山西省大同市東沙河中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省大同市東沙河中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.△ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是邊BC的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），記，則當(dāng)λ取最大值時(shí)，tan∠ACD=

．參考答案：2+【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，得sinB=2cosAsinB，cosA=，可得：A=，由已知得，利用和a2=b2+c2﹣bc可得λ取最值時(shí)，a、b、c間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：∵sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sinC﹣sinB=sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，∴sinB=2cosAsinB，∵sinB≠0，∴cosA=，由A∈（0，π），可得：A=，在△ADB中，由正弦定理可將，變形為則，∵=∴即a2λ2=4c2+b2+2bc…①在△ACB中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣bc…②由①②得令，，f′（t）=，令f′（t）=0，得t=，即時(shí)，λ最大．結(jié)合②可得b=，a=c在△ACB中，由正弦定理得?，?tanC=2+故答案為：2+．2.已知函數(shù)，則=（

）A．-4

B．4

C．8

D．-8參考答案：B3.如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}參考答案：C【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．【分析】在已知坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集．【解答】解：由已知f（x）的圖象，在此坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，如圖滿足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范圍是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；故選C．4.y＝cosx·tanx的值域是()A．(－1,0)∪(0,1)

B．[－1,1]

C．(－1,1)

D．[－1,0)∪(0,1)參考答案：C略5.已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，則A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，2} C．{﹣1，0} D．{0，1}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】集合思想；綜合法；集合．【分析】根據(jù)交集的定義求出結(jié)果即可．【解答】已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x＜2}，則A∩B={﹣1，0，1}．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查求兩個(gè)集合的交集的方法，是一道基礎(chǔ)題．6.已知全集.集合，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略7.有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下：則該幾何體的體積為（

）

A．72

B．

C．

D．參考答案：D8.已知函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，有如下的x，f（x）對(duì)應(yīng)值表：x1234567f（x）123.521.5﹣7.8211.57﹣53.7﹣126.7﹣129.6那么函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】利用根的存在性定理：f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）＜0則f（x）在（a，b）上有根，結(jié)合題中的表求出函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)的區(qū)間．【解答】解：據(jù)根的存在性定理知：f（x）的圖象在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）f（b）＜0則f（x）在（a，b）上有根，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＜0，f（4）f（5）＜0，知函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)的區(qū)間是（2，3）；（3，4）；（4，5），有3個(gè)區(qū)間．故選：C．9.已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于（

）

A.

B.3

C.6

D.9參考答案：B10.已知△ABC，a=，b=，∠A=30°，則c=（） A． B．或 C． D．均不正確參考答案：B考點(diǎn)： 正弦定理．專題： 解三角形．分析： 由余弦定理可得2=6+c2﹣2×，整理可得：c，從而得解．解答： 解：∵a=，b=，∠A=30°，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即：2=6+c2﹣2×，整理可得：c，∴解得：c=或．故選：B．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.y=loga（x+2）+3過(guò)定點(diǎn)；y=ax+2+3過(guò)定點(diǎn)．參考答案：（﹣1，3）;（﹣2，4）.【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由對(duì)數(shù)定義知，函數(shù)y=logax圖象過(guò)定點(diǎn)（1，0），故可令x+2=1求此對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)的定點(diǎn)．由指數(shù)定義知，函數(shù)y=ax圖象過(guò)定點(diǎn)（0，1），故可令x+2=0求此對(duì)數(shù)型函數(shù)圖象過(guò)的定點(diǎn)．【解答】解：由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，令x+2=1，此時(shí)y=3，解得x=﹣1，故函數(shù)y=loga（x+2）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（﹣1，3），由指數(shù)函數(shù)的定義，令x+2=0，此時(shí)y=4，解得x=﹣2，故函數(shù)y=ax+2+3的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（﹣2，4），故答案為（﹣1，3），（﹣2，4）【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．12.有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形(如圖),，，，，則這塊菜地的面積為_(kāi)_____．參考答案：【分析】首先由斜二測(cè)圖形還原平面圖形，然后求解其面積即可.【詳解】由幾何關(guān)系可得，斜二測(cè)圖形中：，由斜二測(cè)圖形還原平面圖形，則原圖是一個(gè)直角梯形，其中上下底的長(zhǎng)度分別為1,2，高為，其面積.【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測(cè)畫(huà)法，梯形的面積公式等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13.

參考答案：14.已知=（2，0），=（1，），若（1﹣λ）+λ﹣=（λ∈R），則||的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】向量的模．【分析】求出的坐標(biāo)，得出||關(guān)于λ的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出最小值．【解答】解：∵（1﹣λ）+λ﹣=，∴=（1﹣λ）+=（2﹣λ，），∴||===2≥2×=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的模長(zhǎng)計(jì)算，屬于中檔題．15.冪函數(shù)在是減函數(shù)，則=_________.參考答案：略16.不等式的解集是

.參考答案：

(-)()17.已知數(shù)列的遞推關(guān)系式為，且，則該數(shù)列的前三項(xiàng)和為

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分8分）“水”這個(gè)曾經(jīng)被人認(rèn)為取之不盡、用之不竭的資源，竟然到了嚴(yán)重制約我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、影響人民生活的程度．因?yàn)槿彼?，每年給我國(guó)工業(yè)造成的損失達(dá)2000億元，給我國(guó)農(nóng)業(yè)造成的損失達(dá)1500億元，嚴(yán)重缺水困擾全國(guó)三分之二的城市。為鼓勵(lì)節(jié)約用水，某市打算出臺(tái)一項(xiàng)水費(fèi)政策措施，規(guī)定：每一季度每人用水量不超過(guò)5噸時(shí)，每噸水費(fèi)收基本價(jià)1.3元；若超過(guò)5噸而不超過(guò)6噸時(shí)，超過(guò)部分水費(fèi)加收200%；若超過(guò)6噸而不超過(guò)7噸時(shí)，超過(guò)部分的水費(fèi)加收400%，如果某人本季度實(shí)際用水量為噸，應(yīng)交水費(fèi)為。試求出函數(shù)的解析式。參考答案：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

故19.已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，a2＝2，且對(duì)任意m、n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（1）求a3，a5；（2）設(shè)bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，求{bn}的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)cn＝，Sn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，若存在使，求的取值范圍。參考答案：解：(1)由題意，令m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6

再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20…………2分(2)當(dāng)n∈N*時(shí)，由已知以n＋2代替m可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8即

bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列

………………6分又{bn}是首項(xiàng)為b1＝a3－a1＝6,故bn＝8n－2

…………………8分

(3)由(1)(2)解答可知a2n+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.

那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n，故

………12分（或：取得故兩式相減得，又，得，）故cn＝，得cn，故，

………14分當(dāng)時(shí)，，由題意若存在使

則，即的取值范圍為。

………16分略20.為迎接夏季旅游旺季的到來(lái)，少林寺單獨(dú)設(shè)置了一個(gè)專門(mén)安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少，浪費(fèi)很嚴(yán)重，為了控制經(jīng)營(yíng)成本，減少浪費(fèi)，就想適時(shí)調(diào)整投入．為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)客棧入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．（1）試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)y與月x份之間的關(guān)系；（2）請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物？參考答案：（1）f（x）=200sin（x）+300；（2）只有6，7，8，9，10五個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物．試題分析：（1）根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12；根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400；根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，由此可得函數(shù)解析式；（2）由條件知，200sin（x）+300≥400，結(jié)合x(chóng)∈N*，1≤x≤12，即可得到結(jié)論．解：（1）設(shè)該函數(shù)為f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）根據(jù)①，可知函數(shù)的周期是12，∴=12，∴ω=；根據(jù)②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400，故該函數(shù)的振幅為200；根據(jù)③可知，f（x）在[2，8]上單調(diào)遞增，且f（2）=100，∴f（8）=500∴，∴∵f（2）最小，f（8）最大，∴sin（2×+φ）=﹣1，sin（8×+φ）=1，∵0＜|φ|＜π，∴φ=∴f（x）=200sin（x）+300；（2）由條件知，200sin（x）+300≥400，化簡(jiǎn)可得sin（x），∴2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z∵x∈N*，1≤x≤12∴x=6，7，8，9，10∴只有6，7，8，9，10五個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物．考點(diǎn)：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題．21.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)Tn.參考答案：(1)見(jiàn)證明；(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系，即要注意對(duì)進(jìn)行討論，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，證明為常數(shù)；（2）利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和.【詳解】解（1）當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②，①-②得，所以，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)的公差為，則，所以所以，，所以，則，以上兩式相減得：，所以.【點(diǎn)睛】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和可采用錯(cuò)位相減法求和，注意求和后要保證常數(shù)的準(zhǔn)確性.22.如圖，在△ABC中，BC邊上的中線AD長(zhǎng)為3，且sinB=，cos∠ADC=﹣． （Ⅰ）求sin∠BAD的值； （Ⅱ）求AC邊的長(zhǎng)． 參考答案：【考點(diǎn)】解三角形． 【分析】（Ⅰ）根據(jù)sinB=，cos∠ADC=﹣，利用平方關(guān)系，可得sinB、sin∠ADC的值，利用sin∠BAD=sin（∠ADC﹣