材料力學習題1

材料力學復(fù)習第二章軸向拉伸與壓縮軸向拉伸（壓縮）強度條件：軸向拉伸（壓縮）時的變形：（胡克定律）剪切強度條件：擠壓強度條件：Fllaaa12ABCDDl1Dl2FN1FN2FFBSMB=0FN1·a

–F

·a+FN2

·2a=0（a）解：1)計算各桿軸力(受力圖如圖1示)2)變形幾何關(guān)系(位移圖如圖示)Dl2=2Dl1(b)

3)物理關(guān)系代入(b)

SFy=0FB+FN2–F

·a-FN1

=0例1.圖示結(jié)構(gòu)中，水平梁為剛性梁，桿1和桿2的抗拉剛度相同，F(xiàn)=100kN,A=200mm2,許用應(yīng)力[]=160MPa

，試求1)在力作用下桿1和桿2的軸力;2)校核桿的強度。例1.圖示結(jié)構(gòu)中，水平梁為剛性梁，桿1和桿2的抗拉剛度相同，F(xiàn)=100kN,A=400mm2,許用應(yīng)力[]=160MPa

，試求1)在力作用下桿1和桿2的軸力;2)校核桿的強度。Fllaaa12ABCDDl1Dl2FN1FN2FFBSMB=0FN1·a

–F

·a+FN2

·2a=0（a）解：1)計算各桿軸力(受力圖如圖1示)聯(lián)立(a)(c)

解之Dl2=2Dl1(b)

2)桿的強度校核桿1：桿2：由上知：桿1和桿2均滿足強度要求例2

設(shè)橫梁為剛性梁，桿

1、2長度相同為

l，橫截面面積分別

為A1、A2，彈性模量分別為

E1、E2，F(xiàn)、a已知。

試求：桿

1、2的軸力。CABF12aaFCABFAyFAxFN1FN2解：1)計算各桿軸力SMA=0

FN1×a+FN2×

2a

–F

×2a

=0FN1+

2FN2–2F

=0(a)2)變形幾何關(guān)系C'B'Dl1Dl2Dl2=2Dl1(b)

3)物理關(guān)系代入(b)

例2

設(shè)橫梁為剛性梁，桿

1、2長度相同為

l，橫截面面積分別

為A1、A2，彈性模量分別為

E1、E2，F(xiàn)、a已知。

試求：桿

1、2的軸力。CABF12aaFCABFAyFAxFN1FN2解：1)計算各桿軸力SMA=0

FN1×a+FN2×

2a

–F

×2a

=0FN1+

2FN2–2F

=0(a)C'B'Dl1Dl2代入(b)

聯(lián)立(a)(c)

解之例3.

已知結(jié)構(gòu)如圖示，梁AB為剛性，鋼桿CD直徑d=20mm，

許用應(yīng)力[]=160MPa，F(xiàn)=25kN。

求：(1)校核CD桿的強度；

(2)確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]

；

(3)若F=50kN，設(shè)計CD桿的直徑。解：(1)校核CD桿的強度CDABF2aadCD桿軸力FNCD：11FNCDSMA=0FNCD×2a–F×3a

=0∴FNCD=1.5FCD桿應(yīng)力

CD：∵CD<[]∴CD桿強度足夠。(2)確定結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]∵∴∴[F]=33.5kN(3)若F=50kN，設(shè)計CD桿的直徑?！摺鄨A整，取直徑d=25mm。例4.

已知支架如圖示，F(xiàn)=10kN，A1=A2=100mm2。

兩桿許用應(yīng)力[]=160MPa，試校核兩桿強度。截面法：取銷B和桿1、2的一部分分析解：1)計算兩桿軸力2)校核兩桿強度受力：F、軸力FN1、FN2SFx=0–FN2–FN1cos45o

=0∴FN1=1.414

F

=14.14kN

SFy=0FN1sin45o

–F

=0FN2=–F

=–10kN(圖中方向相反)AB桿：BC桿：ACBF45o12BFFN2FN1綜上：兩桿均滿足強度要求xyFNBC例5.

圖示結(jié)構(gòu)，BC桿[]BC=160MPa，AC桿[]AC=100MPa，

兩桿橫截面面積均為A=2cm2。

求：結(jié)構(gòu)的許可載荷[F]

。解：(1)各桿軸力∴FNAC=0.518FFNBC=0.732F∴F≤3.86×104N=38.6kNCABF45o30oFNACFCSFx=0FNBCsin30o

–FNACsin45o

=0SFy=0FNBCcos30o

–FNACcos45o–F

=0(2)由AC桿強度條件：0.518F≤A[]AC

=2×10–4×100×106∴F≤4.37×104N=43.7kN(3)由BC桿強度條件：0.732F≤A[]BC

=2×10–4×160×106(4)需兩桿同時滿足強度條件：應(yīng)取較小值，[F]=38.6kN

例6

桿

1、2、3用鉸鏈連接如圖，各桿長為：l1=l2=l、l3，各桿

面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。

F、a已知。求各桿的軸力。CFABD123aaFAFN2aaFN1FN3解：1)計算各桿軸力SFx=0–FN1sina

+FN2sina

=0SFy=02FN1cosa

+FN3–F

=0(a)FN1=FN2A12)變形幾何關(guān)系CABD123aaDl1Dl2Dl3Dl1=Dl3cosa

(b)

3)物理關(guān)系(b)代入(b)

聯(lián)立(a)(c)

解之第三章扭轉(zhuǎn)例題：3-1，3-2，3-4習題：3-8,3-11,3-14

外力偶矩Me的計算公式：圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件：P:kWn:r/min圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件：極慣性矩Ip

和抗扭截面系數(shù)Wt實心圓截面：空心圓截面：2.59、一螺栓將拉桿與厚為8㎜的兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應(yīng)力均為[]=80MPa，[]=60MPa

，[bs

]=160MPa

。若拉桿的厚度d=16mm，拉力F=120kN，試設(shè)計螺栓直徑d及拉桿寬度b。（14分）解：1)按拉伸強度要求設(shè)計拉桿的寬度拉桿的軸力FN=F,其強度條件為解上式得2.59

、一螺栓將拉桿與厚為8㎜的兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應(yīng)力均為[]=80MPa，[]=60MPa

，[bs

]=160MPa

。若拉桿的厚度d=16mm，拉力F=120kN，試設(shè)計螺栓直徑d及拉桿寬度b。（14分）2)按剪切強度要求設(shè)計螺栓的直徑螺栓所承受的剪力Fs=F/2,應(yīng)滿足剪切強度條件解上式得2.59

、一螺栓將拉桿與厚為8㎜的兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應(yīng)力均為[]=80MPa，[]=60MPa

，[bs

]=160MPa

。若拉桿的厚度d=16mm，拉力F=120kN，試設(shè)計螺栓直徑d及拉桿寬度b。（14分）3)按擠壓強度要求設(shè)計螺栓的直徑擠壓強度條件為解上式得1)按拉伸強度要求設(shè)計拉桿的寬度b=93.75mm2)按剪切強度要求設(shè)計螺栓的直徑d=35.7mm比較以上三種結(jié)果，取d=47mm,b=94mm例1.實心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起.已知：P＝7.5kW,n=100r/min,許用切應(yīng)力＝40MPa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比=0.5。求:實心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。解：軸所傳遞的扭矩扭轉(zhuǎn)實心圓軸的強度條件實心圓軸的直徑:扭轉(zhuǎn)空心圓軸的強度條件空心圓軸的外徑:BCAD例2

已知一傳動軸為鋼制實心軸，許用切應(yīng)力[]=30MPa，

[]=0.3o/m，G=80GPa，n=300r/min，主動輪輸入PA=500kW，從動輪輸出PB=150kW，PC=150kW，PD=200kW。

試按強度條件和剛度條件設(shè)計軸的直徑D。nMB

MC

MA

MD解：1.應(yīng)先作出軸的扭矩圖，確定Tmax，(1)

計算外力偶矩BCADMB

MC

MA

MD(2)各段扭矩n112233BC段：截面1-1B11MBT1SMx=0T1

+MB

=0∴

T1

=–MB=–4.775kN·m

CA段：截面2-2SMx=0T2

+MB

+MC

=0∴

T2

=–MB–MC=–9.55kN·m

AD段：截面3-3SMx=0T3

–MD

=0∴

T3

=MD=6.336kN·m

BC22T2MBMCD33T3MD(3)繪制扭矩圖∴CA段為危險截面：4.7759.556.336BCADMB

MC

MA

MDBACD|T|max

=9.55kN·m

+--T1

=–4.775kN·m

T2

=–9.55kN·m

T3

=6.336kN·m

xT(kN·m)BCADMB

MC

MA

MDCA段：|T|max

=9.55kN·m。2.設(shè)計軸的直徑D(1)強度條件(2)剛度條件∴

D≥12.34cm，圓整，取D=12.5cm

例3

某傳動軸轉(zhuǎn)速

n=500r/min，輸入功率

P1=370kW，輸出

功率分別

P2=148kW及

P3=222kW。已知：G=80GPa，

[]=70MPa，[]=1o/m。試確定：

解：(1)

外力偶矩、扭矩圖–7.066–4.24Tx(kN·m)作扭矩圖：(1)AB

段直徑

d1和BC

段直徑d2？(2)若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？(3)主動輪與從動輪如何安排合理？500400ACBP1P3P2由強度條件：(2)AB

段直徑

d1和BC

段直徑d2由剛度條件：–7.066–4.24Tx(kN·m)500400ACBP1P3P2∴取AB段直徑：d1=85mm，BC段直徑：d2=75mm(3)若全軸選同一直徑時∴?。篸=85mm(4)主動輪與從動輪如何安排合理將主動輪A設(shè)置在從動輪之間：此時軸的扭矩圖為：|T|max

=4.24kN·m

軸的直徑：d=75mm較為合理。–7.066–4.24Tx(kN·m)500400BCA–4.24Tx(kN·m)P1P2P32.826500400ACBP1P3P2第

四

章彎曲內(nèi)力剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖彎曲內(nèi)力●剪力Fs:構(gòu)件受彎時，作用線平行于其橫截面的內(nèi)力?！?/p>

剪力和彎矩的符號規(guī)則:①剪力

Fs

:繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負。(–)(–)(+)(+)Ww●彎矩M:

構(gòu)件受彎時作用面垂直于其橫截面的內(nèi)力偶矩。②彎矩

M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。M(+)M(+)M(–)M(–)M(x)圖為一向上凸的二次拋物線.FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線.xFS(x)Oq(x)、FS(x)圖、M（x）圖三者間的關(guān)系1.梁上有向下的均布荷載,即q(x)<0xOM(x)彎曲內(nèi)力2.梁上無載荷區(qū)段，q(x)=0FS(x)圖為一條水平直線.M(x)圖為一斜直線.xFS(x)O當FS(x)>0

時,向右上方傾斜.當FS(x)<0

時,向右下方傾斜.xOM(x)OM(x)x5.最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè);或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上.梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在FS(x)=0

的截面上;或發(fā)生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側(cè).

3.在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉(zhuǎn)折.4.在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化.彎曲內(nèi)力剪力、彎矩與分布載荷間的關(guān)系及特點：外力無外力均布載荷集中力處集中力偶處q=0FS圖特征M圖特征CMe水平直線xFSFS>0斜直線向下突變xFSC無變化斜直線xM增函數(shù)拋物線產(chǎn)生折點

向下突變q>0q<0CFxFSFS

<0增函數(shù)xFS減函數(shù)xFS減函數(shù)xM開口向上xM開口向下xMM1–M2=MeM1M2xMCxMCxFSCFS1FS2FS1–FS2=F作梁FS圖、M圖步驟：(1)

求梁約束力；(2)

分段寫FS方程、M方程；(3)

分段作FS圖、M圖；(4)

確定|FS|max、|M|max及其所在截面位置。例1、作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并寫出|Fs|max和|M|max.解：(1)約束力FA、FB解上兩式得：FAFDFSxqaMxqa2(2)FS方程、M方程AB段：FS=FA=qa(0<x<a)當x=0時：Fs=qa,M=0當x=a時：Fs=qa,M=qa2xFAFSM(0<x<a)例1、作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并寫出|Fs|max和|M|max.解：(1)約束力FA、FB：FAFDFSxqaMxqa2(2)FS方程、M方程AB段：FS=FA=qa(0<x<a)(0≤

x≤a)當x=a時：Fs=qa,M=qa2當x=2a左時：BC段：FSMFxFAFS

=FA–q(x-a)=2qa-qx

(a<x<2a)(a≤

x≤2a)例1、作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并寫出|Fs|max和|M|max.解：(1)約束力FA、FB：FAFDFSxqaMxqa2(2)FS方程、M方程AB段：FS=FA=qa(0<x<a)(0≤

x≤a)當x=3a時：當x=2a右時：BC段：FS

=FA–q(x-a)=2qa-qx(a<x<2a)(a≤

x≤2a)CD段：FDx3a-xFSMFS

=q(3a-x)-FD=q(3a-x)-2qa

(2a<x<3a)(2a≤

x≤3a)qa2qa|FS|max=

2qa|M|max=1.5qa2例2.

求下列各圖示梁的剪力方程和彎矩方程,并畫出剪力圖和彎矩圖。解：①求支反力

②寫出剪力方程

和彎矩方程FYOL③根據(jù)方程畫剪力圖

和彎矩圖M(x)xFs(x)Fs(x)xFM(x)x

FLMO(a)解：①寫出剪力方程

和彎矩方程②根據(jù)方程畫剪力圖

和彎矩圖LqM(x)xFs(x)Fs(x)xqLM(x)x(b)例3

作圖示簡支梁的

FS圖、M圖,并寫出|Fs|max和|M|max。

。解：(1)約束力FA、FBxSMB(F)=0–FAl+Fb=0FA=Fb/

lFSMSFy=0FA

+FB

–F=0FB=F–

FA

=Fa/l(2)FS方程、M方程AC段：FS=FA=Fb/

l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：xFSMxFAxFAFFS=FA–

F=–

Fa/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)ABalFbCFAFBAC段：FS=FA=Fb/

l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：FS=FA–

F=–

Fa/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)(3)作FS圖、M圖AC段：x=0，F(xiàn)S=0

x=a

，F(xiàn)S=Fb/lFb/lCB段：x=a，F(xiàn)S=Fb/l

x=l

，F(xiàn)S=–

Fa/lxxABalFbCFAFBFSxACB十一Fa/lAC段：FS=FA=Fb/

l(0<x<a)(0≤

x≤a)BC段：FS=FA–

F=–

Fa/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)(3)作FS圖、M圖xMACBAC段：x=0，M=0CB段：x=a，x=a，x=l

，M=0十Fb/lABalFbCFAFBFSxACB十一Fa/l由FS圖可知：稱|FS|max、Mmax

所在截面為危險截面。注意：|FS|max、|M|max不一定為同一

截面。

另外：C截面：x=a，CB段：|FS|max=Fa/l由M

圖可知：在集中力作用處，F(xiàn)S圖上有突變，突變值等于集中力數(shù)值，突變方向與集中力方向相同。xMACB十Fb/lABalFbCFAFBFSxACB十一Fa/l例4

作圖示簡支梁的

FS圖、M圖。解：(1)約束力FA、FBxSMB(F)=0FA=Me/lFSMSFy=0FB=–

Me/l(2)FS方程、M方程AC段：FS=FA=Me/l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：xFSMxFAFS=FA=Me/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)lbaMeABCxFAMeFAFB(3)FS圖、M圖AC段：FS=FA=Me/l(0<x<a)(0≤

x≤a)CB段：FS=FA=Me/l(a<x<l)(a

≤

x≤

l)一Me

/lBFSxAFS圖：為一水平線。十xMACB十M圖：AC段：為一斜直線。x=0，M=0CB段：為一斜直線。x=a，x=l，M=0xxlbaMeABCFAFBx=a，可知：

x=a+另外：在集中力偶作用處，M

圖上有突變，突變值等于集中力偶矩數(shù)值，突變方向與集中力偶矩對其右側(cè)梁的作用效果而定。一Me

/lBFSxA十xMACB十xxlbaMeABCFAFB由例題可知

FS圖、M圖的一些特征：(1)

梁上無均布載荷q作用處，F(xiàn)S圖為一水平線，M圖為一直

線，常為斜直線；(2)

在q作用處，F(xiàn)S圖為斜直線，M圖為一拋物線；(3)

在集中力F

作用處，F(xiàn)S圖上有突變，M圖上有一折點；(4)

在集中力偶Me

作用處，F(xiàn)S圖上無影響，M圖上有一突變；(5)

|M|max可能發(fā)生在集中力或集中力偶作用處。例5.一簡支梁受均布載荷作用，其集度q=100kN/m,如圖所示.試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.

解：（1）計算梁的支反力將梁分為AC、CD、DB

三段.AC和DB上無載荷，CD段有向下的均布載荷.FRAFRBEqABCD0.21.612AC段水平直線CD段

向右下方的斜直線DB段水平直線最大剪力發(fā)生在AC

和DB

段的任一橫截面上.（2）剪力圖FRAFRBEqABCD0.21.612+8080xFs(kN)AC段向上傾斜直線CD段

向上凸二次拋物線DB段向下傾斜直線（3）彎矩圖在FS=0的截面上彎矩有極值FRAFRBEqABCD0.21.61216M(x)··1648x(kN?m)·（4）對圖形進行校核

在AC段，剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線.

在CD段，方向向下的均布載荷作用,剪力為向下傾斜的直線，彎矩圖為向上凸二次拋物線.FRAFRBEqABCD0.21.61280+80xFs(kN)16M(x)··1648x(kN?m)·

在DB段，剪力為負值，彎矩圖為向下傾斜的直線.

最大彎矩發(fā)生在FS=0的截面E上.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.例6.作梁的內(nèi)力圖(剪力圖和彎矩圖).解:(1)支座反力FRAFRB3m4mABCDE4m4mF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN

將梁分為AC、CD、

DB、BE

四段.(2)剪力圖AC段向下斜的直線()CD段向下斜的直線()DB段水平直線(-)EB段水平直線(-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段向下斜的直線()CD段向下斜的直線()F點剪力為零,令其距

A截面的距離為x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m（3）彎矩圖CD段AC段3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNDB段201666+20.5M(kN·m)xBE段3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5(4)校核Fs(kN)M(kN·m)xx第

五章彎曲應(yīng)力書上例題習題:5-12,5-16,5-17●

梁彎曲正應(yīng)力強度條件抗拉壓強度不等的材料

（截面上承受的是負彎矩時）y拉壓M(–)M(–)抗拉壓強度不等的材料:（截面上承受的是正彎矩時）y壓拉M(+)M(+)慣性矩Iz

和抗彎截面系數(shù)Wz實心圓截面：空心圓截面：矩形截面：解：(1)作

FS、M圖例1

圖示矩形截面木梁，已知b=0.12m，h=0.18m，l=3m，

材料[]=7MPa，[]=0.9MPa。試校核梁的強度?？芍篎Smax=5400N

Mmax=4050N·m(2)校核梁的強度=6.25MPa<