高中數(shù)學(xué)人教B版第一章立體幾何初步 10

第4課時(shí)1.1.3圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球——圓柱、圓錐、課時(shí)目標(biāo)1.在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)用旋轉(zhuǎn)的方法定義圓柱、圓錐、圓臺(tái)，探索和研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間的關(guān)系．2．認(rèn)識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的截面圖形，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些圖形解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．識(shí)記強(qiáng)化1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)可以分別看作以矩形一邊、直角三角形的一直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體，旋轉(zhuǎn)軸叫做所圍成的幾何體的軸；在軸上的這條邊(或它的長(zhǎng)度)叫做這個(gè)幾何體的高；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做這個(gè)幾何體的底面；不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做這個(gè)幾何體的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做側(cè)面的母線．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球等幾何體，都是由一個(gè)平面圖形繞著一條直線旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面所圍成的幾何體，這類(lèi)幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸．課時(shí)作業(yè)一、選擇題(每個(gè)5分，共30分)1．將①②③中的展開(kāi)圖還原后得到的幾何體分別是()A．圓柱、圓錐、棱柱B．圓柱、圓錐、棱錐C．圓臺(tái)、圓柱、棱錐D．圓臺(tái)、圓錐、棱柱答案：B解析：圖①中的兩個(gè)圓分別為圓柱的兩個(gè)底面，長(zhǎng)方形為圓柱的側(cè)面；圖②中的圓為圓錐的底面，半圓為圓錐的側(cè)面；圖③顯然能還原成棱錐．2．下列說(shuō)法：①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓錐；②以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓；④分別以矩形兩條不相等的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周，所得的兩個(gè)圓柱是不同的圓柱．其中正確的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案：B解析：圓錐是以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的，所以①是錯(cuò)誤的；圓臺(tái)是以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的，所以②是錯(cuò)誤的；③顯然是正確的；由圓柱的定義，隨便以矩形的哪條邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體都是圓柱，但顯然不是同一圓柱，所以④正確，所以答案選B.3．一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面半徑為3，則該圓錐的軸截面的面積為()A．10B．12C．20D．15答案：B解析：圓錐的軸截面是等腰三角形，兩腰為圓錐的母線，底邊為圓錐的底面圓的直徑，所以軸截面的面積S＝eq\f(1,2)×2×3×eq\r(52－32)＝12，故選B.4．已知一個(gè)平放的棱長(zhǎng)為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球O(重量忽略不計(jì))，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的eq\f(7,8)時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則球的表面積等于()\f(7,6)π\(zhòng)f(4,3)π\(zhòng)f(2,3)π\(zhòng)f(1,2)π答案：C解析：由題意，沒(méi)有水的部分的體積是正四面體體積的eq\f(1,8)，∵正四面體的各棱長(zhǎng)均為4，∴正四面體體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×42×eq\r(16－\f(16,3))＝eq\f(16\r(2),3)，∴沒(méi)有水的部分的體積是eq\f(2\r(2),3)，設(shè)其棱長(zhǎng)為a，則eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(2\r(2),3)，∴a＝2，設(shè)小球的半徑為r，則4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22r＝eq\f(2\r(2),3)，∴r＝eq\f(\r(6),6)，∴球的表面積S＝4π·eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)π.故選C.5．如果圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角(圓錐軸截面中兩條母線的夾角)是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：C解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則有2πr＝eq\f(1,2)·2πl(wèi).∴2r＝l，即△ABC為等邊三角形，故頂角為60°.6．若邊長(zhǎng)為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)GA．10cmB．5eq\r(2)C．5eq\r(π2＋1)cm\f(5,2)eq\r(π2＋4)cm答案：D解析：圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如圖所示，展開(kāi)后EF＝eq\f(1,2)·2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝eq\f(5,2)π.∴EG＝eq\r(52＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π))2)＝eq\f(5,2)eq\r(π2＋4)(cm)．二、填空題(每個(gè)5分，共15分)7．用長(zhǎng)、寬分別是3π與π的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，則圓柱的底面半徑是________．答案：eq\f(3,2)或eq\f(1,2)解析：當(dāng)矩形的寬為軸時(shí)，3π＝2πr，r＝eq\f(3,2)；當(dāng)矩形的長(zhǎng)為軸時(shí)，π＝2πr，r＝eq\f(1,2).8．圓臺(tái)軸截面的兩條對(duì)角線互相垂直，且上下底面半徑的比為34，又其高為14eq\r(2)，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是__________．答案：20解析：如圖所示，由已知有eq\f(r,R)＝eq\f(3,4)＝eq\f(O1O,OO2)，因?yàn)镺B⊥OC，所以△AOB，△DOC均為等腰直角三角形．又O1O2＝14eq\r(2)，所以O(shè)1O＝r＝6eq\r(2)，OO2＝R＝8eq\r(2)，在Rt△BOC中，OB2＋OC2＝l2，所以r2＋OOeq\o\al(2,1)＋R2＋OOeq\o\al(2,2)＝l2，代入數(shù)據(jù)得l＝20.9．一個(gè)等邊圓柱(底面直徑等于高)的軸截面面積是S，則它的底面面積是________．答案：eq\f(π,4)S解析：設(shè)底面半徑為r，則4r2＝S，故底面面積為πr2＝π·eq\f(S,4)＝eq\f(π,4)S.三、解答題10．(12分)一圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為13，下底面與上底面直徑的差為10，求圓臺(tái)的高．解：如圖，O1，O2分別為圓臺(tái)上、下底面圓的圓心，連接O1O2作AB⊥O2C于B則有BC＝eq\f(10,2)＝5，AC＝13，所以圓臺(tái)的高h(yuǎn)＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(132－52)＝12.11．(13分)一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為6，在其中有一個(gè)高為x的內(nèi)接圓柱．(1)用x表示圓柱的軸截面面積S；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？解：畫(huà)出圓柱和圓錐的軸截面．如圖，設(shè)圓柱的底面半徑為r，則由三角形相似可得eq\f(x,6)＝eq\f(2－r,2)，解得r＝2－eq\f(x,3).(1)圓柱的軸截面面積S＝2r·x＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(x,3)))·x＝－eq\f(2,3)x2＋4x，x∈(0,6)；(2)∵S＝－eq\f(2,3)x2＋4x＝－eq\f(2,3)(x2－6x)＝－eq\f(2,3)(x－3)2＋6∴當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值6.能力提升12．(5分)如圖，一個(gè)圓錐的高為2，母線與軸的夾角為30°，求圓錐的母線長(zhǎng)以及圓錐的軸截面的面積．解：設(shè)圓錐的底面圓直徑為AB，SO為高，SA為母線，如圖，則∠ASO＝30°.在Rt△SAO中，AO＝SO·tan30°＝2×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),3)，SA＝eq\f(SO,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).而S△ASB＝eq\f(1,2)SO·2AO＝SO·AO＝2×eq\f(2\r(3),3)＝eq\f(4\r(3),3)，所以圓錐母線長(zhǎng)為eq\f(4\r(3),3)，它的軸截面面積為eq\f(4\r(3),3).13．(15分)如圖所示圓柱OO′的底面半徑為2cm，高為4cm，P點(diǎn)為母線B′B的中點(diǎn)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，試求一螞蟻從A點(diǎn)沿圓柱表面爬到P點(diǎn)的最小路程解：將圓柱側(cè)面沿母線A′A剪開(kāi)展平得到如圖所示的平面圖．則知最