山西省忻州市深溝聯(lián)校2023年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

山西省忻州市深溝聯(lián)校2023年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，則稱是一個(gè)“—半隨函數(shù)”.有下列關(guān)于“—半隨函數(shù)”的結(jié)論：①是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“—半隨函數(shù)”；②“—半隨函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)；③是一個(gè)“—半隨函數(shù)”；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．0個(gè)參考答案：A2.若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） D．[﹣2，2]參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，將條件轉(zhuǎn)化為x2+ax+1≥0恒成立，利用判別式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，則x2+ax+1≥0恒成立，即△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[﹣2，2]，故選：D．3.“”是“”的

（

）

A．充分必要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B4.不等式<1的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，－1)

D．(－1,1)參考答案：A∵<1，∴－1<0，即<0，該不等式可化為(x＋1)(x－1)>0，∴x<－1或x>1.5.設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，.若直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：如圖，作出函數(shù)的圖象和直線，直線過(guò)定點(diǎn)，由題意，解得．故選D．考點(diǎn)：函數(shù)與方程．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程思想，考查方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題大多數(shù)是把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合思想求解，本題中，作出函數(shù)與直線，特別是直線過(guò)定點(diǎn)，由此易知它們要有三個(gè)交點(diǎn)，直線的位置變化規(guī)律，易得出結(jié)論．6.如圖，在三棱錐D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，E是DC的中點(diǎn)，則AC與BE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】取AB中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與BE所成角的余弦值．【解答】解：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵在三棱錐D﹣ABC中，∠ABC=90°，平面DAB⊥平面ABC，DA=AB=DB=BC，∴OD⊥平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，過(guò)O作BC的平行線為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DA=AB=DB=BC=2，又E是DC的中點(diǎn)，∴A（0，﹣1，0），C（2，1，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（1，，），=（2，2，0），=（1，﹣，），設(shè)AC與BE所成角為θ，則cosθ===．∴AC與BE所成角的余弦值為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．7.已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{－2,2}，下列結(jié)論成立的是()A．N?M

B．M∪N＝MC．M∩N＝N

D．M∩N＝{2}參考答案：D8.若在的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)取得最小值時(shí)常數(shù)項(xiàng)為A.

B.

C.

D.參考答案：C9.函數(shù)f（x）=4lnx﹣x2的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先求導(dǎo)，從而可求得函數(shù)f（x）=4lnx﹣x2的單調(diào)區(qū)間與極值，問(wèn)題即可解決．【解答】解：∵f（x）=4lnx﹣x2，其定義域?yàn)椋?，+∞）∴f′（x）=﹣2x=由f′（x）＞0得，0＜x＜；f′（x）＜0得，x＞；∴f（x）=4lnx﹣x2，在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；∴x=時(shí)，f（x）取到極大值．又f（）=2（ln2﹣1）＜0，∴函數(shù)f（x）=4lnx﹣x2的圖象在x軸下方，可排除A，C，D．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，是以考查函數(shù)的圖象為載體考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，注重考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10.老師給出問(wèn)題：“設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，1），且滿足：①對(duì)于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②對(duì)于任意的x1，x2∈（0，1），恒有≤2．請(qǐng)同學(xué)們對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行研究”．經(jīng)觀察，同學(xué)們提出以下幾個(gè)猜想：甲同學(xué)說(shuō)：f（x）在上遞減，在上遞增；乙同學(xué)說(shuō)：f（x）在上遞增，在上遞減；丙同學(xué)說(shuō)：f（x）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；丁同學(xué)說(shuō)：f（x）肯定是常函數(shù)．你認(rèn)為他們的猜想中正確的猜想個(gè)數(shù)有(

)A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)參考答案：C【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用賦值法，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：令x1=1﹣x2，則不等式≤2等價(jià)為+≤2，由①知對(duì)于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；則+≥2=2，故+=2當(dāng)且僅當(dāng)==1即f（x2）=f（1﹣x2）時(shí)成立．此時(shí)函數(shù)f（x）關(guān)于x=對(duì)稱，故丙猜想正確．其他不一定正確，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這六門(mén)學(xué)科中選三門(mén)參加等級(jí)考，要求是物理、化學(xué)、生物這三門(mén)至少要選一門(mén)，政治、歷史、地理這三門(mén)也至少要選一門(mén)，則該生的可能選法總數(shù)是

參考答案：1812.若的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于．參考答案：5【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】二項(xiàng)式項(xiàng)的公式Tr+1=Cnr（x6）n﹣r（）r，對(duì)其進(jìn)行整理，令x的指數(shù)為0，建立方程求出n的最小值【解答】解：由題意的展開(kāi)式的項(xiàng)為T(mén)r+1=Cnr（x6）n﹣r（）r=Cnr=Cnr令=0，得n=，當(dāng)r=4時(shí)，n取到最小值5故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)式的項(xiàng)，且能根據(jù)指數(shù)的形式及題設(shè)中有常數(shù)的條件轉(zhuǎn)化成指數(shù)為0，得到n的表達(dá)式，推測(cè)出它的值．13.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，則（?UA）∩B=．參考答案：{1，3，7}【考點(diǎn)】1H：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【分析】直接利用補(bǔ)集和交集的運(yùn)算進(jìn)行求解即可得到答案【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={2，4，5}，∴?UA={1，3，6，7}，又B={1，3，5，7}，∴（?UA）∩B={1，3，5，7}．故答案為：{1，3，7}14.如圖，在邊長(zhǎng)為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為_(kāi)_____.參考答案：15.函數(shù)f(x)＝sinx+sin(+x)的最大值是

.

參考答案：【解析】由.答案：16.（幾何證明選做題）如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=CF=，BE=1，BF=2，若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為

。參考答案：略17.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為；則下列命題正確的是

①若；則

②若；則

③若；則

④若；則

⑤若；則參考答案：①②③①

②

③當(dāng)時(shí)，與矛盾

④取滿足得：

⑤取滿足得：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，，且，點(diǎn)分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．(1)求證：無(wú)論在何處，總有；(2)當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，異面直線與所成角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）∵BB′C′C是正方形，∴B′C⊥BC′。又∵AB⊥BC，BB′⊥AB，∴AB⊥平面BB′C′C。∴B′C⊥AB，∴B′C⊥平面ABC′，又∵C′E平面ABC′，∴B′C⊥C′E。（Ⅱ）設(shè)三棱錐B′—EBF的體積為。當(dāng)時(shí)取等號(hào)。故當(dāng)即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的中點(diǎn)時(shí)，體積最大，則|cos∠A′FE|為所求；。略19.已知兩定點(diǎn)F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），曲線C上的動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|=8，直線MF2與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為P．（Ⅰ）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N（﹣4，0），若=3：2，求直線MN的方程．參考答案：見(jiàn)解析【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由題意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8＞4，所以曲線C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓．由此可知曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)M（xM，yM），P（xP，yP），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0，由此利用韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能fiybm直線MN的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），∴|F1F2|=4，∵|MF1|+|MF2|=8＞4，∴曲線C是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓．曲線C的方程為+=1．（Ⅱ）由題意知直線MN不垂直于x軸，也不與x軸重合或平行．設(shè)M（xM，yM），P（xP，yP），直線MN方程為y=k（x+4），其中k≠0．由，得（3+4k2）y2﹣24ky=0．解得y=0或y=．依題意，xM=yM﹣4=．因?yàn)镾△MNF2：S△PNF2=3：2，所以=，則=．于是，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以3（）2+4（）=48．整理得48k4+8k2﹣21=0，解得或k2=﹣（舍去），從而k=．（）所以直線MN的方程為y=（x+4）．20.設(shè)二次函數(shù)滿足條件：①；②函數(shù)的圖像與直線相切．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由①可知，二次函數(shù)圖像對(duì)稱軸方程是，；又因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與直線相切，所以方程組有且只有一解，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以，函數(shù)的解析式是．（Ⅱ），等價(jià)于，即不等式在時(shí)恒成立，…………6分問(wèn)題等價(jià)于一次函數(shù)在時(shí)恒成立，即解得：或，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是略21.已知是奇函數(shù).(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若關(guān)于的方程有實(shí)解,求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由得：…………2分為奇函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)證可知：時(shí)，是奇函數(shù)，為所求…………5分（Ⅱ）…………8分法一：由得：

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的取值范圍是…………12分法二：原方程即設(shè)，則原方程有實(shí)解，等價(jià)于方程有正實(shí)解…………6分令則或或

…………10分或或所以的取值范圍是…………12分22.如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開(kāi)辟為水果園，已知角A為120°，AB，AC的長(zhǎng)度均大于200米，現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，在PQ處圍竹籬笆．（1）若圍墻AP、AQ總長(zhǎng)度為200米，如何可使得三角形地塊APQ面積最大？（2）已知竹籬笆長(zhǎng)為50米，AP段圍墻高1米，AQ段圍墻高2米，造價(jià)均為每平方米100元，若AP≥AQ，求圍墻總造價(jià)的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】HU：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)AP=x米，則AQ=200﹣x，△APQ的面積S=x（200﹣x）sin120°，利用基本不等式，可得結(jié)論；（2）圍墻總造價(jià)y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)AP=x（米），則AQ=200﹣x，所以三角形地塊AP