簡單隨機(jī)抽樣

第2章簡單隨機(jī)抽樣

2.1定義和符號2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)2.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)2.4回歸估計(jì)量及其性質(zhì)2.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施簡單隨機(jī)抽樣用于估計(jì)總體均值的統(tǒng)計(jì)量是樣本均值。-兩者同形同構(gòu)之意直接從總體（而不是層之間的子總體）抽取單元（而不是一群個(gè)體的大單元）-單純之意在任何其他概率抽樣方式或多或少包含簡單隨機(jī)抽樣的成分，如分層抽樣在每層內(nèi)部均采用簡單隨機(jī)抽樣，整群抽樣以群為單位進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣。-基本之意許多日常場合，采用的抓鬮搖號等都是簡單隨機(jī)抽樣。-操縱簡單之意2.1定義和符號所討論的總體是抽樣總體(實(shí)查總體)：（1）具體總體（2）有限總體(3)與抽樣框存在一一對應(yīng)關(guān)系單元：指構(gòu)成抽樣總體的抽樣單元。抽樣單元并不總是等于個(gè)體，有時(shí)可能包括幾個(gè)或很多個(gè)個(gè)體，個(gè)體為最小的不可再分的單元2.1定義和符號書上，簡單隨機(jī)抽樣三個(gè)等價(jià)定義：設(shè)有限總體共有N個(gè)單元，一次整批取n各單元，使每個(gè)單元被抽中的概率相等，任何n個(gè)單元被抽中的概率也相等逐個(gè)不放回抽取單元，每次抽取到尚未入群的任何一個(gè)單元的概率都相等，直到抽足n個(gè)單元為止抽取n個(gè)單元的所有不同組合構(gòu)造所有可能的

個(gè)樣本，從這個(gè)樣本中隨機(jī)抽取1個(gè)樣本，使每個(gè)樣本被抽中的概率都等于2.1定義和符號簡單隨機(jī)抽樣設(shè)有限總體共有N個(gè)單元，從中抽取容量為n個(gè)單元組成樣本，使得每一個(gè)可能的樣本都有相同的概率被抽中，這種抽樣方法就是簡單隨機(jī)抽樣（simplerandomsampling）。具體抽樣時(shí)，通常是逐個(gè)抽取樣本單元，直到抽滿n個(gè)單元為止。簡單隨機(jī)抽樣分為：有放回抽樣和無放回抽樣（with/withoutreplacement）放回簡單隨機(jī)抽樣在每次抽取樣本單元時(shí)，都將前一次抽取的樣本單元放回總體，因此，總體的結(jié)構(gòu)不變，抽樣是相互獨(dú)立進(jìn)行的，每個(gè)樣本被抽中的概率為1/N.在不放回簡單隨機(jī)抽樣中，每個(gè)被抽中的單元不再放回總體，而是從總體剩下的單元中進(jìn)行抽樣，因此，每次抽樣時(shí)總體中單元個(gè)數(shù)不同，抽樣是不獨(dú)立的，但可以證明每個(gè)單元被抽中的概率仍然為1/N。2.1定義和符號2.1定義和符號設(shè)總體有5個(gè)單元（1、2、3、4、5），按放回簡單隨機(jī)抽樣的方式抽取2個(gè)單元，則所有可能的樣本為個(gè)（考慮樣本單元的順序）：1，12，13，14，15，11，22，23，24，25，21，32，33，34，35，31，42，43，44，45，41，52，53，54，55，5例1：放回簡單隨機(jī)抽樣2.1定義和符號

設(shè)總體有5個(gè)單元（1、2、3、4、5），按不放回簡單隨機(jī)抽樣的方式抽取2個(gè)單元，則所有可能的樣本為個(gè)1，22，33，44，51，32，43，5

1，42，5

1，5

例2.不放回簡單隨機(jī)抽樣2.1定義和符號簡單隨機(jī)抽樣的抽取原則：（1）按隨機(jī)原則取樣；（2）每個(gè)抽樣單元被抽中的概率都是已知的或事先確定的；（3）每個(gè)抽樣單元被抽中的概率都是相等的不放回簡單隨機(jī)抽樣的樣本量要受總體大小的限制。在實(shí)際工作中，更多的采用不放回簡單隨機(jī)抽樣。2.1定義和符號-約定大寫表示總體-小寫表示樣本

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)總體均值樣本均值總體均值的簡單估計(jì)量總體總值樣本總值總體總值的簡單估計(jì)量為

簡單估計(jì)量總體方差樣本方差修正總體方差修正樣本方差

簡單估計(jì)量總體比例(rate)樣本比例總體比率（ratio）樣本比率簡單估計(jì)量某一類特征的單元占總體單元數(shù)中的比例P

總體中具有研究特征的單元總數(shù)總體中具有研究特征的比例總體比例P的估計(jì)為（比例估計(jì)化為均值估計(jì)）簡單估計(jì)量判斷下面要估計(jì)的總體目標(biāo)量分別屬于什么類型？調(diào)查城市居民家庭平均用電量。估計(jì)湖中魚的數(shù)量。估計(jì)居民家庭用于做飯菜及飲用的用水量占家庭總用水量的比重。檢測食鹽中碘含量。估計(jì)嬰兒出生性別比。

簡單估計(jì)量例3.設(shè)總體為{0,1,3,5,6}，計(jì)算總體均值=3、總體方差和；給出全部的樣本

驗(yàn)證及。

1010.5-2.50.52031.5-1.54.53052.5-0.512.540630185132-126153087163.50.512.58354129364.51.54.510平均565.52.50.5

306.5

方差1.95

樣本編號單元1單元2樣本均值樣本方差簡單估計(jì)量

一、對總體均值的估計(jì)引理2.1:從N個(gè)總體中抽取n個(gè)簡單隨機(jī)樣本，則總體中每個(gè)特定單元人樣的概率為n/N，兩個(gè)特定單元人樣的概率為簡單估計(jì)量的性質(zhì)

引理2.2：在簡單隨機(jī)抽樣中，引入隨機(jī)變量則

樣

樣

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)

一、對總體均值的估計(jì)以樣本均值作為總體均值的估計(jì)定理2.1：對于簡單隨機(jī)抽樣，是的無偏估計(jì)。

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)證法1：對于固定的有限總體，估計(jì)量的期望是對所有可能樣本求平均得到的，因此總體中每個(gè)特定的單元在不同的樣本中出現(xiàn)的次數(shù)。

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)證法2：由于每個(gè)單元出現(xiàn)在總體所有可能樣本中的次數(shù)相同，因此一定是的倍數(shù)，且這個(gè)倍數(shù)就是，

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)推論2.1：對于簡單隨機(jī)抽樣，

的期望推論2.2：對于簡單隨機(jī)抽樣，

的期望推論2.3：對于簡單隨機(jī)抽樣,n較大時(shí),

的期望為2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)對于有限總體的方差定義：定理2.2：對于簡單隨機(jī)抽樣，的方差式中：為抽樣比(例)，為有限總體校正系數(shù)。

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)證明（對稱論證法）：

中的求和是對項(xiàng)的，中的求和是對項(xiàng)的2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)

證法三：

其中

樣

樣

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)法二：總體方差修正總體方差

簡單估計(jì)量推論2.4：對于簡單隨機(jī)抽樣，

的方差為：推論2.5：對于簡單隨機(jī)抽樣，

的方差為：推論2.6：對于簡單隨機(jī)抽樣,n較大時(shí),

的方差為2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)對于有限總體的兩個(gè)指標(biāo)的協(xié)方差定理2.3：對于簡單隨機(jī)抽樣，的方差式中：

為總體協(xié)方差。（證略）2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)簡單隨機(jī)抽樣下，簡單估計(jì)量估計(jì)精度影響因素：

-估計(jì)量的方差是衡量估計(jì)量精度的度量。影響估計(jì)量方差的因素主要是樣本量n，總體大小N和總體方差。通常N很大，當(dāng)f<0.05時(shí)，可將近似取為1。總體方差是我們無法改變的；因此，在簡單隨機(jī)抽樣的條件下，只有通過加大樣本量來提高估計(jì)量的精度。

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)定理2.4：簡單隨機(jī)樣本的方差，

是總體方差S2的無偏估計(jì).

證明:2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)推論2.7：對于簡單隨機(jī)抽樣，是的無偏估計(jì)推論2.8：對于簡單隨機(jī)抽樣，是的無偏估計(jì)2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)推論2.9：對于簡單隨機(jī)抽樣，是的無偏估計(jì)推論2.10：對于簡單隨機(jī)抽樣,n較大時(shí),有

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)大樣本下，抽樣調(diào)查估計(jì)量漸進(jìn)正態(tài)

總體均值的置信度為

置信區(qū)間其中為標(biāo)準(zhǔn)誤差2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)例4：我們從某個(gè)=100的總體中抽出一個(gè)大小為=10的簡單隨機(jī)樣本，要估計(jì)總體平均水平并給出置信度為95%的區(qū)間估計(jì)。序號12345678910452046615082.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)由置信度95%對應(yīng)的，因此，可以以95%的把握說總體平均水平大約在之間，即2.4295和7.5705之間。2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)例5：某學(xué)院共有1200名學(xué)生，現(xiàn)欲調(diào)查學(xué)生平均每月的伙食支出，采用了簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了65名學(xué)生作調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：要求以95%的置信度估計(jì)出該學(xué)院學(xué)生平均每月伙食費(fèi)支出的置信區(qū)間2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)有放回簡單隨機(jī)抽樣2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)二、對總體總(值)量的估計(jì)

總體總值總體總值的樣本估計(jì)量總體總值的樣本估計(jì)量的方差用樣本代替2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)例6：續(xù)例4.估計(jì)總體總量，并給出在置信度95%的條件下，估計(jì)的極限相對誤差。在置信度95%下，的極限相對誤差為：2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)三、對總體比例的估計(jì)

某一類特征的單元占總體單元數(shù)中的比例P.

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)總體方差：

2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)例：某超市新開張一段時(shí)間之后，為改進(jìn)銷售服務(wù)環(huán)境，欲調(diào)查附近幾個(gè)小區(qū)居民到該超市購物的滿意度，該超市與附近幾個(gè)小區(qū)的居委會取得聯(lián)系，在總體中按簡單隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)大小為=200人的樣本，調(diào)查發(fā)現(xiàn)對該超市購物環(huán)境表示滿意或基本滿意的居民有130位，要估計(jì)對該超市購物環(huán)境持肯定態(tài)度居民的比例，并在置信度95%下，給出估計(jì)的近似置信區(qū)間、極限絕對誤差。假定這時(shí)的抽樣比可以忽略。2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)95%近似置信區(qū)間為〔58.37%，71.63%〕2.2簡單估計(jì)量及其性質(zhì)2.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)主要變量的總體均值的比率估計(jì)量：主要變量的總體均值Y的比率估計(jì)量：引理2.3：對于簡單隨機(jī)抽樣，n較大時(shí)，的期望為：例：設(shè)所有可能樣本數(shù)為8個(gè)不是無偏的I11112240.53250.44350.65360.56360.57480.586130.46平均360.562.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)定理2.6：對于簡單隨機(jī)抽樣，n較大時(shí)，的期望為：推論2.11：對于簡單隨機(jī)抽樣，n較大時(shí)，的期望為2.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)引理2.4：對于簡單隨機(jī)抽樣，n較大時(shí)，的方差為：其中，2.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)定理2.7：對于簡單隨機(jī)抽樣，n較大時(shí)，的方差為推論2.12：對于簡單隨機(jī)抽樣，n較大時(shí)，的方差為2.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)很難比較哪種方法好兩套公式2.3比率估計(jì)量及其性質(zhì)2.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法

樣本容量的確定原理當(dāng)n越接近于N，則抽樣誤差就越接近于零。公式影響樣本容量n的三個(gè)基本因素：總體規(guī)模N，目標(biāo)抽樣誤差和總體方差S2未知另一方面,目標(biāo)抽樣誤差與總體方差S2有關(guān)估計(jì)的精度水平，誤差限度（絕對誤差限度d或相對誤差限度r）和置信度有關(guān)系：即：于是影響樣本容量n的因素：總體規(guī)模N，置信度絕對誤差限度d和總體方差S22.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法例：表：例：表：d0.140.100.040.03n4995566964S200.090.160.210.240.25n1136243133563702.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法例：表：不同抽樣方式會影響樣本容量–設(shè)計(jì)效應(yīng)一般地，不能得到有效信息的原因有：抽樣框存在缺陷受訪者調(diào)查期間不在訪問員的疏失設(shè)計(jì)和管理上的缺陷（不總是可以完全避免）N501005001000n44792172782.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法樣本量的確定步驟：確定估計(jì)的精度水平，包括誤差限度（絕對誤差限度d或相對誤差限度r）和置信度按照保守（樣本容量寧大勿小），預(yù)估S2

利用先前的調(diào)查結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)利用預(yù)調(diào)查結(jié)果利用同類或相似或有關(guān)的二手?jǐn)?shù)據(jù)的結(jié)果利用某些理論上的結(jié)論(總體比例p(1-p)=0.25)利用有經(jīng)驗(yàn)的專家的判斷2.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法最大絕對誤差（絕對誤差限）或最大相對誤差（相對誤差限）

相對誤差限度r樣本量：2.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法初始樣本量n0計(jì)算：確定抽樣方式,調(diào)整樣本容量,設(shè)計(jì)效應(yīng)deff=任意抽樣方式抽樣方差/簡單隨機(jī)抽樣的抽樣方差簡單隨機(jī)抽樣:deff=1分層抽樣：deff<1--效率高整群抽樣：deff>1--效率低

系統(tǒng)抽樣：deff≈12.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法

Deff（基什L.Kish提出）的作用：評價(jià)抽樣設(shè)計(jì)的一個(gè)依據(jù),如果deff<1--比簡單隨機(jī)抽樣的效率高；如果deff>1--比簡單隨機(jī)抽樣的效率低計(jì)算樣本量如多階段抽樣的Deff大約在2~2.5之間。

n=n’(deff)n’為簡單隨機(jī)抽樣所需樣本量。

2.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法放回簡單隨機(jī)抽樣的deff為：常用于復(fù)雜抽樣樣本量的確定；在一定精度條件下，簡單隨機(jī)抽樣所需的樣本量比較容易得到，復(fù)雜抽樣的樣本量為，

2.5簡單隨機(jī)抽樣的實(shí)施方法5.判定回答率，調(diào)整樣本容量6.對分組數(shù)據(jù)分別計(jì)算樣本量，再相加得到總樣本容量。