高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明 第二章綜合法與分析法

第二章推理與證明直接證明與間接證明2.2.1綜合法與分析法A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．“a＞0”是“|a|＞0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因?yàn)閨a|＞0?a＞0或a＜0，且a＞0?|a|＞0，但|a|＞0，a＞0，所以“a＞0”是“|a|＞0”答案：A2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b＞0 B．a(chǎn)－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0解析：要證明eq\r(b2－ac)＜eq\r(3)a，只需證b2－ac＜3a2只需證(a＋c)2－ac＜3a2只需證－2a2＋ac＋c2＜0即證2a2－ac－c2＞0即證(a－c)(2a＋c)＞0即證(a－b)(a－c)＞0.答案：C3．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，則該三角形是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：由sinAcosA＝sinBcosB得sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).所以該三角形是等腰或直角三角形．答案：D4．對(duì)于不重合的直線m，l和平面α，β，要證明α⊥β，需要具備的條件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l?αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m?α解析：對(duì)于選項(xiàng)A，與兩相互垂直的直線平行的平面的位置關(guān)系不能確定；對(duì)于選項(xiàng)B，平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面的交線垂直，這兩個(gè)平面的位置關(guān)系不能確定；對(duì)于選項(xiàng)C，這兩個(gè)平面有可能平行或重合；根據(jù)面面垂直的判定定理知選項(xiàng)D正確．答案：D5．下面的四個(gè)不等式：①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解析：因?yàn)閍2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝eq\f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0；a(1－a)－eq\f(1,4)＝－a2＋a－eq\f(1,4)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)≤0；(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2；而③中，當(dāng)a·b＞0時(shí)，不等式成立．所以①②④正確．答案：C二、填空題6．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，則a2＋b2≥__________(填常數(shù))．解析：由a＋b＝2可得ab≤1，又a2＋b2＝4－2ab，所以a2＋b2≥2.答案：27．已知函數(shù)f(x)＝2x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系是__________．解析：因?yàn)閑q\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a，b為正實(shí)數(shù))，eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)，且f(x)＝2x是增函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，即C≤B≤A.答案：C≤B≤A8．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值為________．解析：根據(jù)條件可知，欲求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)的最小值．只需求(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))的最小值，因?yàn)?a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”)．答案：9三、解答題9.如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過點(diǎn)A作SB的垂線，垂足為E，過點(diǎn)E作SC的垂線，垂足為F.求證：AF⊥SC.證明：要證AF⊥SC，而EF⊥SC，故只需證SC⊥平面AEF，只需證AE⊥SC，而AE⊥SB，故只需證AE⊥平面SBC，只需證AE⊥BC，而AB⊥BC，故只需證BC⊥平面SAB，只需證BC⊥SA.由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立，所以AF⊥SC成立．10．求證：2cos(α－β)－eq\f(sin（2α－β）,sinα)＝eq\f(sinβ,sinα).證明：要證原等式，只需證：2cos(α－β)sinα－sin(2α－β)＝sinβ，①因?yàn)棰僮筮叄?cos(α－β)sinα－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝cos(α－β)sinα－sin(α－β)cosα＝sinβ.所以①成立，所以原等式成立．B級(jí)能力提升1．若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間()A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)解析：因?yàn)閍＜b＜c，所以f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由零點(diǎn)存在性定理知，選項(xiàng)A正確．答案：A2.如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿足__________________時(shí)，BD⊥A1解析：要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1因?yàn)锳A1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1答案：AC⊥BD(答案不唯一)3．已知a、b、c∈R＋，求證：eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3).證明：要證eq\r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq\f(a＋b＋c,3)，只需證eq\f(a2＋b2＋c2,3)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3