高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 省賽獲獎(jiǎng)

第二章2.一、選擇題(每小題5分，共20分)1．已知過拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12，則該弦所在直線的傾斜角是()\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,2)解析：拋物線的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，過焦點(diǎn)垂直于x軸的弦長(zhǎng)為6≠12，∴該弦所在直線的斜率存在．設(shè)直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，與方程y2＝6x聯(lián)立得：4k2x－(12k2＋24)x＋9k2＝0.設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)．∴x1＋x2＝eq\f(3k2＋6,k2)，∴x1＋x2＋3＝eq\f(3k2＋6,k2)＋3＝12.∴k2＝1，∴k＝±1.答案：B2．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以過焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y(tǒng)＋eq\f(p,2)，將其代入y2＝2px＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2所以拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.答案：B3．拋物線y2＝2px與直線ax＋y－4＝0的一個(gè)交點(diǎn)是(1,2)，則拋物線的焦點(diǎn)到該直線的距離為()\f(3\r(3),2) B．eq\f(2\r(5),5)\f(7\r(5),10) D．eq\f(\r(17),2)解析：由已知得拋物線方程為y2＝4x，直線方程為2x＋y－4＝0，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(1,0)，到直線2x＋y－4＝0的距離d＝eq\f(|2＋0－4|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5).答案：B4．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A，若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，則拋物線方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，則直線l的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，它與y軸的交點(diǎn)為Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，所以△OAF的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝4，解得a＝±8.所以拋物線方程為y2＝±8x.答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．解析：根據(jù)題意寫出直線AB的方程后求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后再求解．∵y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，又直線l過焦點(diǎn)F且傾斜角為60°，故直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－1)，將其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0.∴x＝eq\f(1,3)或x＝3.又點(diǎn)A在x軸上方，∴xA＝3.∴yA＝2eq\r(3).∴S△OAF＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．設(shè)點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))與拋物線y2＝2x上的點(diǎn)P之間的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d2，則當(dāng)d1＋d2取最小值時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為________．解析：當(dāng)P點(diǎn)是M與焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))連線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，d1＋d2最小，MF的方程為y＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3)，與拋物線y2＝2x聯(lián)立得P(2,2)．答案：(2,2)三、解答題(每小題10分，共20分)7．已知拋物線y2＝6x，過點(diǎn)P(4,1)引一弦，使它恰在P點(diǎn)被平分，求這條弦所在直線方程．解析：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直線方程為y－1＝k(x－4)，∵P1，P2在拋物線上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ①將y1＋y2＝2代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3，∴直線方程為3x－y－11＝0.8．給定拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，過F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．若|FA|＝2|BF|，求直線l的方程．解析：顯然直線l的斜率存在，故可設(shè)直線l：y＝k(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，則x1x2＝1，故x1＝eq\f(1,x2). ①又|FA|＝2|BF|，∴eq\o(FA,\s\up6(→))＝2eq\o(BF,\s\up6(→))，則x1－1＝2(1－x2) ②由①②得x2＝eq\f(1,2)(x2＝1舍去)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，±\r(2)))，得直線l的斜率為k＝kBF＝±2eq\r(2)，∴直線l的方程為y＝±2eq\r(2)(x－1)．9．(10分)(2023·河南洛陽(yáng)八中高二段考)已知拋物線y2＝－x與直線y＝k(x＋1)相交于A，B兩點(diǎn)，(1)求證：OA⊥OB；(2)當(dāng)△OAB的面積等于eq\r(10)時(shí)，求k的值．解析：(1)證明：設(shè)A(－yeq\o\al(2,1)，y1)，B(－yeq\o\al(2,2)，y2)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－x,y＝kx＋1))得ky2＋y－k＝0，y1y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k).∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝y(tǒng)1y1＋yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝y(tǒng)1y2(1＋y