系統(tǒng)建模與仿真的基本原理

第2章系統(tǒng)建模與仿真的基本原理

2.1離散事件系統(tǒng)及其模型分類2.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素2.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)2.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

2.4.1分析與綜合

2.4.2抽象與概括

2.4.3歸納與總結(jié)

2.4.4演繹與推理

2.4.5比較與類比

2.4.6概率統(tǒng)計法

2.4.7層次分析法2/5/202312.1離散事件系統(tǒng)及其模型分類

系統(tǒng)分類連續(xù)系統(tǒng)（continuoussystem）離散事件動態(tài)系統(tǒng)（DEDS）確定性系統(tǒng)（

deterministicsystem

）隨機系統(tǒng)（stochasticsystem）靜態(tài)系統(tǒng)（staticsystem）

動態(tài)系統(tǒng)（dynamicsystem）

2/5/202322.1離散事件系統(tǒng)及其模型分類白箱（whitebox）

灰箱（greybox）

黑箱（blackbox）

微觀模型（microscopicmodel）

宏觀模型（macroscopicmodel）

集中參數(shù)模型（

lumpedparametersmodel）

分布參數(shù)模型（distributionparametersmodel）

2/5/202332.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素離散事件系統(tǒng)建模與仿真中的基本元素包括：1．實體（entity）：系統(tǒng)內(nèi)的對象,構(gòu)成系統(tǒng)模型的基本要素

臨時實體（temporaryentity

）

永久實體（permanententity

）

2．屬性（attribute）：實體的狀態(tài)和特性

3．狀態(tài)（state）：任一時刻，系統(tǒng)中所有實體的屬性的集合2/5/202342.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素4．事件（event）：引起系統(tǒng)狀態(tài)變化的行為和起因，是系統(tǒng)狀態(tài)變化的驅(qū)動力

5．活動（activity）：指兩個事件之間的持續(xù)過程，它標志系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移

6．進程（process）：與某類實體相關(guān)的若干有序事件及活動組成，它描述了相關(guān)事件及活動之間的邏輯和時序關(guān)系

2/5/202352.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素7．仿真時鐘（simulationclock）：用于顯示仿真時間的變化，是仿真模型運行時序的控制機構(gòu)

?。。》抡鏁r鐘是指所模擬的實際系統(tǒng)運行所需的時間，而不是指計算機執(zhí)行仿真程序所需的時間。

2/5/202362.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素

常用的仿真時鐘的推進機制：仿真時鐘可以按固定的長度向前推進，也可以按變化的節(jié)拍向前推進，將仿真時鐘變化的機制稱為

仿真時鐘的推進機制（timeadvancemechanism）①固定步長時間推進機制（fixed-incrementtimeadvancemechanism）②下次事件時間推進機制（nexteventtimeadvancemechanism）③混合時間推進機制（mixedtimeadvancemechanism）2/5/202372.2離散事件系統(tǒng)建模的基本元素8.規(guī)則（rule）

：用于描述實體之間的邏輯關(guān)系和系統(tǒng)運行策略的邏輯語句和約定

常用的規(guī)則：①先進先出（FirstInFirstOut，F(xiàn)IFO）②后進先出（LastInFirstOut，LIFO）③加工或服務時間最短（shortesttime）④按優(yōu)先級（highestpriority）⑤隨機（random）選擇

2/5/202382.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)2/5/202392.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)離散事件仿真程序中的子程序：1．變量、實體屬性和系統(tǒng)狀態(tài)：用來記錄系統(tǒng)在不同時刻所處的工作狀況。2．初始化子程序：在仿真模型開始運行前完成模型的初始化工作，產(chǎn)生必要的初試參數(shù)。

3．仿真時鐘：用于記錄仿真模型的運行時間，可作為評價系統(tǒng)性能的依據(jù)，也可作為仿真調(diào)度和仿真程序是否結(jié)束的依據(jù)。

4．事件列表：按事件按發(fā)生的先后順序建立的數(shù)據(jù)列表，是仿真模型運行和仿真時鐘推進的依據(jù)。

2/5/2023102.3離散事件系統(tǒng)仿真程序的基本結(jié)構(gòu)5．定時子程序：根據(jù)事件表確定下一個將發(fā)生的事件，并將仿真時鐘推進到下次事件發(fā)生的時刻。

6．事件子程序：根據(jù)實際系統(tǒng)抽象出的事件程序。7．仿真數(shù)據(jù)處理與分析子程序：用于計算、顯示、分析和打印仿真結(jié)果，并為系統(tǒng)的優(yōu)化和改進提供依據(jù)。

2/5/2023112.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

系統(tǒng)建模要求建模者具備以下能力：建立系統(tǒng)模型是復雜的思維過程，它要求建模者具備扎實的專業(yè)知識，了解研究對象的結(jié)構(gòu)、參數(shù)、運行和性能特征，還要求建模者掌握系統(tǒng)建模的基本方法，熟練應用相關(guān)的數(shù)學工具和方法。

①對研究對象的分析和綜合能力；②抽象和概括能力；③洞察和想象能力；④運用數(shù)學工具分析問題的能力；⑤設(shè)計試驗驗證數(shù)學模型的能力。2/5/2023122.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.1

分析與綜合（analysisandsynthesis）

分析是研究系統(tǒng)的基礎(chǔ)，也是認識事物的必經(jīng)階段。分析（analysis）是指將被研究對象的整體分解為不同部分、

方面、要素、層次和功能模塊，并且分別加以考察研究的思維方法，即“化整為零”的思維過程。分析的任務包括：①分析構(gòu)成系統(tǒng)的要素、結(jié)構(gòu)及其屬性；②通過對系統(tǒng)運行過程的分析，確定系統(tǒng)要素之間的關(guān)系。

2/5/2023132.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

綜合（synthesis）是將已有的關(guān)于研究對象的各個部分、方面、要素、層次和功能模塊的認識聯(lián)結(jié)起來，以便構(gòu)成一個整體的思維方法，即“積零為整”的思維過程。綜合不是系統(tǒng)要素、結(jié)構(gòu)的簡單累加，而要在分析的基礎(chǔ)上區(qū)分主次、去粗取精，以便從整體上把握系統(tǒng)的本質(zhì)特征和運行規(guī)律，以便正確地認識系統(tǒng)。分析與綜合是揭示系統(tǒng)規(guī)律的基本方法之一。分析是綜合的基礎(chǔ)，但是分析著眼于系統(tǒng)局部，分析得到的結(jié)果是關(guān)于系統(tǒng)各部分的信息，而不是關(guān)于系統(tǒng)整體的認識。若只分析而忽視綜合，就會導致片面性。2/5/2023142.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

分析的目的是為了綜合，分析結(jié)果是綜合的出發(fā)點。實際上，認識系統(tǒng)的過程就是沿著“分析-綜合-再分析-再綜合…”不斷深化的過程。系統(tǒng)建模時，應先分析后綜合，將二者有機地結(jié)合起來。2/5/2023152.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

分析與綜合案例——元素周期表2/5/2023162.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2/5/2023172.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.2

抽象與概括（abstractionandgeneralization）

抽象（abstraction）是指從某種角度抽取要研究系統(tǒng)的本質(zhì)屬性的思維方法。在數(shù)學中，抽象是指從研究對象或問題中抽取出數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性對其進行考察的方法。數(shù)學中的概念、關(guān)系、定理、方法、符號等都是數(shù)學抽象的結(jié)果。采用系統(tǒng)建模與仿真技術(shù)研究系統(tǒng)時，需要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。因此，抽象思維是數(shù)學建模的基礎(chǔ)之一。2/5/2023182.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

概括（generalization）是把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進行考察的思維方法。概括以抽象為基礎(chǔ)，它是抽象的發(fā)展。抽象度越高，則概括性越強。高度的概括使得對事物的理解更具有一般性，所獲得的理論或方法也就更具有普遍的指導性。抽象思維側(cè)重于分析、提煉，概括思維則側(cè)重于歸納、綜合。2/5/2023192.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

抽象與概括案例——哥尼斯堡七橋問題2/5/2023202.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

抽象與概括案例——系統(tǒng)可靠性框圖（RBD）2/5/2023212.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.3歸納與總結(jié)（inductionandsummingup）

歸納是指從個別的事物、現(xiàn)象出發(fā)，通過感官觀察、經(jīng)驗推理或數(shù)學推導等，得出關(guān)于此類事物或現(xiàn)象的具有普遍性結(jié)論的過程。

歸納的前提是單個事實或特殊的情況，它建立在觀察、經(jīng)驗或?qū)嶒灥幕A(chǔ)上。歸納的意義在于：在一定條件下，將得出的結(jié)論應用于不同的應用對象，或避免犯類似的錯誤。

2/5/2023222.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——哥德巴赫猜想

1742年，德國數(shù)學家哥德巴赫（Christian

Goldbach，1690-1764）研究發(fā)現(xiàn)：奇數(shù)都可以由三個素數(shù)相加，如77＝53＋17＋7，461＝449＋7＋5＝257＋199＋5等。于是，他歸納出一個規(guī)律：所有大于5的奇數(shù)都可以分解為三個素數(shù)之和。他寫信給數(shù)學家歐拉，提出上述猜想。歐拉肯定了他的想法，并補充提出：4以后每個偶數(shù)都可以分解為兩個素數(shù)之和。后來，人們將這兩個命題合稱為哥德巴赫猜想。2/5/2023232.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——開普勒定律自1601年起，德國天文學家開普勒（JohannesKepler，1571-1630）采用數(shù)學方法研究行星運動，于1609年歸納出開普勒第一定律和開普勒第二定律。

開普勒第一定律可表述為“各行星分別在大小不同的橢圓軌道上繞太陽運行，太陽位于這些橢圓的一個焦點上”；

開普勒第二定律可表述為“對同一顆行星而言，太陽和行星之間的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積”。2/5/2023242.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——開普勒定律為進一步尋求行星運動周期與橢圓軌道尺寸之間的關(guān)系，開普勒又經(jīng)過九年的反復計算和假設(shè)，于1618年發(fā)現(xiàn)了隱藏在大量觀測數(shù)據(jù)后面的規(guī)律，歸納出“行星繞太陽運行周期（T）的平方與它們到它們到太陽的平均距離（橢圓軌道長軸半徑a）的立方成正比”的結(jié)論，此即開普勒第三定律。2/5/2023252.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

歸納與總結(jié)案例——開普勒定律

1619年，開普勒在《宇宙的和諧》一書中介紹了第三定律。他在書中寫道：“認識到這一真理，超出了我最美好的期望”。

開普勒的三大定律是天文學的又一次革命，它徹底摧毀了托勒密復雜的本輪宇宙體系，完善并簡化了哥白尼的日心宇宙體系，對后人確認太陽系結(jié)構(gòu)提供了理論依據(jù)，并為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律奠定了基礎(chǔ)。2/5/2023262.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.4演繹與推理（deductionandreasoning）

演繹（deduction）是由普遍性前提推導出特殊性結(jié)論的思維方法，是由一般到特殊的推理過程。演繹推理是嚴格的邏輯推理，一般表現(xiàn)為大前提、小前提、

結(jié)論的三段論模式，即從兩個反映客觀世界對象聯(lián)系和關(guān)系的判斷中得出新的判斷的推理形式。

演繹推理（deductivereasoning）的基本要求是：①大、小前提的判斷必須真實；②推理過程必須符合正確的邏輯形式和規(guī)則。當推理形式和推理邏輯正確時，在真實的前提下由演繹方法一定能得出正確的結(jié)論，不會出現(xiàn)前提真而結(jié)論假的情況。2/5/202327按照前提和結(jié)論之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，可以分為以下幾種：三段論假言推理充分條件規(guī)則1：肯定前件，就要肯定后件；否定前件，不能否定后件。1.如果誰驕傲自滿，那么他就要落后；小張驕傲自滿，所以，小張必定要落后。規(guī)則2：否定后件，就要否定前件；肯定后件，不能肯定前件。2.如果誰得了肺炎，他就一定要發(fā)燒；小李沒發(fā)燒，所以，小李沒患肺炎。

必要條件規(guī)則1：否定前件，就要否定后件；肯定前件，不能肯定后件。只有年滿十八歲，才有選舉權(quán)；小周不到十八歲，所以，小周沒有選舉權(quán)。

規(guī)則2：肯定后件，就要肯定前件；否定后件，不能否定前件。只有選用優(yōu)良品種，小麥才能豐收；小麥豐收了，所以，這塊麥田選用了優(yōu)良品種。2/5/202328根據(jù)規(guī)則，必要條件假言推理的肯定前件式和否定后件式都是無效的。例如：3.只有有作案動機，才會是案犯；某人確有作案動機，所以，某人定是案犯。4.只有學習成績優(yōu)良，才能做三好學生；小吳不是三好學生，所以，小吳學習成績不是優(yōu)良。

充分必要條件假言推理規(guī)則1：肯定前件，就要肯定后件；肯定后件，就要肯定前件。規(guī)則2：否定前件，就要否定后件；否定后件，就要否定前件。1.一個數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除；這個數(shù)是偶數(shù)，所以，這個數(shù)能被2整除。2.一個數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除；這個數(shù)能被2整除，所以，這個數(shù)是偶數(shù)。3.一個數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除；這個數(shù)不是偶數(shù)，所以，這個數(shù)不能被2整除。4.一個數(shù)是偶數(shù)當且僅當它能被2整除；這個數(shù)不能被2整除，所以，這個數(shù)不是偶數(shù)。2/5/202329選言推理相容推理規(guī)則1：否定一部分選言支，就要肯定另一部分選言支。規(guī)則2：肯定一部分選言支，不能否定另一部分選言支。1.金敏是教師或者是律師，她不是教師，所以，她是律師。（正）2.金敏是教師或者是律師，她是教師，所以，她不是律師。（誤）

不相容推理規(guī)則1：否定一部分選言支，就要肯定另一部分選言支。規(guī)則2：肯定一部分選言支，就要否定另一部分選言支。1.要么小李得冠軍，要么小王得冠軍；小李沒有得冠軍，所以，小王得冠軍。2.要么去桂林旅游，要么去海南旅游；去桂林旅游，所以，不去海南旅游。2/5/2023302.4建立系統(tǒng)模型的常用方法英國科學家牛頓（IsaacNewton，1642-1727）以微積分方法為工具，應用演繹推理方法，在開普勒三定律和牛頓第二定律的基礎(chǔ)上，推導出萬有引力定律，從而定量地解釋了許多自然現(xiàn)象。由于該演繹推理的前提正確、推理邏輯無誤，萬有引力被大量的實驗數(shù)據(jù)所證實。愛因斯坦曾說過：“理論研究者的工作可分成兩步，首先是發(fā)現(xiàn)公理，其次是從公理推出結(jié)論”。

愛因斯坦還曾指出：“科學發(fā)展早期所采用的方法以歸納為主，隨著科學的發(fā)展而讓逐步位于探索性的演繹法?！?/5/2023312.4建立系統(tǒng)模型的常用方法

恩格斯曾經(jīng)指出：“正如分析和綜合一樣，歸納和演繹是必然相互聯(lián)系著的”。諾貝爾獎得主楊振寧教授也曾說：“中華文化有歸納法，可沒有推演法（演繹法），而近代科學是把歸納法和推演法結(jié)合起來而發(fā)展的，推演法對于近代科學產(chǎn)生的影響無法估量。”2/5/2023322.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.5比較與類比（comparisonandanalogy）要判定一個系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，可以采用以下兩種方法：①采用實驗手段直接測量，得到系統(tǒng)性能的絕對值；

②將待研究對象與類似的已知系統(tǒng)作比較，得到系統(tǒng)性能的相對值。

比較與類比（comparisonandanalogy）是指由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式。2/5/2023332.4建立系統(tǒng)模型的常用方法一個由質(zhì)量為m的剛體、阻尼系數(shù)為c的阻尼器以及剛度系數(shù)為k的彈簧組成的機械系統(tǒng)。在外力F的作用下，根據(jù)牛頓定律，對剛體m可建立如下振動微分方程式：

由電感L、電容C、電阻R組成的電路，系統(tǒng)，當輸入電壓為u1時，電容上的輸出電壓為uC當輸入電壓為u1時，根據(jù)基爾霍夫定律，u1和uC滿足如下微分方程式：2/5/2023342.4建立系統(tǒng)模型的常用方法2.4.6概率統(tǒng)計法（probabilisticmethod）

系統(tǒng)建模和仿真時，模型的輸入?yún)?shù)（如待加工零件的比例和到達時間、零件在不同工序的加工時間、設(shè)備故障停機時間等）都服從一定分布，系統(tǒng)的性能指標（如機床利用率、零件平均等待時間、車間生產(chǎn)率等）也具有隨機性。

要準確地描述模型的輸入/輸出參數(shù)，必須利用概率統(tǒng)計法。概率統(tǒng)計法（probabilitystatisticsmethod）是以概率論為基礎(chǔ)，通過觀察、采集、處理和分析待研究系統(tǒng)的樣本數(shù)據(jù)，從而推斷出系統(tǒng)總體性能指標。2/5/2023352.4.7層次分析法建模一問題的提出例1購物買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。

決策是指在面臨多種方案時需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。2/5/202336

假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例2旅游例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。2/5/202337

由于經(jīng)費等因素，有時不能同時開展幾個課題，一般依據(jù)課題的可行性、應用價值、理論價值、被培養(yǎng)人才等因素進行選題。

面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎亟o用數(shù)學方法解決問題帶來不便。T.L.saaty等人在20世紀七十年代提出了一種能有效處理這類問題的實用方法。例4科研課題的選擇2/5/202338

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。

過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機數(shù)學為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學工具之一。2/5/202339層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）

層次分析法的基本原理：

測度原理

遞階層次結(jié)構(gòu)原理決策是從一組備選方案中選擇理想的方案。它是在一定準則下通過“效用函數(shù)”值的最大化來實現(xiàn)的。要實現(xiàn)上述目標，首先要對各種因素進行測度。影響決策的各種因素之間往往存在自上至下、遞階、逐層支配的關(guān)系。2/5/202340層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）

排序原理層次分析法將同層次的一組元素，通過兩兩比較，以確定各因素的相對重要性，最終得到權(quán)重矩陣。

綜合評價原理以系統(tǒng)化的方法，綜合評價各方案的總體性能。2/5/202341§層次分析法的基本原理和步驟

運用層次分析法解決問題，大體可以分為四個步驟：

1.建立問題的遞階層次結(jié)構(gòu)；

2.構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；

3.由判斷矩陣計算被比較元素相對權(quán)重；

4.計算各層次元素的組合權(quán)重。2/5/202342層次分析法的基本思路：與人們對某一復雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆2/5/2023431建立層次結(jié)構(gòu)模型

一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中間是準則層或指標層。例1的層次結(jié)構(gòu)模型準則層方案層目標層2/5/202344目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.2/5/202345“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標層O，準則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準則對目標的權(quán)重，及各方案對每一準則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。2/5/202346設(shè)某層有個因素，2構(gòu)造成對比較矩陣要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把個因素對上層某一目標的影響程度排序）用表示第個因素相對于第個因素的比較結(jié)果，則則稱為成對比較矩陣。上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1~9尺度。2/5/2023472468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量2/5/202348成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地2/5/202349成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量2/5/202350成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量

2/5/202351若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應于最大特征根的歸一化特征向量，且定理：階互反陣的最大特征根，當且僅當時，為一致陣。表示下層第個因素對上層某因素影響程度的權(quán)值。若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大特征根對應的歸一化特征向量作為權(quán)向量，則（為什么？）這樣確定權(quán)向量的方法稱為特征根法.英雄帖2題目：該定理的證明。分值：2英雄帖1題目：特征根法的原因分值：12/5/202352一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍定義一致性指標:CI越大，不一致越嚴重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI當CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下由于連續(xù)的依賴于，則比大的越多，的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權(quán)向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。2/5/202353“選擇旅游地”中準則層對目標的權(quán)向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗2/5/202354組合權(quán)向量記第2層（準則）對第1層（目標）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)2/5/202355

（2）考慮第3層對第2層由1–9尺度得2/5/202356權(quán)向量矩陣2/5/2023574層次總排序及其一致性檢驗

確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權(quán)值過程，稱為層次總排序

從最高層到最低層逐層進行。設(shè)：

對總目標Z的排序為的層次單排序為2/5/202358即層第個因素對總目標的權(quán)值為：層的層次總排序為：B層的層次總排序AB2/5/202359層次總排序的一致性檢驗設(shè)層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到此，根據(jù)最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。2/5/202360

（3）組合權(quán)向量2/5/202361（4）組合一致性檢驗2/5/202362第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗

w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T2/5/202363旅游決策問題計算結(jié)果權(quán)向量C對U0.2640.4760.0540.0980.109λm(2)CI(2)CR(2)5.0720.0180.016準則C方案PC1C2C3C4C5組合權(quán)向量P對U權(quán)向量P對CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455λm(3)3.0063.00233.0093CR(3)CI(3)0.0030.00100.0050RI(3)0.580.580.580.580.580.0032/5/2023642/5/2023652/5/202366四層次分析法的優(yōu)點和局限性1系統(tǒng)性

層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。2實用性層次分析法把定性和定量方法結(jié)合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。2/5/2023673簡潔性具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。以上三點體現(xiàn)了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限性主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。2/5/202368第二該法中的比較、判斷以及結(jié)果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。第三從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結(jié)果難以讓所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。思考：多名專家的綜合決策問題2/5/202369五正互反陣最大特征值和特征向量實用算法用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當困難，特別是階數(shù)較高時；成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結(jié)果，對它的精確計算是沒有必要的。尋找簡便的近似方法。2/5/202370定理對于正矩陣A

（A的所有元素為正）1）A的最大特征根為正單根；2）對應正特征向量w（w的所有分量為正）；3）其中是對應的歸一化特征向量。2/5/2023711冪法步驟如下a)任取n維歸一化初始向量b)

計算c)歸一化，即令2/5/202372d)

對于預先給定的精度，當下式成立時即為所求的特征向量；否則返回b；e)計算最大特征值這是求特征根對應特征向量的迭代方法，其收斂性由定理的3）保證。2/5/2023732和法步驟如下a)將A的每一列向量歸一化得b)

對c)歸一化按行求和得d)計算2/5/2023743根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對按行求積并開n次方，即三方法中，和法最為簡便?？聪铝欣印)計算，最大特征值的近似值。2/5/202375列向量歸一化求和歸一化精確計算，得2/5/202376§范例工作選擇：經(jīng)雙方懇談，已有三個單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示：2/5/202377經(jīng)過仔細斟酌，該生對準則層和方案層分別進行了兩兩比較，所做的兩兩比較判斷矩陣為：2/5/2023782/5/2023792/5/2023802/5/202381對矩陣A和Bj（j=1,…,6）分別進行求最大特征值、一致性判斷、求權(quán)值等運算，再經(jīng)過組合權(quán)重的計算和組合一致性的判斷，最終結(jié)果是：該生最滿意的工作為工作1。中間的具體計算結(jié)果如表1.3.1和表1.3.2所示。2/5/202382表1.3.1各層及組合權(quán)值準則研究發(fā)展待遇同事地理單位課題前途情況位置名氣總排序權(quán)值準則層權(quán)值0.15070.17920.18860.04720.14640.2879方案層單排序權(quán)值工作10.13650.09740.24260.27900.46670.79860.3952工作20.62500.33310.08790.64910.46670.10490.2996工作30.23850.56950.66940.07190.06670.09650.30522/5/202383表1.3.2各層及組合一致性比例準則研究發(fā)展待遇同事地理單位課題前途情況位置名氣組合一致比例準則層一致比例0.0981方案層一致比例0.01760.02360.00680.06240.00000.00680.11112/5/202384注意：事實上，在準則層的最終組合一致性比例為0.1111，大于0.1。但由于各個單層的一致性都是可以接受的，組合一致性比例比0.1大的很少，考慮到調(diào)整兩兩比較判斷矩陣非常麻煩，故在此問題中，我們認可這樣的一致性比例。2/5/202385層次分析法在彩票抽獎

方案選擇中的應用

2002年全國大學生數(shù)學建模競賽B題：

已知29種彩票抽獎方案，要求綜合分析各種獎項出現(xiàn)的可能性、獎項和獎金額的設(shè)置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性，設(shè)計一種“更好”的方案及相應的算法。

2/5/202386

一、問題的提出

已給的29種方案分為兩種類型

1、“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：投注者從0~9十個號碼中任選6個基本號碼（可重復），從0~4中選一個特別號碼，構(gòu)成一注。根據(jù)單注號碼與中獎號碼相符的個數(shù)多少及順序確定中獎等級；

2/5/202387表1：“傳統(tǒng)型”中獎辦法中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼