高中數(shù)學(xué)蘇教版1第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3．3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第3章333

最大值與最小值1．能夠區(qū)分極值與最值兩個(gè)不同的概念．2．掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值的步驟，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值與最小值．(重點(diǎn)、難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理函數(shù)的最大值與最小值閱讀教材P90例1以上部分，完成下列問題．1．函數(shù)的最大值與最小值如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在x0，使得對(duì)任意的x∈I，總有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，則f(x0)為函數(shù)f(x)在定義域上的最大值(最小值)．2．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的步驟第一步，求f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值；第二步，將第一步中求得的極值與f(a)，f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值．1．判斷正誤：(1)函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值．()(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．()(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得．()【解析】(1)×.反例：f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x2＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其極大值f(1)．(2)√.因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)函數(shù)，故無極值，又因?yàn)槭情_區(qū)間，所以最值不可能在區(qū)間端點(diǎn)上取到，故正確．(3)×.反例：f(x)＝－x2在[－1,1]上的最大值為f(0)＝0，不在區(qū)間端點(diǎn)取得．【答案】(1)×(2)√(3)×2．已知函數(shù)y＝x3－x2－x，該函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值是________．【解析】y′＝3x2－2x－1，由y′＝0得3x2－2x－1＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝1.∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15，∴該函數(shù)在[0,3]上的最大值為15.【答案】15[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]求函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)＝2x3－12x(x∈[－1,3])的最值．【精彩點(diǎn)撥】求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的極值，并與f(－1)，f(3)比較確定最值．【自主解答】f′(x)＝6x2－12＝6(x2－2)＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))．由f′(x)＝0得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－1(－1，eq\r(2))eq\r(2)(eq\r(2)，3)3f′(x)－0＋f(x)10－8eq\r(2)18由上表知函數(shù)f(x)的最小值是－8eq\r(2)，最大值是18.求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，只需先求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值，然后比較極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.[再練一題]1．求函數(shù)f(x)＝x(1－x2)，x∈[0,1]的最值．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830088】【解】易知f′(x)＝1－3x2.令f′(x)＝1－3x2＝0，則x＝±eq\f(\r(3),3).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))1f′(x)＋0－f(x)0↗eq\f(2,9)eq\r(3)↘0由上表知f(x)的最大值為eq\f(2\r(3),9)，最小值為0.含參數(shù)的函數(shù)最值問題a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．【精彩點(diǎn)撥】此題是求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，要注意對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論．【自主解答】f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，則f′(x)≤0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝0時(shí)，有最大值f(0)＝0.若a＞0，則令f′(x)＝0，解得x＝±eq\r(a).因?yàn)閤∈[0,1]，所以只需考慮x＝eq\r(a)的情況．(1)0＜eq\r(a)＜1，即0＜a＜1時(shí)，當(dāng)x＝eq\r(a)時(shí)，f(x)有最大值f(eq\r(a))＝2aeq\r(a).(如下表所示)x(0，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，1)f′(x)＋0－f(x)↗2aeq\r(a)↙(2)eq\r(a)≥1時(shí)，即a≥1時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1.綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，x＝0時(shí)，f(x)有最大值0.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＝eq\r(a)時(shí)，f(x)有最大值2aeq\r(a).當(dāng)a≥1時(shí)，x＝1時(shí)，f(x)有最大值3a－1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時(shí)，如果含有參數(shù)，則應(yīng)進(jìn)行分類討論，由于函數(shù)的最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，所以只需比較極值點(diǎn)和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小即可，最后再將討論的情況進(jìn)行合并整理.[再練一題]2．已知a∈R，函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－1，求f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值．【解】因?yàn)閒(x)＝eq\f(a,x)＋lnx－1，所以f′(x)＝－eq\f(a,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－a,x2)，x∈(0，＋∞)．令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無最小值．②若0<a<e，當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，a)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(a，e]時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，e]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值lna.③若a≥e，則當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，f′(x)≤0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝e時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值eq\f(a,e).綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上無最小值；當(dāng)0<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為lna；當(dāng)a≥e時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，e]上的最小值為eq\f(a,e).[探究共研型]由函數(shù)的最值求參數(shù)的值(范圍)探究1(1)若對(duì)任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？(2)若對(duì)任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？【提示】(1)a≥2(2)a≤1.探究2(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？(2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？【提示】(1)a≥1(2)a≤2.探究3已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值為ymax，最小值為ymin，(1)若對(duì)任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？(2)若對(duì)任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？【提示】(1)a≥ymax(2)a≤ymin探究4已知函數(shù)y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值為ymax，最小值為ymin，(1)若存在x∈[m，n]，使a≥f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？(2)若存在x∈[m，n]，使a≤f(x)成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？【提示】(1)a≥ymin(2)a≤ymax已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3，對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【精彩點(diǎn)撥】把a(bǔ)分離出來，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．【自主解答】由題意知2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)一切x∈(0，＋∞)上恒成立，則a≤2lnx＋x＋eq\f(3,x)，設(shè)h(x)＝2lnx＋x＋eq\f(3,x)(x＞0)，則h′(x)＝x2＋2x－3.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4，對(duì)一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min＝4.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，4]1．“恒成立”問題向最值問題轉(zhuǎn)化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.對(duì)于不能分離參數(shù)的恒成立問題，直接求含參函數(shù)的最值即可．2．此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號(hào)”的情況，以此來確定參數(shù)的范圍能否取得“＝”．[再練一題]3．已知f(x)＝lnx－x＋a＋1，若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范圍．【解】原題即為存在x>0使得lnx－x＋a＋1≥0，∴a≥－lnx＋x－1，令g(x)＝－lnx＋x－1，則g′(x)＝－eq\f(1,x)＋1＝eq\f(x－1,x).令g′(x)＝0，解得x＝1.∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0，g(x)為增函數(shù)，∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0，故a的取值范圍是[0，＋∞)．[構(gòu)建·體系]1．函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8(－3≤x≤3)的值域是________．【解析】令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，而f(3)＝－1，f(－3)＝17，f(2)＝－8，f(－2)＝24，則f(x)max＝24，f(x)min＝－8.【答案】[－8,24]2．設(shè)函數(shù)g(x)＝x(x2－1)，則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為________．【解析】g(x)＝x3－x，由g′(x)＝3x2－1＝0，解得x1＝eq\f(\r(3),3)，x2＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)與g(x)的變化情況如下表：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))1g′(x)－0＋g(x)0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增0所以當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)，g(x)有最小值geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝－eq\f(6\r(3),9).【答案】－eq\f(6\r(3),9)3．函數(shù)y＝eq\f(lnx,x)(x＞0)的最大值為________．【解析】y′＝eq\f(lnx′x－lnx·x′,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)＝0，x＝e，當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0；當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，y極大值＝f(e)＝eq\f(1,e)，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymax＝eq\f(1,e).【答案】eq\f(1,e)4．函數(shù)f(x)＝x3－x2－x＋a在區(qū)間[0,2]上的最大值是3，則a的值為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：24830089】【解析】f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(x)＝0，解得x＝－eq\f(1,3)(舍去)或x＝1，又f(0)＝a，f(1)＝a－1，f(2)＝a＋2，則f(2)最大，即a＋2＝3，所以a＝1.【答案】15．已知函數(shù)f(x)＝lnx－x＋a，x∈(0，e]，若f(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】由f(x)＝lnx－x＋a得f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x).當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)遞增；當(dāng)x∈(1，e]時(shí)，f′(x)＜0，f(x)遞減．∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值f(1)＝－1＋a，據(jù)題意可得－1＋a≤0，所以a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，