用數(shù)學歸納法證明不等式

習題課——用數(shù)學歸納法

證明不等式和整除性問題一.復習回顧一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當n=n0時命題成立;(2)假設(shè)當n=k時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學歸納法.說明：用數(shù)學歸納法證明時,要分兩個步驟,兩者缺一不可.(1)證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的正確性.(2)證明了第二步,就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒有第一步,則失去了遞推的基礎(chǔ);而只有第一步而沒有第二步,就可能得出不正確的結(jié)論,因為單靠第一步,我們無法遞推下去,所以我們無法判斷命題對n0+1,n0+2,…,是否正確.在第二步中,n=k命題成立,可以作為條件加以運用,而n=k+1時的情況則有待利用命題的已知條件,公理,定理,定義加以證明.完成一,二步后,最后對命題做一個總的結(jié)論.重點：兩個步驟、一個結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉?？煽偨Y(jié)為：題型一：用數(shù)學歸納法證明不等式問題例1.用數(shù)學歸納法證明:證:(1)當n=2時,左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當n=k(k≥2)時不等式成立,即有:

則當n=k+1時,即當n=k+1時,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對一切都成立.例2.證明不等式:證:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=2,不等式顯然成立.(2)假設(shè)當n=k時不等式成立,即有:則當n=k+1時,即當n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)、(2)可知,原不等式對一切正整數(shù)都成立.即時提升證:(1)當n=1時,左邊=,右邊=,由于故不等式成立.(2)假設(shè)n=k()時命題成立,即

則當n=k+1時,即當n=k+1時,命題成立.由(1)、(2)原不等式對一切都成立.練習1.求證:題型二：用數(shù)學歸納法證明整除性問題證明①當n＝1時，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假設(shè)n＝k時，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，對任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．

應用數(shù)學歸納法證明整除性問題時，關(guān)鍵是“湊項”，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法，也可以說將式子“硬提公因式”，即將n＝k時的項從n＝k＋1時的項中“硬提出來”，構(gòu)成n＝k的項，后面的式子相對變形，使之與n＝k＋1時的項相同，從而達到利用假設(shè)的目的．作業(yè)布置2.用數(shù)學歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．【變式2】

用數(shù)學歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 證明

(1)當n＝1時，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假設(shè)當n＝k(k∈N*，且k≥1)時，62k－1＋1能被7整除． 那么當n＝k＋1時，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1

＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴當n＝k＋1時，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命題成立．練習3:已知求證：證:(1)當n=2時,,

不等式成立.(2)假設(shè)當