2021-2022學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)金陵中學(xué)高三(上)月考數(shù)學(xué)試卷(12月份)(附詳解)

“”“函數(shù)(22“”“函數(shù)(2220212022年江蘇省南京市樓區(qū)金陵中學(xué)三（上）月考數(shù)學(xué)卷（12月份）一、單選題（本大題共8小題，40.0分

已知集??，，??)

B.

C.

D.

已知

，則(3

5

B.

35

C.

3

D.

3??,

是定義上的減函數(shù)”的C.

充分不必要條件充分必要條件

B.D.

必要不充分條件既不充分也不必要條件

已知直??：與

交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且等

B.

C.

D.

已知數(shù)滿(mǎn)

為數(shù)???)3為數(shù)

B.

C.

D.

在平行六面體

中是長(zhǎng)的方形

，，

√

B.

C.

√

D.

設(shè)函數(shù)

若對(duì)于任意的都立則實(shí)數(shù)的值范圍

[1,3]

B.,

C.

D.

,

設(shè)橢圓

：的、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別、，頂點(diǎn)，為橢圓上一22點(diǎn)，且

，橢圓的心率

B.

33

C.

D.

第1頁(yè)，共頁(yè)

二、多選題（本大題共3小題，15.0分

對(duì)于實(shí)，，，列結(jié)論正確的是

若則B.

若

，則C.D.

若，則|若，在面直角坐標(biāo)中已知，，動(dòng)滿(mǎn)足||則

存在點(diǎn)，得

B.

面積的最大值為C.

對(duì)任意的點(diǎn)，有

>3D.

有且僅個(gè)點(diǎn)，eq\o\ac(△,)的積為已正方體的邊長(zhǎng)為棱的中點(diǎn)別為線(xiàn)段′，上動(dòng)包括端，直線(xiàn)，與面′所成角分別，，

，則

存在點(diǎn)使得′

B.

C.

存在點(diǎn)，使得

5

D.

存在點(diǎn)，使得三、單空題（本大題共4小題，20.0分甲丙丁四人站成一排，其中甲不站排頭和排尾，共種不同的站用字作答．若數(shù)滿(mǎn)足，則最大值是．已，，在的面上eq\o\ac(△,)為邊三角且其面積為平，，球的面積______若在正數(shù)得

??中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)．四、解答題（本大題共6小題，72.0分中角所的邊分別√，??

．第2頁(yè)，共頁(yè)

求如，為邊上點(diǎn)，

??

，eq\o\ac(△,)????的積．已數(shù){滿(mǎn)，，

．設(shè)

，求證：數(shù)列

是等比數(shù)列；若列滿(mǎn)足

，實(shí)數(shù)的值范圍．一盒子里有個(gè)小相同的小球，其中個(gè)白球個(gè)黑球，現(xiàn)依次從盒中隨機(jī)摸出一個(gè)球且不放回，直個(gè)都被摸出，表示個(gè)球被兩個(gè)黑球隔成的段數(shù)例如出順序?yàn)椤昂诎装装装装装缀凇贝嗣男驗(yàn)椤鞍缀诎装缀诎装装住保瑒t此．求個(gè)黑球連在一起被摸出的概率；求的布列和期望．第3頁(yè)，共頁(yè)

2??如在面中eq\o\ac(△,)是長(zhǎng)為的等邊三角形，√，是中，平面平面．2??求：面；是線(xiàn)上一點(diǎn)，若二面為直二面角，求的長(zhǎng)．在面直角坐標(biāo)中已知橢圓

：2

??

22

??>??的離心率為，3兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形面積√．求圓的準(zhǔn)方程；我稱(chēng)圓心在橢上為的圓是橢的“衛(wèi)星圓”原點(diǎn)橢的“衛(wèi)星圓”的兩條切線(xiàn)交于兩點(diǎn)

是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．設(shè)(

??

，，中為然數(shù)的底數(shù)??．若對(duì)意的都成立，求實(shí)??的取值范圍；第4頁(yè)，共頁(yè)

設(shè)，當(dāng)時(shí)有三個(gè)同的零點(diǎn)，求實(shí)的最小值．第5頁(yè)，共頁(yè)

3,解得，即”“函數(shù)3,解得，即”“函數(shù)是上的減函數(shù)”的必定義在1.【答案】【解析】解：因?yàn)榧????{，，則??{．故選：．先求出集合，后利用集合交集的定義求解即可．本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合交集的求解，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】【解析】解：已知，3所以

sin??cos1tan2

19

23

；5故選：．直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．本題考查的知識(shí)要點(diǎn)角函數(shù)關(guān)系式的變換要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】【解析】解：若函??,

是定義上的減函數(shù)，則

，且38383故“

(3??3要不充分條件，故選：．本題先根據(jù)(是上減函數(shù)可知(在一個(gè)分段上均為減函數(shù)，在分界點(diǎn)也要滿(mǎn)足遞減的條件，從而判的取值范圍，然后再作比較即可．第6頁(yè)，共頁(yè)

222222222，222222本題考查分222222222，2222224.【答案】【解析】解：聯(lián)立

，22消掉，整理得

2

2????2，設(shè)(,，由韋達(dá)定理，可，2

2

，所以??

22

2

2又2，所以

2

2

2，又，，故選：聯(lián)立

，222

2

22，??,)，韋達(dá)定2可得，

，然后求出

，再根據(jù)?

得的．本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解題中需要理清思路，屬于中檔題．5.【答案】【解析】解：當(dāng)為數(shù)時(shí)，由???

得

?(

，解得，當(dāng)為數(shù)時(shí)，由

???

得

，即3??

2

，

隨增而增大隨增而減小，且，由

2

得，又2不足題意，綜上所述，的為，故選：．對(duì)分?jǐn)?shù)和偶數(shù)兩種情況討論，結(jié)合結(jié)合指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，分別求出第7頁(yè)，共頁(yè)

，，，，，則本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系，考查了指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．6.【答案】【解析】解：在平行六面體

中，底面是長(zhǎng)為的方形，側(cè)，

，

，

，所以

，因此

，即．故選：由已知直接利用空間向量的加法運(yùn)算及向量的模求解．本題考查了平行六面體性質(zhì)、空間向量運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7.【答案】【解析證

442

423

，易知單遞增，，則時(shí)，，數(shù)單遞減；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；函數(shù)在處最值，此；再證明(，即，由函數(shù)??及的像易知，若對(duì)恒成立，只需處在圖上的最小在處兩個(gè)圖像相切處取得，第8頁(yè)，共頁(yè)

22222121112函數(shù)??的數(shù)為′當(dāng)時(shí)，′22222121112綜上，實(shí)數(shù)的值范圍為，故選：．分別證，恒成立，先證，形為

42

，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)取值范圍．再證，函數(shù)??及圖像易知，若使對(duì)于恒立，只需處在圖上的最小值在，兩個(gè)圖像相切處取得，求得參數(shù)取值范圍．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值查學(xué)生的邏輯思維能力和計(jì)算能力中檔題．8.【答案】【解析圓

：的、22右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，頂點(diǎn)為，為圓上一點(diǎn)222，2

，可知：||2，|，設(shè)，得2??222

，4，22224?5．可得2

，解得

4

，故選：．畫(huà)出圖形，利用已知條件，通過(guò)求解三角形推出橢圓的離心率即可．本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，三角形的解法，是中檔題．9.【答案】第9頁(yè)，共頁(yè)

222????222333【解析】解：對(duì)于，令時(shí)則，222????222333對(duì)于，

22

，又

2

，，B確，對(duì)于，，||，C正，對(duì)于，，，

，即

，故正．故選：．根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．本題主要考查了不等式的性質(zhì)，掌握特殊值法是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．【案【解析】解：動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)|+|，由橢圓的定義可知點(diǎn)的跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)的圓．動(dòng)的程為，

，為點(diǎn)，2存在點(diǎn)，

，以確；2

面積的最大值為：2×√3，所以B正確；2對(duì)任意的點(diǎn)所以不確；

的小值為|2，

的方程為：??2??，與平行的直線(xiàn)方程為????+??，聯(lián)立{

????+??2??216??

3264(3解得，時(shí)，2??????間的距離為

3

，此eq\o\ac(△,)??的面積為：，時(shí)直線(xiàn)方??2??，2平行線(xiàn)之間的距離為：

，eq\o\ac(△,)的面積為：，222所以有且僅個(gè)點(diǎn)，eq\o\ac(△,)的積為，所D正；2第10頁(yè)，共19頁(yè)

222225522故選：．222225522利用橢圓的定義可知的跡是以

為點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)的圓寫(xiě)2橢圓方程解

eq\o\ac(△,)

面積的最大值斷

的最小值判；出的方程，求解平行線(xiàn)與橢圓相切的方程，然后解平行線(xiàn)之間的即可，求解三角形的面積，判．本題考查橢圓方程的求法線(xiàn)橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．【案【解析】解：如圖所示，以為標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(，，，所以′2，

2

2中，，過(guò)點(diǎn)′的線(xiàn)，垂足，作點(diǎn)作的線(xiàn)，垂足為，′平面，′平，所以直，與面′所的角分別，，即，，所以∠

′

，′2

，2因?yàn)?/p>

，以

2

2

2，即

2

，對(duì)于選，′，解得，足意，故正；對(duì)于選項(xiàng)，

，，所以

，又

2

，簡(jiǎn)得故正確；對(duì)于選，，2正確；對(duì)于項(xiàng)，

2+4=

，解得{或{2，足題意，故C2第11頁(yè)，共19頁(yè)

33，?，又即33所以，，是2

，令(

，，又

，5故由零點(diǎn)存在定理可在上在零點(diǎn)，即方程

2

在內(nèi)解，滿(mǎn)足題意，故D正．故選：．建系設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)作出題中的線(xiàn)面合

得2

2

，依次判斷各個(gè)選，否有解即可．本題考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用查零點(diǎn)存在定理查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，屬于難題．【案【解析】解：先安排甲站中間一位置，然后安排其余了隨機(jī)站位，即．故答案為：．先安排甲站中間一個(gè)位置，然后安排其余隨機(jī)站位即可．本題考查有特殊元素的排列問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．【案3【解析】解：設(shè)，，則

，

，(

，復(fù)在復(fù)平面內(nèi)應(yīng)的點(diǎn)的集合是以原為心，為半徑的圓，|表示圓上的點(diǎn)到的離，|的最大值是點(diǎn)與心的距離再加上半徑√2．故答案為：．根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛復(fù)數(shù)的概念，即可求解．第12頁(yè)，共19頁(yè)

則22本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于中檔題．則22【案【解析】解：為邊三角形且其面積為，eq\o\ac(△,)的長(zhǎng)為，4，得．44由正弦定理可eq\o\ac(△,)接圓的半徑為?2??????60°

，平面，2，四體的接球的半徑22，球的表面積42．故答案為：．由正弦定理可eq\o\ac(△,)接圓的半徑用勾股定理可得四面的接球的半徑，即可求出球的面積．本題考查球的表面積學(xué)的計(jì)算能力四面的接球的半徑是關(guān)鍵，屬于中檔題．【案4

2

【解析】解：因?yàn)?/p>

2

????，所以，令，則

??，因?yàn)?，為?shù)，所以，所以存，得

2

??成，令(??

2

??，??2，且??

2

????

2

，調(diào)遞減，所以在0,

2

上，，單遞增，在

2

,上，單遞減，所以(

????

??22

，第13頁(yè)，共19頁(yè)

2??????????，25，25??????????，25，??????2????．??，2??????????，25，25??????????，25，??????2????．??，2??2??，則??215245故答案為：4

2

根據(jù)題意可，令，則2??????

，題轉(zhuǎn)化為存在，得

2

成，

2

??，??與????)有交點(diǎn)，即可得出答案．本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．【案】解：

5????，22????????22由正弦定理，可????

??2

√5????????，????????222，，則，22525

，??2222

√5555(2)????????225

，????，∠????????，??

??????22

??，??????2????，2又????????)

??2

，在????中由正弦定理，可得，??∠，

2

，eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)??

??2

152

∠

2

5

45

8

278

．【解析根已知條件，結(jié)合正弦定理可得，????倍角公式求解即可．

??2

??，結(jié)合二(2)

2

??25

，再根據(jù)已知條件，運(yùn)用誘導(dǎo)公式，可得??2??，5第14頁(yè)，共19頁(yè)

??1????121????????1??1??221??21522??2再結(jié)合正弦定理和三角形面積公式求解即可．??1????121????????1??1??221??21522??2本題考查了三角函數(shù)與解三角的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題．17.答案證明由知

??2

??1??1

??

即

??

且，則數(shù)列

是以為項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．解由知????1??

??

，則當(dāng)??時(shí)其??項(xiàng)和

????????2

??

，則

??

，??，且

也足通項(xiàng)，則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，

??

，若滿(mǎn)足

??，，即實(shí)數(shù)的值范圍．【解析將件化為

??2

??1??1??

，

??

，從而證得數(shù)

是等比數(shù)列；求數(shù)的項(xiàng)由累加法求得數(shù)列}的通項(xiàng)并據(jù)單調(diào)性求得參數(shù)取值范????圍．本題主要考查數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的證明，以及累加法求和的應(yīng)用，屬于中檔題．【案】解設(shè)個(gè)黑球連在一起被摸出的事件，據(jù)捆綁法得：7??8

，

??8

，7??8

????8

，5??8分布列如下：

，第15頁(yè)，共19頁(yè)

175，，得，175，，得，，7

28

1728

514期望為

28

22814

3

6528

．【解析由意，利用捆綁法即可求得，先求取，，時(shí)概率，再列出分布列，再求期望即可．本題考查隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．【案】解：是邊的邊三角形，又，由勾股定理，，故平，又中，由于平平面，知面，則，又平平面，可得平面．以點(diǎn)為點(diǎn)方向?yàn)檩S向?yàn)檩S方向?yàn)檩S立直角坐標(biāo)系，則，√，，設(shè)(，可得平內(nèi)

法向

??,3

，平面內(nèi)，，法向量，設(shè)直二面角的面，則

4可得．4【解析由知利用線(xiàn)面垂直的判定可證平面，而可證，用面面垂直的性質(zhì)可證平面，，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定即可證平．第16頁(yè)，共19頁(yè)

6?2?222100200，22222021226?2?222100200，2222202122，212121121)22設(shè)直二面角的面，由，，求得值，即可得解的．本題主要考查了線(xiàn)面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面平行的判定，考查了空間向量以及二面角的平面角及求法，屬于中檔題．20.

【答案】解：由意可得，解得{

，，橢的程為

．當(dāng)線(xiàn)，的率存在時(shí)，記為，，則直線(xiàn)，的程為

，，設(shè)橢圓的′衛(wèi)圓的圓??，直，是圓的切線(xiàn)，

21

||，22

3化簡(jiǎn)可，，，是關(guān)的二次方程

??

的兩個(gè)根，020

，(,在橢圓上，00

，020

0

，設(shè)(,，,，由{2，{22

，解得2

，2212

，|

2212

，???

21

，|

1

9??9??

11，2211|

為定值．若和其中一斜率不存在，不妨率不存在，設(shè)圓心在一象限，與相切，所直線(xiàn)，圓橫坐標(biāo)為半，點(diǎn)切點(diǎn)，坐標(biāo)與圓心縱坐標(biāo)相同，第17頁(yè)，共19頁(yè)

??2????22又圓在橢圓上，由??2????22

224

??，圓與軸相切，切點(diǎn)為(，此|

2

2

．綜上所述，當(dāng)直，其中一條斜率不存在時(shí)

2

2

；當(dāng)直線(xiàn)，斜存在時(shí)

22【解析離心率及兩焦點(diǎn)與短軸兩頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積間的關(guān)系求出的，進(jìn)而求