高中數(shù)學北師大版1第二章空間向量與立體幾何 學業(yè)分層測評8

學業(yè)分層測評(八)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．給出下列命題：①空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底；②已知向量a∥b，則a、b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底；③A、B、M、N是空間四點，若eq\o(BA,\s\up12(→))、eq\o(BM,\s\up12(→))、eq\o(BN,\s\up12(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，那么A、B、M、N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個基底．其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】空間中只要三個向量不共面就可以作為一個基底，故①正確；②中，a∥b，則a，b與其他任一向量共面，不能作為基底；③中，向量eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(BM,\s\up12(→))，eq\o(BN,\s\up12(→))共面，則A、B、M、N共面；④中，a與m，b不共面，可作為空間一個基底．故①②③④均正確．【答案】D2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，則α、β、γ分別為()\f(5,2)，－1，－eq\f(1,2) B．eq\f(5,2)，1，eq\f(1,2)C．－eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2) D．eq\f(5,2)，1，－eq\f(1,2)【解析】d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.由向量基底表示唯一性得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))【答案】A3．已知i，j，k為標準正交基底，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向上的投影為()A．1 B．－1\r(14) D．－eq\r(14)【解析】a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，∴|a|cos〈a，i〉＝eq\f(a·i,|i|)＝(i＋2j＋3k)·i＝1.【答案】A4．如圖2-3-9，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up12(→))＝()圖2-3-9\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)cD．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c【解析】eq\o(A1D,\s\up12(→))＝eq\o(A1C1,\s\up12(→))＋eq\o(C1D,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(C1C,\s\up12(→))＋eq\o(C1B1,\s\up12(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(AB,\s\up12(→)))＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－c)＋eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.【答案】D5．(2023·蘭州高二檢測)已知點A在基底{a，b，c}下的坐標為{8,6,4}，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點A在基底{i，j，k}下的坐標為()A．(12,14,10) B．(10,12,14)C．(14,10,12) D．(4,2,3)【解析】∵點A在基底{a，b，c}下坐標為(8,6,4)，∴eq\o(OA,\s\up12(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，∴點A在基底{i，j，k}下的坐標為(12,14,10)．【答案】A二、填空題6．e1，e2，e3是空間一組基底，a＝e1－2e2＋e3，b＝－2e1＋4e2－2e3，則a與b的關(guān)系為________．【導學號：32550030】【解析】∵b＝－2a，∴a∥b.【答案】a∥b7．(2023·金華高二檢測)已知點A在基底{a，b，c}下的坐標為(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，則點A在基底{i，j，k}下的坐標為________．【解析】由題意知點A對應(yīng)向量為2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，∴點A在基底{i，j，k}下的坐標為(8,3,12)．【答案】(8,3,12)8．已知長方體ABCD-A′B′C′D′，點E，F(xiàn)分別是上底面A′B′C′D′和面CC′D′D的中心，且eq\o(AE,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(BC,\s\up12(→))＋zeq\o(CC′,\s\up12(→))，則2x－4y＋6z＝________.【解析】∵eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AA′,\s\up12(→))＋eq\o(A′E,\s\up12(→))＝eq\o(AA′,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up12(→))＋eq\o(A′D′,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CC′,\s\up12(→))，又eq\o(AE,\s\up12(→))＝xeq\o(AB,\s\up12(→))＋yeq\o(BC,\s\up12(→))＋zeq\o(CC′,\s\up12(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.∴2x－4y＋6z＝5.【答案】5三、解答題9．已知在正四棱錐P-ABCD中，O為底面中心，底面邊長和高都是2，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱PA，PB的中點，如圖2-3-10，以O(shè)為坐標原點，分別以射線DA，DC，OP的指向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，寫出點A，B，C，D，P，E，F(xiàn)的坐標．圖2-3-10【解】設(shè)i，j，k分別是x軸，y軸，z軸的正方向方向相同的單位向量．(1)因為點B在坐標平面xOy內(nèi)，且底面正方形的中心為O，邊長為2，所以eq\o(OB,\s\up12(→))＝i＋j，所以向量eq\o(OB,\s\up12(→))的坐標為(1,1,0)，即點B的坐標為(1,1,0)．同理可得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)．又點P在z軸上，所以eq\o(OP,\s\up12(→))＝2k.所以向量eq\o(OP,\s\up12(→))的坐標為(0,0,2)，即點P的坐標為(0,0,2)．因為F為側(cè)棱PB的中點，所以eq\o(OF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(OP,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(i＋j＋2k)＝eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)j＋k，所以點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).同理點E的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1)).故所求各點的坐標分別為A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0,2)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1)).10．如圖2-3-11，在空間四邊形OABC中，|OA|＝8，|AB|＝6，|AC|＝4，|BC|＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求eq\o(OA,\s\up12(→))在eq\o(BC,\s\up12(→))上的投影．【導學號：32550031】圖2-3-11【解】∵eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→))，∴eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝|eq\o(OA,\s\up12(→))||eq\o(AC,\s\up12(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉－|eq\o(OA,\s\up12(→))||eq\o(AB,\s\up12(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16eq\r(2)，∴eq\o(OA,\s\up12(→))在eq\o(BC,\s\up12(→))上的投影為|eq\o(OA,\s\up12(→))|·cos〈eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝eq\f(24－16\r(2),5).[能力提升]1．設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若eq\o(OG,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))，則(x，y，z)為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))【解析】因為OG＝eq\f(3,4)eq\o(OG1,\s\up12(→))＝eq\f(3,4)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(AG1,\s\up12(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\o(AC,\s\up12(→))))))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up12(→))－\o(OA,\s\up12(→))＋\o(OC,\s\up12(→))－\o(OA,\s\up12(→))))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up12(→))，而eq\o(OG,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋yeq\o(OB,\s\up12(→))＋zeq\o(OC,\s\up12(→))，所以x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(1,4)，z＝eq\f(1,4).【答案】A2．(2023·泰安高二檢測)已知向量{a，b，c}是空間的一基底，向量{a＋b，a－b，c}是空間的另一基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(1,2,3)，則向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)，3)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(1,2)，\f(3,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，3))【解析】設(shè)向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為(x，y，z)，則a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,x－y＝2,z＝3))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2),y＝－\f(1,2),z＝3)).【答案】B3．已知點M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任一點O，eq\o(OM,\s\up12(→))＝xeq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up12(→))，則x＝________.【解析】由于M∈平面ABC，所以x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝1，解得x＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)4．如圖2-3-12所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up12(→))＝a，eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，eq\o(AD,\s\up12(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：圖2-3-12(1)eq\o(AP,\s\up12(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up12(→))；(3)eq\o(MP,\s\up12(→))＋eq\o(NC1,\s\up12(→)).【解】(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AA1,\s\up12(→))＋eq\o(A1D1,\s\up12(→))＋eq\o(D1P,\s\up12(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up12(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up12(→))＝eq\o(A1A,\s\u