點(diǎn)（B在M、D之間），N為BD中點(diǎn)，并設(shè)直線ON的斜率為k1．（i）證明：k?k1為值；（ii）是否存在實(shí)數(shù)k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直線l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（I）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，），離心率為，可得，解得即可．（II）（i）設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），線段BD的中點(diǎn)N（x0，y0）．由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），與橢圓方程聯(lián)立化為（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得=，即可證明．（ii）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得F1N⊥AD，則=﹣1，利用斜率計(jì)算公式可得x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，與x2≥﹣2矛盾．【解答】解：（I）∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，），離心率為，∴，解得a=2，c=1，b=．∴橢圓C的方程為．（II）（i）證明：設(shè)B（x1，y1），D（x2，y2），線段BD的中點(diǎn)N（x0，y0）．由題意可得直線l的方程為：y=k（x+4），聯(lián)立，化為（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．∴x1+x2=，．∴=，y0=k（x0+4）=，∴=，即k1?k=﹣為定值．（ii）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得F1N⊥AD，則=﹣1，∵===，kAD==，∴=﹣1，化為x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，與x2≥﹣2矛盾，∴直線l不存在．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．22.下圖給出的是2000年至2016年我國(guó)實(shí)際利用外資情況，以下結(jié)論正