高中數(shù)學(xué)北師大版2本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 階段質(zhì)量評估

第一章推理與證明一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù){1}；第二組含二個(gè)數(shù){3,5}；第三組含三個(gè)數(shù){7,9,11}；…；試觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號(hào)數(shù)n有什么關(guān)系()A．等于n2 B．等于n3C．等于n4 D．等于n(n＋1)解析：第一組內(nèi)各數(shù)之和為1，第二組內(nèi)各數(shù)之和為3＋5＝8＝23，第3組內(nèi)各數(shù)之和為7＋9＋11＝27＝33，由此猜想：第n組內(nèi)各數(shù)之和為n3.答案：B2．給出下列三個(gè)類比結(jié)論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2共中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：①②錯(cuò)誤，③正確．答案：B3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)至少有一個(gè)鈍角B．假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角C．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角D．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：用反證法對命題的假設(shè)就是對命題的否定，“至多有一個(gè)”的否定是“至少有兩個(gè)”，故選B.答案：B4．實(shí)數(shù)a，b，c不全為0等價(jià)于()A．a(chǎn)，b，c全不為0B．a(chǎn)，b，c中最多只有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中只有一個(gè)不為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為0解析：“不全為0”等價(jià)于“至少有一個(gè)不為0答案：D5．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12345678910根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n≥3)行的從左至右的第3個(gè)數(shù)是()\f(n2－n＋6,2) \f(n2－n＋4,2)\f(n2－n＋2,2) \f(n2－n,2)解析：第1行1個(gè)數(shù)，第2行2個(gè)數(shù)，第3行3個(gè)數(shù)，第n－1行n－1個(gè)數(shù)∴1＋2＋…＋(n－1)＝eq\f(n－1·n,2)，∴第n行的第3個(gè)數(shù)為eq\f(n－1·n,2)＋3＝eq\f(n2－n＋6,2).答案：A6．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N＋都成立，那么a、b、c的值為()A．a(chǎn)＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4) B．a(chǎn)＝b＝c＝eq\f(1,4)C．a(chǎn)＝0，b＝c＝eq\f(1,4) D．不存在這樣的a、b、c解析：∵已知等式對一切n∈N＋都成立，∴當(dāng)n＝1,2,3時(shí)也成立．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3a－b＋c,1＋2×3＝322a－b＋c,1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝c＝\f(1,4).))答案：A7．用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式：1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式左端應(yīng)添加的項(xiàng)是()A．k2＋1B．(k＋1)2C．[(k＋1)＋1]2D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2解析：n＝k時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.兩式相減，可知等式左端應(yīng)添加的項(xiàng)是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.故選D.答案：D8．已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，則a的值為()A．2n B．n2C．22(n－1) D．nn解析：觀察a與n＋1的關(guān)系：1→2,4→3,27→4，即(2－1)1→2，(3－1)2→3，(4－1)3→4，故(n＋1－1)n→n＋1，所以a＝nn.答案：D9．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，n∈N)，則a2009的值為()A．－1 \f(1,2)C．1 D．2解析：∵an＝eq\f(1,1－an－1)，又a1＝eq\f(1,2)，∴a2＝eq\f(1,1－a1)＝2.a3＝eq\f(1,1－a2)＝－1.a4＝eq\f(1,1－a3)＝a1＝eq\f(1,2).∴數(shù)列{an}的項(xiàng)是周期性出現(xiàn)，周期為3.∴a2009＝a669×3＋2＝a2＝2.答案：D10．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命題總成立的是()A．若f(1)＜1成立，則f(10)＜100成立B．若f(2)＜4成立，則f(1)≥1成立C．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立D．若f(4)≥25成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)≥k2成立解析：題設(shè)中“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．實(shí)際上是給出了一個(gè)遞推關(guān)系，從數(shù)學(xué)歸納法來考慮，∵f(4)≥25成立，∴f(4)≥16成立，即k的基礎(chǔ)值為4，所以A、B、C都錯(cuò)誤，故選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)11．在等差數(shù)列{an}中，有Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd，其中Sm，Sn，Sm＋n，分別是{an}的前m，n，m＋n項(xiàng)和，用類比推理的方法，在等比數(shù)列{bn}中，有__________________．解析：由等差數(shù)列到等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)：“和?積”，“積?乘方”可猜測在等比數(shù)列中有Am＋n＝Am·An·qmn，事實(shí)上，設(shè)公比為q，An為前n項(xiàng)積，則有Am＋n＝b1·b2·b3·…·bm＋n＝b1·b1q·b1q2·…·b1qm＋n－1＝beq\o\al(m＋n,1)·q1＋2＋…＋(m＋n－1)＝beq\o\al(m＋n,1)qeq\f(m＋n－1m＋n,2)又Am·An·qmn＝(b1·b2·…·bm)·(b1·b2·…·bn)·qmn＝beq\o\al(m,1)·q1＋2＋…＋(m－1)·beq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)·qmn＝beq\o\al(m＋n,1)·qeq\f(m－1m,2)＋eq\f(n－1n,2)＋mn＝beq\o\al(m＋n,1)·qeq\f(m＋nm＋n－1,2)故猜測正確．答案：Am＋n＝Am·An·qmn，其中Am＋n、Am、An分別是{bn}的前m＋n，m，n項(xiàng)之積，q為公比12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)，…根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋且n≥2時(shí)，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________________.解析：由f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)得，f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…∴當(dāng)n≥2且n∈N＋時(shí)，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)13．平面上，周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是___________________．解析：平面中的“周長”類比為空間中的“面積”，“平面圖形”類比成“空間幾何體”，“面積”類比成“體積”，“圓”類比成“球”．答案：在空間幾何體中，表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體與球中，球的體積最大．14.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，右圖為一組蜂巢的截面圖．其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)，則f(n)＝_____________.解析：由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，推測當(dāng)n≥2時(shí)，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，故f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.答案：3n2－3n＋1三、解答題(本大題共4小題，滿分50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)．求證：a是偶數(shù)．證明：(反證法)假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)，則設(shè)a＝2n＋1(n∈Z)．所以a2＝4n2＋4n＋1.因?yàn)?(n2＋n)是偶數(shù)，所以4n2＋4n＋1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，從而，a一定是偶數(shù)．16．(本小題滿分12分)把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立．(1)如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，則必和另一條相交；(2)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行．解析：(1)類比為：如果一個(gè)平面和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，則必和另一個(gè)相交．結(jié)論是正確的：證明如下：設(shè)α∥β，且γ∩α＝a，則必有γ∩β＝b，若γ與β不相交，則必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，與γ∩α＝a矛盾，∴必有γ∩β＝b.(2)類比為：如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行，結(jié)論是錯(cuò)誤的，這兩個(gè)平面也可能相交．17.(本小題滿分12分)將自然數(shù)排成螺旋狀如圖所示；第一個(gè)拐彎處的數(shù)是2，第二個(gè)拐彎處的數(shù)是3，第20個(gè)及第25個(gè)拐彎處的數(shù)各是多少？解析：前幾個(gè)拐彎處的數(shù)依次是2,3,5,7,10,13,17,21,26，…，這是一個(gè)數(shù)列，把數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，得一新數(shù)列：1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，把原數(shù)列的第一項(xiàng)2添在新數(shù)列的前面，得到2,1,2,2,3,3,4,4,5,5，…，于是原數(shù)列的第n項(xiàng)an就等于此新數(shù)列的前n項(xiàng)和，即a1＝2＝1＋1＝2，a2＝2＋1＝1＋(1＋1)＝3，a3＝2＋1＋2＝1＋(1＋1＋2)＝5，a4＝2＋1＋2＋2＝1＋(1＋1＋2＋2)＝7，…，所以，第20個(gè)拐彎處的數(shù)是：a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10)＝1＋2×(1＋2＋…＋10)＝111，第25個(gè)拐彎處的數(shù)是：a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13)＝170.18．(本小題滿分14分)數(shù)列{an}是這樣確定的：a1＝1，an＋1＝pan＋x，p≠0且p≠1，n＝2,3,4，…，試歸納出an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．解析：a2＝pa1＋x＝p＋x，a3＝pa2＋x＝p(p＋x)＋x＝p2＋(p＋1)x，同理a4＝p3＋(p2＋