高中物理教科版第三章萬有引力定律 第3章萬有引力定律的應(yīng)用

3．萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)知識脈絡(luò)1.掌握解決天體運動問題的基本思路．(重點)2．會靈活計算天體的質(zhì)量和密度．(重點)3．了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用.萬有引力定律對天文學(xué)的作用[先填空]1．預(yù)言彗星回歸1743年，克雷洛預(yù)言哈雷彗星于1759年4月份經(jīng)過近日點得到了證實，1986年此彗星又一次臨近地球，下一次來訪將是2062年．2．預(yù)言未知星體根據(jù)已發(fā)現(xiàn)的天體的運行軌道結(jié)合萬有引力定律推算出未知星體的軌道，如海王星、冥王星就是這樣發(fā)現(xiàn)的．[再判斷]1．海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性．(√)2．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道發(fā)現(xiàn)的．(×)3．科學(xué)家在觀測雙星系統(tǒng)時，同樣可以用萬有引力定律來分析．(√)[后思考]航天員翟志剛走出“神舟七號”飛船進(jìn)行艙外活動時，要分析其運動狀態(tài)，牛頓定律還適用嗎？【提示】適用．牛頓將牛頓定律與萬有引力定律綜合，成功分析了天體運動問題．牛頓定律對物體在地面上的運動以及天體的運動都是適用的．[合作探討]1846年9月23日晚，德國的伽勒發(fā)現(xiàn)了海王星．探討：你知道海王星是如何發(fā)現(xiàn)的嗎？【提示】根據(jù)天王星的“出軌”現(xiàn)象，法國的勒維耶和英國的亞當(dāng)斯根據(jù)萬有引力定律經(jīng)過計算，預(yù)言了新行星的存在，伽勒在他們預(yù)言的位置發(fā)現(xiàn)了這顆新行星——海王星．[核心點擊]萬有引力定律對天文學(xué)的發(fā)展起到了非常大的推動作用，根據(jù)萬有引力定律可以計算天體的軌道、周期、質(zhì)量和位置等，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)，給天文學(xué)的研究開辟了一條新的道路．1．下列說法正確的是()A．海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B．天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的C．海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的D．天王星的運行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)現(xiàn)了海王星【解析】由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的；海王星不是通過觀測發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的，而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實際軌道與理論軌道存在偏差，然后運用萬有引力定律計算出“新”星的軌道，從而發(fā)現(xiàn)了海王星．由此可知，A、B、C錯誤，D正確．【答案】D2．科學(xué)家們推測，太陽系內(nèi)除八大行星之外還有另一顆行星就在地球的軌道上，從地球上看，它永遠(yuǎn)在太陽的背面，人類一直未能發(fā)現(xiàn)它，可以說是“隱居”著的地球的“孿生兄弟”．由以上信息可以確定()A．這顆行星的公轉(zhuǎn)周期與地球相等B．這顆行星的半徑等于地球的半徑C．這顆行星的密度等于地球的密度D．這顆行星上同樣存在著生命【解析】因只知道這顆行星的軌道半徑，所以只能判斷出其公轉(zhuǎn)周期與地球的公轉(zhuǎn)周期相等．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知，行星的質(zhì)量在方程兩邊可以消去，因此無法知道其密度．【答案】A計算天體質(zhì)量[先填空]1．地球質(zhì)量的計算利用地球表面的物體：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，質(zhì)量為m的物體的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，則M＝eq\f(gR2,G)，只要知道g、R的值，就可計算出地球的質(zhì)量．2．太陽質(zhì)量的計算利用某一行星：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力，即Geq\f(Msm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，由此可得太陽質(zhì)量Ms＝eq\f(4π2r3,GT2)，由此式可知只要測出行星繞太陽運動的公轉(zhuǎn)周期T和距離r就可以計算出太陽的質(zhì)量．[再判斷]1．地球表面的物體，重力就是物體所受的萬有引力．(×)2．繞行星勻速轉(zhuǎn)動的衛(wèi)星，萬有引力提供向心力．(√)3．利用地球繞太陽轉(zhuǎn)動，可求地球的質(zhì)量．(×)[后思考]若已知月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期T和半徑r，由此可以求出地球的質(zhì)量嗎？能否求出月球的質(zhì)量呢？圖3-3-1【提示】能求出地球的質(zhì)量．利用Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，求出的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)為中心天體的質(zhì)量．做圓周運動的月球的質(zhì)量m在等式中已消掉，所以根據(jù)月球的周期T、公轉(zhuǎn)半徑r，無法計算月球的質(zhì)量．[合作探討]1969年7月21日，美國宇航員阿姆斯特朗在月球上烙下了人類第一只腳印(如圖3-3-2所示)，邁出了人類征服宇宙的一大步．圖3-3-2探討1：宇航員在月球上用彈簧秤測出質(zhì)量為m的物體重力為F.怎樣利用這個條件估測月球的質(zhì)量？【提示】設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，則F＝Geq\f(Mm,R2)，故M＝eq\f(FR2,Gm).探討2：宇航員駕駛指令艙繞月球表面飛行一周的時間為T，怎樣利用這個條件估測月球質(zhì)量？【提示】設(shè)月球質(zhì)量為M，半徑為R，由萬有引力提供向心力，Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，M＝eq\f(4π2R3,GT2).[核心點擊]1．計算地球質(zhì)量的兩種方法(1)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得mg＝Geq\f(M地m,R2)解得地球質(zhì)量為M地＝eq\f(R2g,G).(2)若已知月球繞地球做勻速圓周運動的周期為T，半徑為r，根據(jù)萬有引力等于向心力，即eq\f(GM地m月,r2)＝m月eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r可求得地球質(zhì)量M地＝eq\f(4π2r3,GT2).2．計算天體的密度若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)將M＝eq\f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq\f(3πr3,GT2R3).特別地，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq\f(3π,GT2).3．據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的倍，一個在地球表面重量為600N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60N．由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為()A． B．2C． D．4【解析】在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力等于物體的重力．即G地＝Geq\f(M地m,R\o\al(2,地))，同樣在行星表面有G行＝Geq\f(M行m,R\o\al(2,行))，以上二式相比可得eq\f(G地,G行)＝eq\f(M地,R\o\al(2,地))×eq\f(R\o\al(2,行),M行)＝eq\f(1,×eq\f(R\o\al(2,行),R\o\al(2,地))，eq\f(R行,R地)＝eq\r(\f×600,1×960))＝2.故該行星的半徑與地球的半徑之比約為2故選B.【答案】B4．若有一艘宇宙飛船在某一行星表面做勻速圓周運動，設(shè)其周期為T，引力常量為G，那么該行星的平均密度為()【導(dǎo)學(xué)號：67120239】\f(GT2,3π) B．eq\f(3π,GT2)\r(\f(GT2,4π)) D．eq\r(\f(4π,GT2))【解析】設(shè)飛船的質(zhì)量為m，它做圓周運動的半徑為行星半徑R，則Geq\f(Mm,R2)＝m(eq\f(2π,T))2R，所以行星的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2R3,GT2)，行星的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(\f(4π2R3,GT2),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3π,GT2)，B項正確．【答案】B5．火星繞太陽的運動可看作勻速圓周運動，火星與太陽間的引力提供火星運動的向心力，已知火星運行的軌道半徑為r，運行周期為T，引力常量為G，試寫出太陽質(zhì)量的表達(dá)式．【解析】設(shè)太陽質(zhì)量為M，火星的質(zhì)量為m火星與太陽間的引力提供向心力，則有eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)，v＝eq\f(2πr,T).兩式聯(lián)立得M＝eq\f(4π2r3,GT2).【答案】eq\f(4π2r3,GT2)1．計算天體質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體．注意方法的拓展應(yīng)用．明確計算出的是中心天體的質(zhì)量．2．要注意R、r的區(qū)分．R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑．以地球為例，若繞近地軌道運行，則有R＝r.學(xué)業(yè)分層測評(九)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為()\f(mv2,GN) B．eq\f(mv4,GN)C．eq\f(Nv2,Gm) D．eq\f(Nv4,Gm)【解析】由物體靜止時的平衡條件N＝mg得g＝eq\f(N,m)，根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg和Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得M＝eq\f(mv4,GN)，故選B.【答案】B2．“嫦娥二號”是我國月球探測第二期工程的先導(dǎo)星．若測得“嫦娥二號”在月球(可視為密度均勻的球體)表面附近圓形軌道運行的周期T，已知引力常量為G，半徑為R的球體體積公式V＝eq\f(4,3)πR3，則可估算月球的()A．密度 B．質(zhì)量C．半徑 D．自轉(zhuǎn)周期【解析】由萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，由于在月球表面軌道有r＝R，由球體體積公式V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得月球的密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，故選A.【答案】A3．(2023·石家莊高一檢測)設(shè)土星繞太陽的運動為勻速圓周運動，若測得土星到太陽的距離為R，土星繞太陽運動的周期為T，萬有引力常量G已知，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，不能求出的量有()A．土星線速度的大小B．土星加速度的大小C．土星的質(zhì)量D．太陽的質(zhì)量【解析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求：土星的線速度大小v＝eq\f(2πR,T)、土星的加速度a＝eq\f(4π2,T2)R、太陽的質(zhì)量M＝eq\f(4π2R3,GT2)，無法求土星的質(zhì)量，所以選C.【答案】C4．(多選)一行星繞恒星做圓周運動．由天文觀測可得，其運行周期為T，速度為v，引力常量為G，則()【導(dǎo)學(xué)號：67120230】A．恒星的質(zhì)量為eq\f(v3T,2πG)B．行星的質(zhì)量為eq\f(4π2v3,GT2)C．行星運動的軌道半徑為eq\f(vT,2π)D．行星運動的加速度為eq\f(2πv,T)【解析】行星繞恒星轉(zhuǎn)動一圈時，運行的距離等于周長即v·T＝2πr得r＝eq\f(vT,2π)，C選項正確；由萬有引力公式及牛頓第二定律知eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)得M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4π2,GT2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(vT,2π)))3＝eq\f(v3T,2πG)，A選項正確；由a＝eq\f(v2,r)＝eq\f(2πv,T)，D選項正確．行星繞恒星的運動與其自身質(zhì)量無關(guān)，行星的質(zhì)量由已知條件無法求出，故B選項錯誤．【答案】ACD5．月球與地球質(zhì)量之比約為1∶80，有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個由兩質(zhì)點構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞地月連線上某點O做勻速圓周運動．據(jù)此觀點，可知月球與地球繞O點運動線速度大小之比約為()圖3-3-3A．1∶6400 B．1∶80C．80∶1 D．6400∶1【解析】月球和地球繞O點做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，則地球和月球的向心力相等．且月球和地球與O點始終共線，說明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以eq\f(v,v′)＝eq\f(r,R)＝eq\f(M,m)，線速度和質(zhì)量成反比，正確答案為C.【答案】C6．假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d.已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))2 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))2【解析】如圖所示，根據(jù)題意“質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零”，可知：地面處的球殼對地面與礦井底部之間的環(huán)形部分的引力為零，設(shè)地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，由地球表面的物體m1，受到的重力近似等于萬有引力，故m1g＝Geq\f(Mm1,R2)，再將礦井底部所在的球體抽取出來，設(shè)礦井底部處的重力加速度為g′，該球體質(zhì)量為M′，半徑r＝R－d，同理可得礦井底部處的物體m2受到的重力m2g′＝Geq\f(M′m2,r2)，且由M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3，M′＝ρV′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，聯(lián)立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，A對．【答案】A7．“嫦娥一號”是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運行，運行周期為127分鐘．已知引力常量G＝×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為×103A．×10B．×10C．×10D．×10【解析】天體做圓周運動時都是萬有引力提供向心力．“嫦娥一號”繞月球做勻速圓周運動，由牛頓第二定律知：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(4π2mr,T2)，得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，其中r＝R＋h，代入數(shù)據(jù)解得M＝×1022kg，選項D正確．【答案】D8．(2023·西城區(qū)高一檢測)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑為×1011m，公轉(zhuǎn)的周期是×10【解析】根據(jù)牛頓第二定律得：F向＝ma向＝m(eq\f(2π,T))2r①又因為F向是由萬有引力提供的，所以F向＝F萬＝Geq\f(Mm,r2)②由①②式聯(lián)立可得：M＝eq\f(4π2r3,GT2)＝eq\f(4×××10113,×10－11××1072)kg＝×1030kg.【答案】×1030kg[能力提升]9．一物體從某行星表面某高度處自由下落．從物體開始下落計時，得到物體離行星表面高度h隨時間t變化的圖象如圖3-3-4所示，不計阻力．則根據(jù)h-t圖象可以計算出()圖3-3-4A．行星的質(zhì)量B．行星的半徑C．行星表面重力加速度的大小D．物體受到行星引力的大小【解析】根據(jù)圖象可得物體下落25m，用的總時間為s，根據(jù)自由落體公式可求得行星表面的重力加速度，C項正確；根據(jù)行星表面的萬有引力約等于重力，只能求出行星質(zhì)量與行星半徑平方的比值，不能求出行星的質(zhì)量和半徑，A項和B項錯誤；因為物體質(zhì)量未知，不能確定物體受到行星的引力大小，D項錯誤．【答案】C10．如圖3-3-5所示，極地衛(wèi)星的運行軌道平面通過地球的南北兩極(軌道可視為圓軌道)．若已知一個極地衛(wèi)星從北緯30°的正上方，按圖示方向第一次運行至南緯60°正上方時所用時間為t，地球半徑為R(地球可看做球體)，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G.由以上條件可以求出()【導(dǎo)學(xué)號：67120231】圖3-3-5A．衛(wèi)星運行的周期B．衛(wèi)星距地面的高度C．衛(wèi)星的質(zhì)量D．地球的質(zhì)量【解析】根據(jù)t時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角可求出周期T；由Geq\f(mM,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，可求出衛(wèi)星距地面的高度h；由GM＝gR2可求出地球質(zhì)量M，故A、B、D正確．【答案】ABD11．宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不至于因萬有引力的作用吸引到一起．設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距為L，求：(1)雙星的軌道半徑之比；(2)雙星的線速度