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山西省忻州市深溝聯(lián)校2023年高三數(shù)學文上學期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.定義域是一切實數(shù)的函數(shù),其圖象是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立,則稱是一個“—半隨函數(shù)”.有下列關(guān)于“—半隨函數(shù)”的結(jié)論:①是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“—半隨函數(shù)”;②“—半隨函數(shù)”至少有一個零點;③是一個“—半隨函數(shù)”;其中正確結(jié)論的個數(shù)是(
)A.1個
B.2個
C.3個
D.0個參考答案:A2.若函數(shù)f(x)=的定義域為實數(shù)集R,則實數(shù)a的取值范圍為()A.(﹣2,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) C.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) D.[﹣2,2]參考答案:D【考點】函數(shù)的定義域及其求法.【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域為R,將條件轉(zhuǎn)化為x2+ax+1≥0恒成立,利用判別式之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.【解答】解:函數(shù)f(x)=的定義域為實數(shù)集R,則x2+ax+1≥0恒成立,即△=a2﹣4≤0,解得﹣2≤a≤2,即實數(shù)a的取值范圍是[﹣2,2],故選:D.3.“”是“”的
(
)
A.充分必要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既非充分也非必要條件參考答案:B4.不等式<1的解集是()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-1,1)參考答案:A∵<1,∴-1<0,即<0,該不等式可化為(x+1)(x-1)>0,∴x<-1或x>1.5.設(shè)函數(shù),其中表示不超過的最大整數(shù),如,,.若直線與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點,則的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D試題分析:如圖,作出函數(shù)的圖象和直線,直線過定點,由題意,解得.故選D.考點:函數(shù)與方程.【名師點睛】本題考查函數(shù)與方程思想,考查方程解的個數(shù)問題,解決這類問題大多數(shù)是把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)問題,利用數(shù)形結(jié)合思想求解,本題中,作出函數(shù)與直線,特別是直線過定點,由此易知它們要有三個交點,直線的位置變化規(guī)律,易得出結(jié)論.6.如圖,在三棱錐D﹣ABC中,∠ABC=90°,平面DAB⊥平面ABC,DA=AB=DB=BC,E是DC的中點,則AC與BE所成角的余弦值為()A. B. C. D.參考答案:B【考點】異面直線及其所成的角.【分析】取AB中點O,以O(shè)為原點,過O作BC的平行線為x軸,OB為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出AC與BE所成角的余弦值.【解答】解:取AB中點O,連結(jié)OD,∵在三棱錐D﹣ABC中,∠ABC=90°,平面DAB⊥平面ABC,DA=AB=DB=BC,∴OD⊥平面ABC,以O(shè)為原點,過O作BC的平行線為x軸,OB為y軸,OD為z軸,建立空間直角坐標系,設(shè)DA=AB=DB=BC=2,又E是DC的中點,∴A(0,﹣1,0),C(2,1,0),B(0,1,0),D(0,0,),E(1,,),=(2,2,0),=(1,﹣,),設(shè)AC與BE所成角為θ,則cosθ===.∴AC與BE所成角的余弦值為.故選:B.【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法,考查空間想象能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.7.已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列結(jié)論成立的是()A.N?M
B.M∪N=MC.M∩N=N
D.M∩N={2}參考答案:D8.若在的展開式中含有常數(shù)項,則正整數(shù)取得最小值時常數(shù)項為A.
B.
C.
D.參考答案:C9.函數(shù)f(x)=4lnx﹣x2的大致圖象是()A. B. C. D.參考答案:B【考點】函數(shù)的圖象.【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應用.【分析】先求導,從而可求得函數(shù)f(x)=4lnx﹣x2的單調(diào)區(qū)間與極值,問題即可解決.【解答】解:∵f(x)=4lnx﹣x2,其定義域為(0,+∞)∴f′(x)=﹣2x=由f′(x)>0得,0<x<;f′(x)<0得,x>;∴f(x)=4lnx﹣x2,在(0,)上單調(diào)遞增,在(,+∞)上單調(diào)遞減;∴x=時,f(x)取到極大值.又f()=2(ln2﹣1)<0,∴函數(shù)f(x)=4lnx﹣x2的圖象在x軸下方,可排除A,C,D.故選:B.【點評】本題考查函數(shù)的圖象,是以考查函數(shù)的圖象為載體考查導數(shù)及其應用,注重考查學生分析轉(zhuǎn)化解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.10.老師給出問題:“設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,1),且滿足:①對于任意的x∈(0,1),f(x)>0;②對于任意的x1,x2∈(0,1),恒有≤2.請同學們對函數(shù)f(x)進行研究”.經(jīng)觀察,同學們提出以下幾個猜想:甲同學說:f(x)在上遞減,在上遞增;乙同學說:f(x)在上遞增,在上遞減;丙同學說:f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱;丁同學說:f(x)肯定是常函數(shù).你認為他們的猜想中正確的猜想個數(shù)有(
)A.3個 B.2個 C.1個 D.0個參考答案:C【考點】抽象函數(shù)及其應用.【專題】函數(shù)思想;函數(shù)的性質(zhì)及應用.【分析】利用賦值法,結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進行判斷即可.【解答】解:令x1=1﹣x2,則不等式≤2等價為+≤2,由①知對于任意的x∈(0,1),f(x)>0;則+≥2=2,故+=2當且僅當==1即f(x2)=f(1﹣x2)時成立.此時函數(shù)f(x)關(guān)于x=對稱,故丙猜想正確.其他不一定正確,故選:C.【點評】本題主要考查抽象函數(shù)的應用,利用賦值法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,有一定的難度.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某學生要從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這六門學科中選三門參加等級考,要求是物理、化學、生物這三門至少要選一門,政治、歷史、地理這三門也至少要選一門,則該生的可能選法總數(shù)是
參考答案:1812.若的展開式中含有常數(shù)項,則n的最小值等于.參考答案:5【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì).【專題】計算題.【分析】二項式項的公式Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r,對其進行整理,令x的指數(shù)為0,建立方程求出n的最小值【解答】解:由題意的展開式的項為Tr+1=Cnr(x6)n﹣r()r=Cnr=Cnr令=0,得n=,當r=4時,n取到最小值5故答案為:5.【點評】本題考查二項式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項式的項,且能根據(jù)指數(shù)的形式及題設(shè)中有常數(shù)的條件轉(zhuǎn)化成指數(shù)為0,得到n的表達式,推測出它的值.13.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,5},B={1,3,5,7},則(?UA)∩B=.參考答案:{1,3,7}【考點】1H:交、并、補集的混合運算.【分析】直接利用補集和交集的運算進行求解即可得到答案【解答】解:全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,5},∴?UA={1,3,6,7},又B={1,3,5,7},∴(?UA)∩B={1,3,5,7}.故答案為:{1,3,7}14.如圖,在邊長為(為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆,則他落到陰影部分的概率為______.參考答案:15.函數(shù)f(x)=sinx+sin(+x)的最大值是
.
參考答案:【解析】由.答案:16.(幾何證明選做題)如圖,已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F,E是AB延長線上一點,且DF=CF=,BE=1,BF=2,若CE與圓相切,則線段CE的長為
。參考答案:略17.設(shè)的內(nèi)角所對的邊為;則下列命題正確的是
①若;則
②若;則
③若;則
④若;則
⑤若;則參考答案:①②③①
②
③當時,與矛盾
④取滿足得:
⑤取滿足得:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.如圖直三棱柱的側(cè)棱長為,,且,點分別是棱上的動點,且.(1)求證:無論在何處,總有;(2)當三棱錐的體積取得最大值時,異面直線與所成角的余弦值.參考答案:(Ⅰ)∵BB′C′C是正方形,∴B′C⊥BC′。又∵AB⊥BC,BB′⊥AB,∴AB⊥平面BB′C′C?!郆′C⊥AB,∴B′C⊥平面ABC′,又∵C′E平面ABC′,∴B′C⊥C′E。(Ⅱ)設(shè)三棱錐B′—EBF的體積為。當時取等號。故當即點E,F(xiàn)分別是棱AB,BC上的中點時,體積最大,則|cos∠A′FE|為所求;。略19.已知兩定點F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0),曲線C上的動點M滿足|MF1|+|MF2|=8,直線MF2與曲線C的另一個交點為P.(Ⅰ)求曲線C的標準方程;(Ⅱ)設(shè)點N(﹣4,0),若=3:2,求直線MN的方程.參考答案:見解析【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系;橢圓的簡單性質(zhì).【分析】(Ⅰ)由題意知|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=8>4,所以曲線C是以F1,F(xiàn)2為焦點,長軸長為8的橢圓.由此可知曲線C的方程;(Ⅱ)設(shè)M(xM,yM),P(xP,yP),直線MN方程為y=k(x+4),其中k≠0.由,得(3+4k2)y2﹣24ky=0,由此利用韋達定理、橢圓性質(zhì),結(jié)合已知條件能fiybm直線MN的方程.【解答】解:(Ⅰ)∵F1(﹣2,0),F(xiàn)2(2,0),∴|F1F2|=4,∵|MF1|+|MF2|=8>4,∴曲線C是以F1,F(xiàn)2為焦點,長軸長為8的橢圓.曲線C的方程為+=1.(Ⅱ)由題意知直線MN不垂直于x軸,也不與x軸重合或平行.設(shè)M(xM,yM),P(xP,yP),直線MN方程為y=k(x+4),其中k≠0.由,得(3+4k2)y2﹣24ky=0.解得y=0或y=.依題意,xM=yM﹣4=.因為S△MNF2:S△PNF2=3:2,所以=,則=.于是,所以,因為點P在橢圓上,所以3()2+4()=48.整理得48k4+8k2﹣21=0,解得或k2=﹣(舍去),從而k=.()所以直線MN的方程為y=(x+4).20.設(shè)二次函數(shù)滿足條件:①;②函數(shù)的圖像與直線相切.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若不等式在時恒成立,求實數(shù)的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ)由①可知,二次函數(shù)圖像對稱軸方程是,;又因為函數(shù)的圖像與直線相切,所以方程組有且只有一解,即方程有兩個相等的實根,所以,函數(shù)的解析式是.(Ⅱ),等價于,即不等式在時恒成立,…………6分問題等價于一次函數(shù)在時恒成立,即解得:或,故所求實數(shù)的取值范圍是略21.已知是奇函數(shù).(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若關(guān)于的方程有實解,求的取值范圍.參考答案:(Ⅰ)由得:…………2分為奇函數(shù),經(jīng)驗證可知:時,是奇函數(shù),為所求…………5分(Ⅱ)…………8分法一:由得:
當且僅當時,所以的取值范圍是…………12分法二:原方程即設(shè),則原方程有實解,等價于方程有正實解…………6分令則或或
…………10分或或所以的取值范圍是…………12分22.如圖,某生態(tài)園將一塊三角形地ABC的一角APQ開辟為水果園,已知角A為120°,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.(1)若圍墻AP、AQ總長度為200米,如何可使得三角形地塊APQ面積最大?(2)已知竹籬笆長為50米,AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高2米,造價均為每平方米100元,若AP≥AQ,求圍墻總造價的取值范圍.參考答案:【考點】HU:解三角形的實際應用.【分析】(1)設(shè)AP=x米,則AQ=200﹣x,△APQ的面積S=x(200﹣x)sin120°,利用基本不等式,可得結(jié)論;(2)圍墻總造價y=100(AP+2AQ)=10000(sin∠AQP+2sin∠APQ)=10000cos∠AQP,即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)設(shè)AP=x(米),則AQ=200﹣x,所以三角形地塊AP
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