高中數(shù)學(xué)人教A版1第一章常用邏輯用語命題及其關(guān)系 模塊綜合測評b

模塊綜合測評(B)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．6名同學(xué)安排到3個社區(qū)A，B，C參加志愿者服務(wù)，每個社區(qū)安排兩名同學(xué)，其中甲同學(xué)必須到A社區(qū)，乙和丙同學(xué)均不能到C社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為()A．12 B．9C．6 D．5解析：從甲、乙、丙以外的3人中選2人到C社區(qū)，共Ceq\o\al(2,3)種，剩余的4人中除去甲后任選一人到A社區(qū)共Ceq\o\al(1,3)種，剩余2人到B社區(qū)，共有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9種．答案：B2．在一段時間內(nèi)，甲去某地的概率是eq\f(1,4)，乙去此地的概率是eq\f(1,5)，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內(nèi)至少有1人去此地的概率是()\f(2,5) \f(1,5)\f(3,20) \f(9,20)解析：甲不去某地的概率是eq\f(3,4)，乙不去此地的概率是eq\f(4,5)，則在這段時間內(nèi)至少有1人去此地的概率是1－eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).答案：A3．方程：3Ceq\o\al(x－7,x－3)＝5Aeq\o\al(2,x－4)的根為()A．8 B．9C．10 D．11解析：原方程可化為eq\f(3x－3！,x－7！4！)＝eq\f(5x－4！,x－6！)，整理得x2－9x－22＝0，所以x1＝11，x2＝－2.經(jīng)檢驗，x＝11是方程的根，x＝－2是方程的增根．所以原方程的解是x＝11.答案：D4．(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是()A．42 B．35C．28 D．21解析：利用二項展開式的通項求解．∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)·17－r·xr＝Ceq\o\al(r,7)·xr，令r＝2，則T3＝Ceq\o\al(2,7)x2，即展開式中x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,7)＝21.答案：D5．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：x3456yt4根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝＋，那么表中t的值為()A．3 B．C． D．解析：eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝eq\f(9,2)，eq\x\to(y)＝eq\f＋t＋4＋,4)＝eq\f(11＋t,4)，又∵樣本點中點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在回歸方程上，∴eq\f(11＋t,4)＝×eq\f(9,2)＋，解得t＝3.答案：A6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，所得點數(shù)的樣本空間為S＝{1,2,3,4,5,6}．令事件A＝{2,3,5}，事件B＝{1,2,4,5,6}，則P(A|B)的值為()\f(3,5) \f(1,2)\f(2,5) \f(1,5)解析：P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(2,5).答案：C7．已知兩個隨機變量X，Y，且X＋Y＝8，若X～B(10,，則E(X)和D(Y)分別為()A．2和 B．6和C．2和 D．6和解析：由X～B(10,，易得E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝.又X＋Y＝8，則Y＝8－X，所以D(Y)＝D(8－X)＝D(X)＝.答案：B8．方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A．60條 B．62條C．71條 D．80條解析：利用計數(shù)原理結(jié)合分類討論思想求解．當a＝1時，若c＝0，則b2有4,9兩個取值，共2條拋物線；若c≠0，則c有4種取值，b2有兩種，共有2×4＝8(條)拋物線；當a＝2時，若c＝0，b2取1,4,9三種取值，共有3條拋物線；若c≠0，c取1時，b2有2個取值，共有2條拋物線，c?。?時，b2有2個取值，共有2條拋物線，c取3時，b2有3個取值，共有3條拋物線，c?。?時，b2有3個取值，共有3條拋物線，∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(條)拋物線．同理，a＝－2，－3,3時，共有拋物線3×13＝39(條)．由分類加法計數(shù)原理知，共有拋物線39＋13＋8＋2＝62(條)．答案：B9．為了調(diào)查西瓜爆炸與使用膨大劑的關(guān)系，調(diào)查人員得到了如下表的數(shù)據(jù)使用膨大劑未使用膨大劑合計爆炸瓜3598133沒爆炸瓜71203274合計106301407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則()A．西瓜爆炸與是否使用膨大劑有關(guān)B．西瓜爆炸與是否使用膨大劑無關(guān)C．西瓜是否使用膨大劑決定是否爆炸D．以上都是錯誤的解析：依題中數(shù)據(jù)計算得k＝eq\f(407×35×203－98×712,133×274×106×301)≈，因為k＝＜，所以西瓜爆炸與是否使用膨大劑無關(guān)．答案：B10．袋中有4只紅球，3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量X，則P(X≤7)的值為()\f(11,30) \f(13,35)\f(16,35) \f(7,26)解析：4只球中黑球個數(shù)可能為0,1,2,3，相應(yīng)得分依次為4,6,8,(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,7))＋eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)＋eq\f(12,35)＝eq\f(13,35).答案：B11.某次我市高二教學(xué)質(zhì)量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的直方圖如圖所示(由于人數(shù)眾多，成績分布的直方圖可視為正態(tài)分布)，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是()A．甲科總體的標準差最小B．丙科總體的平均數(shù)最小C．乙科總體的標準差及平均數(shù)都居中D．甲、乙、丙的總體的平均數(shù)不相同解析：由圖形可知μ甲＝μ乙＝μ丙，可知甲、乙、丙的總體的平均數(shù)相同；由σ甲＜σ乙＜σ丙可知甲科總體的標準差最?。鸢福篈12．設(shè)(1－2x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,22)＋…＋eq\f(a10,29)的值為()A．2 B．2046C．2043 D．－2解析：令x＝0得a0＝1；令x＝eq\f(1,2)得a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋…＋eq\f(a10,210)＝0，所以a1＋eq\f(a2,2)＋eq\f(a3,22)＋…＋eq\f(a10,29)＝－2a0＝－2.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．請把正確的答案填在題中的橫線上)13．乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，要派5名隊員參加比賽，其中3名主力隊員安排在第一、第三、第五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、第四位置，那么不同的出場安排共有________種．(用數(shù)字作答)解析：3名主力隊員安排在第一、第三、第五位置，有Aeq\o\al(3,3)種排法，其余7名隊員選2名安排在第二、第四位置，有Aeq\o\al(2,7)種排法．那么不同的排法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,7)＝252種．答案：25214．(a＋x)4的展開式中x3的系數(shù)等于8，則實數(shù)a＝________.解析：(a＋x)4的展開式中的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)a4－rxr，當r＝3時，有Ceq\o\al(3,4)·a＝8，所以a＝2.答案：215．某一部件由三個電子元件按如圖所示方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________．解析：利用獨立事件和對立事件的概率公式求解．設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，∴該部件的使用壽命超過1000小時的事件為(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋AB)C，∴該部件的使用壽命超過1000小時的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)16．下列說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；②設(shè)有一個回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝3－5x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；③線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))必過(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))；④曲線上的點與該點的坐標之間具有相關(guān)關(guān)系；⑤在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得K2＝，則其兩個變量之間有關(guān)系的可能性是90%.其中錯誤的是________．解析：由方差的性質(zhì)知①正確；由線性回歸方程的特點知③正確；②④⑤均錯誤．答案：②④⑤三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分12分)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n展開式中的二項式系數(shù)的和比(3a＋2b)7展開式的二項式系數(shù)的和大128，求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))n展開式中的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項．解析：由題意知2n－27＝128，所以n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(1,x)))8的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(x2)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)x16－3r.當r＝4時，展開式中的項的系數(shù)最大，即T5＝70x4.當r＝3或5時，展開式中的項的系數(shù)最小，即T4＝－56x7，T6＝－56x.18．(本小題滿分12分)為了考察某種新藥的副作用，給50位患者服用此新藥，另外50位患者服用安慰劑(一種和新藥外形完全相同，但無任何藥效的東西)，得到如下觀測數(shù)據(jù)：副作用藥物有無總計新藥153550安慰劑44650總計1981100由以上數(shù)據(jù)，你認為服用新藥會產(chǎn)生副作用嗎？解析：由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測值k＝eq\f(100×15×46－35×42,50×50×19×81)≈.因為＞，所以在犯錯的概率不超過的前提下認為新藥會產(chǎn)生副作用．19．(本小題滿分12分)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為eq\f(1,3)，乙每次投籃投中的概率為eq\f(1,2)，且各次投籃互不影響．(1)求乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率．解析：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)＝eq\f(1,3)，P(Bk)＝eq\f(1,2)(k＝1,2,3)．(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(C)＝P(eq\x\to(A1)B1)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)B2)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)eq\x\to(B2)eq\x\to(A3)B3)＝P(eq\x\to(A1))P(B1)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(B2)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(eq\x\to(B2))P(eq\x\to(A3))P(B3)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(13,27).(2)記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D，則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(D)＝P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)B2)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to(A2)eq\x\to(B2)A3)＝P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(B2)＋P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))P(eq\x\to(A2))P(eq\x\to(B2))P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).20．(本小題滿分12分)有一臺機床可以按各種不同的速度運轉(zhuǎn)，其加工的零件有一些是二級品，每小時生產(chǎn)的二級品零件的數(shù)量隨機床運轉(zhuǎn)的速度而變化．下面是試驗的結(jié)果：機床運轉(zhuǎn)速度(轉(zhuǎn)/秒)每小時生產(chǎn)二級品數(shù)量(個)851281491611(1)作出散點圖；(2)求出機床運轉(zhuǎn)的速度x與每小時生產(chǎn)二級品數(shù)量y的回歸直線方程；(3)若實際生產(chǎn)中所允許的二級品不超過10個，那么機床的運轉(zhuǎn)速度不得超過多少轉(zhuǎn)/秒？解析：(1)散點圖如下圖所示：(2)易求得eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，∴eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)≈6，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)＝－5，即所求回歸直線的方程為：eq\o(y,\s\up6(∧))＝6x－5.(3)根據(jù)公式，要使eq\o(y,\s\up6(∧))≤10，只要6x－5≤10，解得x≤9，即機床的運轉(zhuǎn)速度不能超過9轉(zhuǎn)/秒．21．(本小題滿分13分)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間(分)12345頻率從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時．(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解析：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y12345P(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：①第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；③第一個、第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝×＋×＋×＝.(2)方法一：X所有可能的取值為0,1,2.X＝0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘．所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y＞1)＋P(Y＝2)＝×＋＝；X＝2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝.所以X的分布列為：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.方法二：X所有可能的取值為0,1,2.X＝0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X＝0)＝P(Y＞2)＝；X＝2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝×＝；P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.所以X的分布列為：X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝.22．(本小題滿分13分)(2023·福建卷)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到1