高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章統(tǒng)計獨立性檢驗 第1章獨立性檢驗

獨立性檢驗1.理解相互獨立事件的概念，了解獨立性檢驗的思想和方法.(重點)2.會利用2×2列聯(lián)表求χ2，并能根據(jù)χ2值與臨界值的比較進行獨立性檢驗.(重點、難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1獨立事件閱讀教材P3～P4例2以上部分，完成下列問題.1.獨立事件的定義一般地，對于兩個事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立.2.如果A，B相互獨立，則eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨立.甲、乙兩人分別獨立地解一道題，甲做對的概率是eq\f(1,2)，甲、乙都做錯的概率是eq\f(1,6)，則乙做對的概率是_______________________________________.【解析】設(shè)“甲、乙做對”分別為事件A，B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(1,6)，由P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝(1－P(A))·(1－P(B))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－P（B）))＝eq\f(1,6)，解得P(B)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)教材整理22×2列聯(lián)表與χ2統(tǒng)計量的計算公式閱讀教材P4～P5第10行以上部分，完成下列問題.1.對于兩個事件A，B，用下表表示抽樣數(shù)據(jù)：Beq\x\to(B)合計An11n12n1＋eq\x\to(A)n21n22n2＋合計n＋1n＋2n表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.形如此表的表格為2×2列聯(lián)表.2.統(tǒng)計量χ2的計算公式χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2).下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2合計x1a2173x282533合計b46則表中a，b處的值分別為()，96 ，50，60 ，52【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.又b＝a＋8＝52＋8＝60.【答案】C教材整理3獨立性檢驗思想閱讀教材P4倒數(shù)第5行～P8，完成下列問題.1.用H0表示事件A與B獨立的判定式，即H0：P(AB)＝P(A)P(B)，稱H0為統(tǒng)計假設(shè).2.用χ2與其臨界值與的大小關(guān)系來決定是否拒絕統(tǒng)計假設(shè)H0，如下表：大小比較結(jié)論χ2≤事件A與B是無關(guān)的χ2>有95%的把握說事件A與B有關(guān)χ2>有99%的把握說事件A與B有關(guān)判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)甲、乙兩人分別對一目標(biāo)射擊一次，記“甲射擊一次擊中目標(biāo)”為事件A，“乙射擊一次擊中目標(biāo)”為事件B，則事件A與事件B是相互獨立事件.()(2)在使用χ2統(tǒng)計量作2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗時，要求表中的4個數(shù)據(jù)可以是任意的.()(3)當(dāng)χ2>認(rèn)為兩事件有99%的關(guān)系.()【解析】(1)根據(jù)題意，“甲的射擊”與“乙的射擊”沒有關(guān)系，是相互獨立.(2)由2×2列聯(lián)表知，每表中的4個數(shù)據(jù)大于等于5.(3)由臨界值知，當(dāng)χ2>時有95%的把握認(rèn)為兩事件有關(guān).【答案】(1)√(2)×(3)×[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]相互獨立事件的概率有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為和，從這兩批種子中各隨機地抽取一粒，求：(1)兩粒都能發(fā)芽的概率；(2)至少有一粒種子能發(fā)芽的概率；(3)恰好有一粒種子能發(fā)芽的概率.【精彩點撥】甲(或乙)中的種子是否發(fā)芽對乙(或甲)中的種子是否發(fā)芽的概率是沒有影響的，故“甲批種子中某粒種子發(fā)芽”與“乙批種子中某粒種子發(fā)芽”是相互獨立事件.因此可以求出這兩個事件同時發(fā)生的概率.對于(2)(3)應(yīng)把符合條件的事件列舉出來或考慮其對立面.【自主解答】設(shè)以A，B分別表示“取自甲、乙兩批種子中的某粒種子發(fā)芽”這一事件，eq\o(A,\s\up7(－))，eq\o(B,\s\up7(－))則表示“取自甲、乙兩批種子中的某粒種子不發(fā)芽”這一事件，則P(A)＝，P(B)＝，且A，B相互獨立，故有(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，故兩粒都能發(fā)芽的概率為.(2)法一P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.法二至少有一粒種子能發(fā)芽的對立事件為兩粒種子都不發(fā)芽，即P(A∪B)＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(B,\s\up7(－)))＝1－(1－×(1－＝.故至少有一粒種子能發(fā)芽的概率為.(3)P(Aeq\o(B,\s\up7(－))∪eq\o(A,\s\up7(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－))B)＝×(1－＋(1－×＝.故恰好有一粒種子能發(fā)芽的概率為.1.求解簡單事件概率的思路：(1)確定事件間的關(guān)系，即兩事件是互斥事件還是對立事件；(2)判斷事件發(fā)生的情況并列出所有事件；(3)確定是利用和事件的概率公式還是用積事件的概率公式計算.2.求解復(fù)雜事件概率的思路：(1)正向思考：通過“分類”或“分步”將較復(fù)雜事件進行分解，轉(zhuǎn)化為簡單的互斥事件的和事件或相互獨立的積事件；(2)反向思考：對于含有“至少”“至多”等事件的概率問題，可轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率.[再練一題]1.甲、乙、丙三位學(xué)生用計算機聯(lián)網(wǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，每天獨立完成6道數(shù)學(xué)題，已知甲及格的概率是eq\f(8,10)，乙及格的概率是eq\f(6,10)，丙及格的概率是eq\f(7,10)，三人各答一次，求三人中只有一人答題及格的概率是多少？【解】設(shè)“甲、乙、丙三人答題及格”分別為事件A，B，C，則P(A)＝eq\f(8,10)，P(B)＝eq\f(6,10)，P(C)＝eq\f(7,10)，設(shè)“三人各答題一次只有一人及格”為事件D，則D的情況為Aeq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－))，eq\o(A,\s\up7(－))Beq\o(C,\s\up7(－))，eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))C，所以P(D)＝P(Aeq\o(B,\s\up7(－))eq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－))Beq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－))eq\o(B,\s\up7(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up7(－)))P(eq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(B)P(eq\o(C,\s\up7(－)))＋P(eq\o(A,\s\up7(－)))P(eq\o(B,\s\up7(－)))·P(C)＝eq\f(8,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,10)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,10)))×eq\f(6,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(8,10)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(6,10)))×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系在對人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人.六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(n11,n1＋)與eq\f(n21,n2＋)判斷二者是否有關(guān)系.【精彩點撥】eq\x(對變量進行分類)→eq\x(\a\al(求出分類變量,的不同取值))→eq\x(\a\al(作出2×2列聯(lián)表))→計算eq\f(n11,n1＋)與eq\f(n21,n2＋)的值作出判斷【自主解答】飲食習(xí)慣與年齡2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(n11,n1＋)＝eq\f(43,64)≈.eq\f(n21,n2＋)＝eq\f(27,60)＝.顯然二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.1.作2×2列聯(lián)表時，注意應(yīng)該是4行4列，計算時要準(zhǔn)確無誤.2.作2×2列聯(lián)表時，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別.[再練一題]2.題中條件不變，嘗試用|n11n22－n12n21|的大小判斷飲食習(xí)慣與年齡是否有關(guān).【解】將本例2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入可得|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.相差較大，可在某種程度上認(rèn)為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.[探究共研型]獨立性檢驗的綜合應(yīng)用探究1利用χ2進行獨立性檢驗，估計值的準(zhǔn)確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，樣本容量n越大，這個估計值越準(zhǔn)確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進行獨立性檢驗的結(jié)果就不具有可靠性.探究2在χ2運算后，得到χ2的值為，在判斷變量相關(guān)時，P(χ2≥≈和P(χ2≥≈，哪種說法是正確的？【提示】兩種說法均正確.P(χ2≥≈的含義是在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為兩個變量相關(guān)；而P(χ2≥≈的含義是在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為兩個變量相關(guān).為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例.(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由.【精彩點撥】題中給出了2×2列聯(lián)表，從而可通過求χ2的值進行判定.對于(1)(3)可依據(jù)古典概率及抽樣方法分析求解.【自主解答】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×（40×270－30×160）2,200×300×70×430)≈.由于>，所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法進行抽樣，這比采用簡單隨機抽樣方法更好.1.檢驗兩個變量是否相互獨立，主要依據(jù)是利用χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)公式計算χ2的值，再利用該值與，兩個值進行比較作出判斷.2.χ2計算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細(xì)心.3.統(tǒng)計的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來推測全部數(shù)據(jù)的性質(zhì).因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計關(guān)系，而不是因果關(guān)系.[再練一題]3.某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品合計南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020合計7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.【解】將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(n（n11n22－n12n21）2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×（60×10－20×10）2,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈.因為＞，所以有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.[構(gòu)建·體系]1.為了研究高中學(xué)生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝，則認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握性約為()A.0.1% %% 【解析】因為χ2＝>，所以有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”.【答案】C2.在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是()個吸煙者中至少有99人患有肺癌個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有【解析】獨立性檢驗的結(jié)果與實際問題有差異，即獨立性檢驗的結(jié)論是一個數(shù)學(xué)統(tǒng)計量，它與實際問題中的確定性存在差異.【答案】D3.有兩個分類變量X與Y的一組數(shù)據(jù)，由其列聯(lián)表計算得χ2≈，則認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”犯錯誤的概率為()% %% %【解析】