彈塑性力學(xué)第04章

§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）

§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系

§4-3各向同性材料彈性常數(shù)

2/5/20231本章討論彈性力學(xué)的第三個(gè)基本規(guī)律。應(yīng)力、應(yīng)變之關(guān)系，這是變形體力學(xué)研究問(wèn)題基礎(chǔ)之一。在前面第二、三章分別討論了變形體的平衡規(guī)律和幾何規(guī)律（包括協(xié)調(diào)條件）。

ji,j+fi=

0ij=(ui,j+uj,i)/2第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）2/5/20232共9個(gè)方程，但需確定的未知函數(shù)共15個(gè)：ui，ij=ji，ij=ji，ij=ji=fij(kl)

第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（本構(gòu)方程）

還需要根據(jù)材料的物理性質(zhì)來(lái)建立應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系：

2/5/20233§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系1.1應(yīng)變能U和應(yīng)變能密度W（比能）

如果彈性體的外力的施加是緩慢進(jìn)行的，物體無(wú)動(dòng)能，物體發(fā)生變形，產(chǎn)生變形能，也無(wú)熱能耗散，則根據(jù)能量守恒，外力實(shí)功轉(zhuǎn)化成應(yīng)變能貯存在彈性體中。

2/5/20234§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系

外力做實(shí)功

A：

A=U

物體的應(yīng)變能U

W：應(yīng)變能密度——單位體積的應(yīng)變能。

2/5/20235§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系1.2應(yīng)變能密度W與材料的本構(gòu)關(guān)系

當(dāng)外載

，緩慢施加過(guò)程中，考察外力施加過(guò)程中，瞬時(shí)外力功增量變化。

x2x1x3oFf2/5/20236§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系在某一時(shí)刻t：

產(chǎn)生

應(yīng)變能密度W的表達(dá)式？2/5/20237§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系時(shí)刻達(dá)到t+t：位移有增量

應(yīng)變?cè)隽?/p>

外力功增量

：

2/5/20238§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系：函數(shù)增量

應(yīng)變能增量A中有體積分和面積分，利用柯西公式和散度定理將面積分換成體積分。

2/5/20239§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系代入外力功增量

2/5/202310——W為ij的函數(shù)。

§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202311

因?yàn)閃只取決于彈性體的初始應(yīng)變狀態(tài)和最終應(yīng)變狀態(tài)，與變形過(guò)程（加載路線）無(wú)關(guān)，所以W為它的全微分

§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202312比較上面二式，得：

——本構(gòu)關(guān)系（方程）

適用于各種彈性情況（線性、非線性）

§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202313由

積分得

——應(yīng)變能密度定義式。

§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系2/5/202314§4-1應(yīng)變能、應(yīng)變能密度與彈性材料的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變能密度定義式一些書(shū)上寫(xiě)為ijijijdijdWWij2/5/202315§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系

2.1各向異性材料

在線彈性體應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系，材料均勻和小變形情況,以及當(dāng)ij=0

時(shí)

ij=0。用指標(biāo)符號(hào)表示：ij=Eijkl

kl

Eijkl共有81個(gè)元素（四階張量常數(shù)）。

由于

ij

=ji

，kl

=

lk

2/5/202316§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系{}=[c]{}

Eijkl減少為66=36個(gè)獨(dú)立系數(shù)，用矩陣表示本構(gòu)關(guān)系

2.1各向異性材料

2/5/202317§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系{}=[c]{}

2.1各向異性材料

2/5/202318§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系

根據(jù)

，

得

則

[C]為對(duì)稱(chēng)矩陣

[C]=[C]T。

2.1各向異性材料2/5/202319§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.1各向異性材料

*對(duì)各向異性材料的本構(gòu)關(guān)系可見(jiàn)，剪應(yīng)變引起正應(yīng)力，正應(yīng)變也產(chǎn)生剪應(yīng)力。

彈性材料性質(zhì)一般都具有某些對(duì)稱(chēng)性，利用對(duì)稱(chēng)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化

[C]中系數(shù)。

Eijkl

的獨(dú)立系數(shù)為21個(gè)——材料為各向異性線彈性材料。

2/5/202320§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.2具有一個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面的材料

x2x1x3彈性主軸若物體內(nèi)各點(diǎn)都有這樣一個(gè)平面，對(duì)此平面對(duì)稱(chēng)方向其彈性性質(zhì)相同，則稱(chēng)此平面為彈性對(duì)稱(chēng)面，垂直彈性對(duì)稱(chēng)面的方向稱(chēng)為彈性主軸。

2/5/202321§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系如取彈性對(duì)稱(chēng)面為x1—x2面，

x3為彈性主軸或材料主軸，并取另一坐標(biāo)系x’i

，且x’1=x1，x’2=x2，x’3=-x3。在兩個(gè)坐標(biāo)下，彈性關(guān)系保持不變，則[C]中元素減少為13個(gè)獨(dú)立系數(shù)。

x2x1x3彈性主軸x3’2/5/202322§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系Qi’j

x1

x2 x3

x’1=x1

100

x’2=x2

010

x’3=-x3

00-1

代入

得

2/5/202323§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系應(yīng)變張量具有相同關(guān)系。2/5/202324§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系代入兩組坐標(biāo)系下的彈性方程

{}=[c]{},比較得

2/5/202325§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.3具有三個(gè)正交彈性對(duì)稱(chēng)面的材料——正交各向異性材料

木材、增強(qiáng)纖維復(fù)合材料屬此種材料。取x1，x2，

x3為彈性主軸。

[C]中獨(dú)立系數(shù)減少為9個(gè)：

2/5/202326§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.3具有三個(gè)正交彈性對(duì)稱(chēng)面的材料——正交各向異性材料

特點(diǎn)：正應(yīng)變僅引起正應(yīng)力，剪應(yīng)變僅產(chǎn)生剪應(yīng)力。

2/5/202327§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.4橫觀各向同性材料——彈性體對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)

若通過(guò)物體每一點(diǎn)可作這樣的軸（如x3軸），在此軸成垂直的平面內(nèi)，所有射線方向的彈性性質(zhì)都是相同的，稱(chēng)這個(gè)平面為各向同性面，如地層屬于此類(lèi)。[C]中獨(dú)立系數(shù)為5個(gè)：

x1x2x3x1’x2’各向同性面2/5/202328§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.4橫觀各向同性材料——彈性體對(duì)一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)2/5/202329§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.5各向同性材料

各個(gè)方向彈性性質(zhì)一樣，[C]中僅有2個(gè)獨(dú)立系數(shù)：

2/5/202330§4-2線彈性體的本構(gòu)關(guān)系2.5各向同性材料

2/5/202331§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.1本構(gòu)關(guān)系用、G表示

采用指標(biāo)符號(hào)表示：

其中——應(yīng)變第一不變量（體積應(yīng)變）

2/5/202332§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.1本構(gòu)關(guān)系用、G表示

或

——應(yīng)力第一不變量；

2/5/202333§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.1本構(gòu)關(guān)系用、G表示

兩個(gè)第一不變量關(guān)系

2/5/202334§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.2本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)

表示

令

或

2/5/202335§4-3各向同性材料彈性常數(shù)3.2本構(gòu)關(guān)系用彈性模量E和泊松系數(shù)

表示

則本構(gòu)關(guān)系變?yōu)椴牧狭W(xué)中最初見(jiàn)到的廣義虎克定理的形式：

2/5/202336§4-3各向同性材料彈性常數(shù)

采用指標(biāo)符號(hào)表示：

2/5/202337§4-3各向同性材料彈性常數(shù)——體積壓縮模量。

兩個(gè)第一不變量關(guān)系

或

2/5/202338§4-3各向同性材料彈性常數(shù)E——拉壓實(shí)驗(yàn)測(cè)定，G——扭轉(zhuǎn)測(cè)定，——壓縮實(shí)驗(yàn)測(cè)定，

K——靜水壓力實(shí)驗(yàn)測(cè)定

2/5/202339作業(yè)：

1.

證明，對(duì)各向同性彈性體，若主應(yīng)力123，則相應(yīng)的主應(yīng)變123。2．將一小物體放在高壓容器內(nèi)，在靜水壓力為q=0.5N/mm2作用下，測(cè)得體積應(yīng)變?yōu)?0.41