概率論與數(shù)理統(tǒng)計34

§3.4協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差二、協(xié)方差矩陣三、相關(guān)系數(shù)四、條件數(shù)學期望五、條件期望的預測含義

對于二維隨機變量，除了討論X與Y的數(shù)學期望和方差以外，還需要討論描述X與Y之間相互關(guān)系的數(shù)字特征，本節(jié)討論這方面的數(shù)字特征。一、協(xié)方差E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又

E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0所以

E(X-EX)(Y-EY)=0。

設(X，Y)為二維隨機向量，EX，EY均存在，如果E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，則稱其為隨機變量X與Y的協(xié)方差，記為cov(X,Y)，即1、定義cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

可以證明，如果X，Y的方差存在，則協(xié)方差cov(X,Y)一定存在，且滿足下列不等式5)

D(aX+bY)=2、協(xié)方差的性質(zhì)6)若X與Y獨立，則cov(X,Y)=0,D(X+Y)=DX+DY例3.22解：例3.23解：()

的聯(lián)合密度函數(shù)為，設連續(xù)型隨機向量YX()?íì￡￡￡=其它，0108yxxyyxg．，求)(),cov(YXDYX+

?íì￡￡-=其它010)1(4)(2xxxxgX?íì￡￡=其它0104)(3yyygYò+￥￥-=dxxxgEXX)(ò-=102)1(4dxxxx158=例3.23(續(xù)1)D(X+Y)ò+￥￥-=dyyygEYY)(ò=1024dyyy54=94=EXYò+￥￥-=dxxgxEXX)(22ò-=1022)1(4dxxxx31=ò+￥￥-=dyygyEYY)(22ò=10224dyyy32=104)(3￡￡=yyygY

，10)1(4)(2￡￡-=xxxxgX

，158=EX二、協(xié)方差矩陣都存在，且稱矩陣：為n維隨機變量(X1，X2，…，Xn)的協(xié)方差矩陣。若記X=(X1，X2，…，Xn)，則X的協(xié)方差矩陣可記為DX。為隨機變量X與Y的相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)是一個無量綱的量。三、相關(guān)系數(shù)稱則稱X與Y不相關(guān)；則稱X與Y正相關(guān)；則稱X與Y負相關(guān)。若對X與Y進行標準化變換二元正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)的計算(X,Y)~相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)對二元正態(tài)分布：X，Y獨立=0X，Y不相關(guān)。若X與Y之間沒有線性關(guān)系并不表示它們之間相互獨立，也不表示它們之間沒有關(guān)系。補充說明的量．之間線性關(guān)系緊密程度與量相關(guān)系數(shù)是表征隨機變YX存在著線性關(guān)系；之間以概率與時，當，11YXYX=r之間的線性關(guān)系越弱；與時，越接近于當，YXYX0r一定不獨立。與且，之間一定存在線性關(guān)系與，則若，YXYXYX01r例3.25解：獨立。是否不相關(guān)，是否相互與判斷，上的均勻分布，服從設

Y

XYX

,cossin],[q=q=pp-qòpp-qqp=dEX

sin21òpp-qqp=dEX

cos21òpp-qqp=dDX

2sin21òpp-qqp=dDY

2cos21òpp-qqqp=dEXY

cossin210=0=21=0=0=21=四、條件數(shù)學期望離散型隨機向量的條件數(shù)學期望連續(xù)型隨機向量的條件數(shù)學期望例3.26例3.27()服從圓域：，設二維隨機向量YX122￡+yx).1||(]|[

<=yyYXE試求的條件密度為時，可知，當由例

|

Xy1|8.3<()???íì-￡￡---=其它011121222yxyyyxfYX解：條件數(shù)學期望的性質(zhì)隨機變量X關(guān)于隨機變量Y的條件數(shù)學期望例3.28()服從二元正態(tài)分布：，設二維隨機變量YX()()rssmm，，，，，222121~NYX].|[YXE

求