概率論與數理統(tǒng)計1

概率論與數理統(tǒng)計概率論是研究隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律的一門學科特點：研究對象的不確定性第一章隨機事件的概率概率論是一門研究隨機現象規(guī)律的數學分支。其起源于十七世紀中葉，當時在誤差、人口統(tǒng)計、人壽保險等范疇中，需要整理和研究大量的隨機數據資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現象的規(guī)律性的數學，但當時刺激數學家們首先思考概率論的問題，卻是來自賭博者的問題。樣本空間一個隨機試驗的所有可能結果組成的集合，記為。其中每一個元素，即每次試驗結果稱為一個樣本點。第一章隨機事件的概率隨機試驗

E試驗結果的多種可能性，事先知道結果的不能預測性隨機試驗E

的樣本空間的子集，稱為E的隨機事件，或事件，用大寫字母A，B，C,…表示由一個樣本點組成的單點集稱為基本事件。樣本空間有兩個特殊子集：必然事件，和不可能事件隨機事件例如E1

拋硬幣試驗E2

連拋兩個硬幣E4

進入超市的人數E5

測試電視機壽命E6

觀測天氣第一章隨機事件的概率包含A發(fā)生必然導致B發(fā)生相等

和事件積事件差事件互逆（對立）互不相容第一章隨機事件的概率事件間的關系和運算第一章隨機事件的概率運算規(guī)律交換律結合律分配律對偶律第一章隨機事件的概率例1.設A，B，C是隨機事件，則事件“A與B發(fā)生，C不發(fā)生”“A，B，C至少兩個發(fā)生”“A，B，C恰好兩個發(fā)生”“A，B，C不多于一個事件發(fā)生”例2.用集合表示下面隨機試驗中的樣本空間與隨機事件A某地溫度上下限為T0

到T1，一晝夜內出現的最高最低氣溫為(x,y)；事件A=“一晝夜內該地的溫差為10°”例題第一章隨機事件的概率

概率

一次試驗中事件A

發(fā)生的可能性，成為事件A的概率，記為

P(A)。

概率看成頻率的穩(wěn)定值概率的計算

（1）古典概型:事件A包含的基本事件數/樣本空間中的事件數

P(A)=nA/nΩ

（2）幾何概型:事件A的區(qū)域面積/樣本空間的區(qū)域面積

P(A)=SA/SΩ

例圓中的弦通過半徑減半的同心圓的概率?第一章隨機事件的概率概率的性質1.P(Ω)=1,P(φ)=0,0≤P(A)≤12.（有限可加性）若A1,A2,A3兩兩互不相容

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)3.若A

B,則P(B－A)=P(B)－P(A),P(B)≥P(A)4.P(

)=1－P(A)5.（加法公式）對任兩個事件

P(A∪B)=P(A)+P(B)－

P(AB)第一章隨機事件的概率例1.P(A)=0.3,P(A∪B)=0.6;P(

)=?例2.P(A)=P(B)=0.5,求證P(AB)=P()例3.袋中4只白球，2只黑球，無放回依次摸2只球，試求取到兩只球： （1）都是白球的概率；（2）同色球的概率 （3）至少一只白球的概率例4.n個球隨機放入N（N≥n）個盒子中去，求每個盒子至多有一個球的概率，恰有n個盒子中各有一個球的概率例5（Buffen投針問題）平行線距離為a(a>0)，投擲一枚長(L<a)的針，求針與平行線相交的概率例題1.2.3.設A=“第一只摸到白球”，B=“第二只摸到白球”5.xa設落下的針的中心距離最近的平行線為x

，與平行線交角a;那么針的落地位置范圍，即樣本空間為而相交平行線的條件，即事件A

為相交的概率為紅色面積比黃框面積第一章隨機事件的概率條件概率

A,B兩事件，P(B)>0，在事件B

發(fā)生的條件下事件A

發(fā)生的概率稱為條件概率，記為P(A|B)由于樣本空間不同

一般地

P(A)≠P(A|B)

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間。設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱2.條件概率的計算為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的發(fā)生概率.概率樹計算條件概率BB′A′AA′AP(B)P(B’)P(A|B)P(A’|B)P(A|B’)P(A’|B’)第一級互斥事件上一級情況下的下一級事件發(fā)生不發(fā)生例1擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解：設A={擲出點數之和不小于10}B={第一顆擲出6點}

求P(A|B)=？應用計算公式在B發(fā)生后的縮減樣本空間中計算由條件概率的定義：即若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)二、乘法公式若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).將A、B的位置對調，有若

P(A)>0,則P(BA)=P(A)P(B|A)都稱為乘法公式,利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率例2

甲、乙兩廠共同生產1000個零件，其中300件是乙廠生產的.而在這300個零件中，有189個是標準件，現從這1000個零件中任取一個，求(1)求的是P(AB).甲、乙共生產1000個189個是標準件300個乙廠生產設B={零件是乙廠生產},A={是標準件}(2)求的是P(A|B).B發(fā)生,

在P(AB)中作為結果;在P(A|B)中作為條件.條件概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別1.這個零件是乙廠生產的標準件的概率？2.發(fā)現它是乙廠生產的,問它是標準件的概率是多少?

例3設某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解設A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).多個事件的乘法公式設A，B，C為三個事件，且P(AB)>0，則乘法公式應用舉例一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”

b個白球,r個紅球隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.解設Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出當c>0時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券。大家都想去,只好用抽簽的方法來解決。

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.后抽比先抽的確實吃虧嗎？

我們用Ai表示“第i個人抽到入場券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.則表示“第i個人未抽到入場券”因為第2個人抽到入場券，第1個人肯定沒抽到.也就是要想第2個人抽到入場券，必須第1個人未抽到，計算得：由于由乘法公式P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5這就是有關抽簽順序問題的正確解答.同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到。因此繼續(xù)做下去就會發(fā)現,每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，P(A3)=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5例4設袋中有5個紅球，3個黑球，2個白球，試按（1）有放回抽樣；（2）不放回抽樣兩種方式摸球三次每次摸得一球，求第三次才摸得白球的概率。解：設A={第一次未摸得白球}；

B={第二次未摸得白球}；

C={第三次摸到白球}；則，事件“第三次才摸得白球”可表為ABC。（1）有放回抽樣（2）不放回抽樣例5設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下打破的概率為0.5，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率是0.7，若前兩次均未打破，第三次落下打破的概率為0.9。試求透鏡落下三次未打破的概率。解：設Ai={透鏡第i

次落下打破}，i=1,2,3,

B={透鏡落下三次未打破}，則另解：例6．100件產品中，有5件廢品。不放回抽樣檢查，若抽查5件至少有一件廢品，則拒購這批產品，求拒購概率。解：設Ai={第i次沒抽到廢品}，i=1,2,3,4,5

B={至少抽到一件廢品}，則第一章隨機事件的概率

例題第一車間的次品率為0.15，第二車間的次品率為0.12。兩車間的產品分別有2000

件和3000

件，混放在倉庫里，問：在倉庫里隨機取一件成品，其次品率是多少？若取到一件次品，由一車間生產的概率是多少？全廠的次品概率=各車間的次品概率的加權和第一章隨機事件的概率

例題從倉庫里隨機取一件成品：設事件A1，A2

分別為一、二車間生產的產品；事件B

為該產品是次品。一車間的產品占P(A1)=0.4，次品率P(B|A1)=0.15二車間的產品占P(A2)=0.6，次品率P(B|A2)=0.12第一問求P(B)，第二問求P(A1|B).B次品A1

一車間A2

二車間P(B)藍色的面積P(A1|B)藍色中上一塊所占的比P(B|A1)橙色中藍色所占的比2000300015%12%第一章隨機事件的概率全概率公式設事件A1,A2互不相容，P(A1)>0，P(A2)>0，且B?A1∪A2，P(B)

=P(

B(A1∪A2))

=P(BA1)

+

P(BA2)

=P(A1)

P(B|A1)+P(A2)

P(B|A2)

先將復雜的事件B分解為較簡單的事件A1B

與

A2B

;再加法法則與乘法法,計算出需要求的概率.這稱全概率公式.例有12個乒乓球都是新球,每次比賽時取出3個用完后放回,求第3次比賽時取到的3個球都是新球的概率。

因為一開始都是新球,因此第一次只能取到3

個新球，當第二次取球的時候,12

個乒乓球中必然有3

個舊球。假設B0,B1,B2,B3

為第二次取到0個,1個,2個3個新球,而B0,B1,B2,B3

構成完備事件組，并能夠求出它們的概率。再假設C3

為第三次取到3

個新球的事件，則針對C3

使用全概率公式。解：全概率公式第一章隨機事件的概率貝葉斯公式設事件A1,A2

互不相容，P(A1)>0，P(A2)>0，且B

?A1∪A2，則有（逆概率公式）_______________________________P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)P(A1)P(B|A1)P(A1|B)=第一章隨機事件的概率

例題

診斷肝癌問題

已知肝癌患者0.95能被診斷出來，非肝癌患者0.99會被排除有病，而肝癌患者約占0.004。問：診斷出患有肝癌的人中確有肝癌的概率是多少？設C=“的確患有肝癌”，A=“診斷有肝癌”。則P(A|C)=0.95,P(~A|~C)=0.99,P(C)=0.004P(A)=P(A|C)*P(C)+P(A|~C)*P(~C)=0.95*0.004+0.01*0.996=0.01376P(C|A)=P(A|C)P(C)/P(A)=0.95*0.004/0.01376=0.276第一章隨機事件的概率全概率公式、貝葉斯公式1．甲乙丙三人獨立地同時瞄準飛機射擊，擊中的概率均為2/3.飛機遭一擊而落的概率為1/6，遭兩擊而落的概率為1/2，遭三擊則必落。求飛機可被擊落的概率。2．男人中的4%以及女人中的0.25%都為色盲。從男女相等的人群中隨機挑出一人恰好是色盲，問其是男性的概率是多少？練習例3經分析利率下調的概率為60%,利率不變的概率為40%。如利率下調,股價上漲的概率為80%,而在利率不變的情況下,股價上漲的概率為40%。求股價上漲的概率。解：記A為事件“利率下調”,則A為“利率不變,記B為事件"股價上漲".據題設知

P(A)=60%, P(A)=40%,

P(B|A)=80%, P(B|A)=40%.

于是P(B)=P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.60.8+0.40.4=0.64.例4對以往數據分析結果表明,當機器調整良好時,產品的合格率為98%,而當機器發(fā)生某種故障時,其合格率為55%.每天早上機器開動時,機器調整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產品是合格時,機器調整良好的概率是多少?解設A為事件“產品合格”,B為事件“機器調整良好”。已知

P(A|B)=0.98,P(A|B)=0.55,P(B)=0.95,P(B)=0.05,

所需求的概率為P(B|A)。則第一章隨機事件的概率相互獨立事件若P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A

與B

相互獨立充要條件：P(A|B)=P(A)

或

P(B|A)=P(B)例，A=“概率學得好的同學”

B=“籃球打得好的同學”事件

A

與

B

相互獨立ABB在A和A的補里面的比例分配相同相互獨立事件若事件A

與B

相互獨立，則A

與也相互獨立。P(A)>0,P(B)>0,事件A,B

相互獨立與互不相容不能同時成立。第一章隨機事件的概率當A，B

相互獨立當A，B

互不相容A第一章隨機事件的概率相互獨立事件事件A,B,C

相互獨立：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C)