山西省太原市北留中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

山西省太原市北留中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一已知數(shù)列{}中，首項(xiàng)a1＝1，，數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和

（1）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛|bn|｝的前n項(xiàng)和．參考答案：（l）；（2）

【知識(shí)點(diǎn)】遞推公式；數(shù)列的和D1D4解析：（l）由已知，即，累加得：又。對(duì)于數(shù)列的前n項(xiàng)和：所以當(dāng)時(shí)，（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，故【思路點(diǎn)撥】（l）兩邊取對(duì)數(shù),變形后可利用累加法;（2）對(duì)n分兩種情況可得結(jié)果.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是

A．(0，1)

B．(1，2)

C．(2，e)

D．(3，4)參考答案：B3.若集合=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略4.已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓半徑為1，則該幾何體體積為(

)

A．

B．C．

D．參考答案：A5.函數(shù)y＝loga|x＋b|(a>0，a≠1，ab＝1)的圖象只可能是

參考答案：B6.已知函數(shù)f（x）=x2sinx+xcosx，則其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象大致是（）A．B．C．D．參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除A，C，再根據(jù)函數(shù)值得變化趨勢(shì)得到答案．【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，∴f′（x）=x2cosx+cosx，∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），∴其導(dǎo)函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A，C，當(dāng)x→+∞時(shí)，f′（x）→+∞，故排除D，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)圖象的識(shí)別，屬于中檔題．7.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)的圖象大致是(

)參考答案：B略8.設(shè)函數(shù)，則 （

）A．為的極大值點(diǎn) B．為的極小值點(diǎn)C．為的極大值點(diǎn) D．為的極小值點(diǎn)參考答案：D略9.若實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：D10.橢圓+=1的左焦點(diǎn)為F，直線x=a與橢圓相交于點(diǎn)M、N，當(dāng)△FMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，△FMN的面積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得當(dāng)直線x=a過右焦點(diǎn)時(shí)，△FMN的周長(zhǎng)最大．c==1．把c=1代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：=1，解得y，即可得出此時(shí)△FMN的面積S．【解答】解：設(shè)右焦點(diǎn)為F′，連接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴當(dāng)直線x=a過右焦點(diǎn)時(shí)，△FMN的周長(zhǎng)最大．由橢圓的定義可得：△FMN的周長(zhǎng)的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：=1，解得y=±．∴此時(shí)△FMN的面積S==．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.命題“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．參考答案：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0考點(diǎn)：命題的否定．專題：簡(jiǎn)易邏輯．分析：直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可．解答：解：因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題，所以命題“?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案為：?x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系．12.已知，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，

.參考答案：由，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以.13.下列命題中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一確定，則0＜b≤4．（2）若點(diǎn)（1，1）在圓x2+y2+mx﹣y+4=0外，則m的取值范圍是（﹣5，+∞）；（3）若曲線+=1表示雙曲線，則k的取值范圍是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）將函數(shù)y=cos（2x﹣）（x∈R）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=cos2x的圖象．（5）已知雙曲線方程為x2﹣=1，則過點(diǎn)P（1，1）可以作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．正確的是（填序號(hào)）參考答案：（2），（5）【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由正弦定理求得sinB，舉例說明（1）錯(cuò)誤；把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程說明（2）正確；由雙曲線的方程可得關(guān)于k的不等式，求得k值說明（3）錯(cuò)誤；由函數(shù)圖形的平移可得（4）錯(cuò)誤；利用點(diǎn)差法求出直線l的方程說明（5）正確．【解答】解：對(duì)于（1），由，得sinB=．當(dāng)b=8時(shí)，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一確定，故（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2），點(diǎn)（1，1）在圓x2+y2+mx﹣y+4=0外，則12+12+m﹣1+4＞0，即m＞﹣5，故（2）正確；對(duì)于（3），若曲線+=1表示雙曲線，則（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，即k的取值范圍是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4），將函數(shù)y=cos（2x﹣）（x∈R）的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)圖象的解析式為y=cos[2（x+）]=cos（2x+），故（4）錯(cuò)誤；對(duì)于（5），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，兩式作差得：，∴，∴kAB=2，此時(shí)直線方程為y﹣1=2（x﹣2），即y=2x﹣3，聯(lián)立，得2x2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正確．∴正確命題的序號(hào)是（2），（5）．故答案為：（2），（5）．14.如果函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下，給出下列判斷：（1）函數(shù)在區(qū)間（-4，-1）內(nèi)單調(diào)遞增；

y（2）函數(shù)在區(qū)間（-1，3）內(nèi)單調(diào)遞減；（3）函數(shù)在區(qū)間（4，5）內(nèi)單調(diào)遞增；

-4

-1

2

3

4

5

x（4）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值。其中正確的判斷是

（把正確判斷的序號(hào)都寫上）.

參考答案：15.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），則滿足且在圓上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

▲

．參考答案：2略16.若如圖所示的算法流程圖中輸出y的值為0，則輸入x的值可能是________(寫出所有可能的值)．參考答案：0，－3,117.已知函數(shù)，設(shè)，若，則的取值范圍是____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知AB⊥AD，PA=PD，D為AD的中點(diǎn)，AB⊥PO，E為線段DC上一點(diǎn)，向量（I）求證：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若PO=，AD=AB=2，點(diǎn)C到平面PBE的距離為，求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值，參考答案：19.（12分）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點(diǎn)A．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；（Ⅱ）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】：圓與圓錐曲線的綜合．【專題】：綜合題．【分析】：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直線l與拋物線C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出實(shí)數(shù)b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=﹣1的距離，由此能求出圓A的方程．解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因?yàn)橹本€l與拋物線C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得y=1，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=﹣1的距離，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圓A的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．20.．已知函數(shù)f（x）=xex﹣a（lnx+x）．（1）若函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）若對(duì)任意x＞0，恒有不等式f（x）≥1成立．①求實(shí)數(shù)a的值；②證明：x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．參考答案：【考點(diǎn)】6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；3R：函數(shù)恒成立問題；R6：不等式的證明．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x），對(duì)a分類討論，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，舍去．當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=0有唯一解x=x0，此時(shí)，求出極值，進(jìn)而得出答案．（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，不符合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即轉(zhuǎn)化為lnt≥t﹣1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．②由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：?x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已經(jīng)證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．對(duì)x分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．【解答】解：（1）f（x）=xex﹣alnx﹣ax，x＞0，則．當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，故f（x）單調(diào)遞增，故不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=0有唯一解x=x0，此時(shí)，則．注意到，因此．（2）①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，f（x）的值域?yàn)镽，不符合題意；當(dāng)a=0時(shí)，則，也不符合題意．當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）可知，f（x）min=a﹣alna，故只需a﹣alna≥1．令，上式即轉(zhuǎn)化為lnt≥t﹣1，設(shè)h（t）=lnt﹣t+1，則，因此h（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）max=h（1）=0，所以lnt≤t﹣1．因此，lnt=t﹣1?t=1，從而有．故滿足條件的實(shí)數(shù)為a=1．②證明：由①可知x2ex﹣xlnx≥x2+x，因而只需證明：?x＞0，恒有x2+x＞2lnx+2sinx．注意到前面已經(jīng)證明：x﹣1≥lnx，因此只需證明：x2﹣x+2＞2sinx．當(dāng)x＞1時(shí)，恒有2sinx≤2＜x2﹣x+2，且等號(hào)不能同時(shí)成立；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，設(shè)g（x）=x2﹣x+2﹣2sinx，則g'（x）=2x﹣1﹣2cosx，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g'（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，且，因而x∈（0，1]時(shí)恒有g(shù)'（x）＜0；從而x∈（0，1]時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，從而g（x）≥g（1）=2﹣2sin1＞0，即x2﹣x+2＞2sinx．故x2ex＞（x+2）lnx+2sinx．21.（本題滿分15分）對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}滿足.(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求證：對(duì)于n≥2，參考答案：（I）解：由．①當(dāng)時(shí)得．②……………2分①－②得．……………4分∴．………………5分又．…………6分綜上得．……………………7分（II）證明：當(dāng)時(shí)，．………10分………11分．…………13分∴當(dāng)時(shí)，．………………15分22.（本題12分）已知函數(shù)。（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．B12【答案解析】（1）當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值=；當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值=。（2）。解析：（1）當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值=；當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值=。

（2）其在上遞減，在上遞增，所以對(duì)于任意的，不等式恒成立，則有即可。即不等式對(duì)于任意的恒成立。①當(dāng)時(shí)，，由得；由得，所以在