結(jié)構(gòu)力學(xué) 08 位移法

第8章位移法教學(xué)目標(biāo)了解位移法的概念，理解等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程理解位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路掌握位移法求解連續(xù)梁和無線位移剛架的桿端彎矩并作彎矩圖Contents目錄位移法的基本概念1位移法原理與位移法方程3等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程2位移法的基本概念§8.1力法是19世紀(jì)末出現(xiàn)的用于解決超靜定結(jié)構(gòu)的方法，隨著鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的問世和使用，高次超靜定結(jié)構(gòu)大量出現(xiàn)，如果仍使用力法就十分繁瑣。于是，20世紀(jì)初在力法的基礎(chǔ)上又建立了位移法。在分析超靜定結(jié)構(gòu)時，先設(shè)法求出內(nèi)力，然后計算相應(yīng)的位移，這就是力法；反過來，先確定某些位移，然后求出內(nèi)力，這便是位移法。力學(xué)是以多余未知力作為基本未知量，位移法則是以某些結(jié)點位移作為基本未知量。對于高次超靜定結(jié)構(gòu)，運用位移法計算通常比力法簡便。位移法的基本概念§8.1以圖8-1所示剛架的位移來分析。它在荷載F作用下將發(fā)生虛線所示的變形，在剛節(jié)點1處兩桿的桿端均發(fā)生相同的轉(zhuǎn)角Z1。此外，若略去軸向變形，則可認(rèn)為兩桿長度不變，因而結(jié)點1沒有線位移。那么如何據(jù)此確定桿的內(nèi)力呢？對于12桿，其計算條件是兩端固定，固定支座1發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1，并承受已知荷載F的作用（圖8-1b），這種情況下的內(nèi)力可以由力學(xué)算出（見第七章）。同理，13桿可以看作是一端固定另一端膠支的梁，而固定端1處發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1，其內(nèi)力同樣可以用力法算出（圖8-1c）?？梢?，如果能設(shè)法把轉(zhuǎn)角Z1求出，那么整個剛架的計算問題就分解成桿件的計算問題。(a)兩端固定(b)一端固定一端鉸支(c)一端固定一端定向支承位移法的基本單元所謂等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程，是指表述基本單元的桿端力，同作用于其上的桿端位移（等效為支座移動）、荷載以及溫度變化之間關(guān)系的函數(shù)式。等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8.2如圖(a)所示的基本單元，截斷為桿件和支座隔離體后，得到如圖(b)所示的受力圖，則對桿件隔離體，規(guī)定桿端彎矩以順時針轉(zhuǎn)動為正，否則為負(fù)。而對支座隔離體，因為其上彎矩是桿端彎矩的反作用力，所以以逆時針轉(zhuǎn)動為正。桿端剪力和桿端軸力仍與前面各章的符號規(guī)定一致。例如，圖(b)中所繪各力均為正。此外，對結(jié)點隔離體上的彎矩，也與支座隔離體的彎矩符號規(guī)定相同。桿端位移和結(jié)點角位移均以順時針為正，否則為負(fù)。例如，圖8-2中的qA和qB都是正值。桿端相對線位移以使桿的一端相對于另一端產(chǎn)生順時針方向轉(zhuǎn)動的線位移為正，否則為負(fù)。例如，圖8-2中的DAB為正。結(jié)點線位移一般以水平向右或豎直向下為正。桿端力的正負(fù)號規(guī)定等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8.2等截面直桿的形常數(shù)和載常數(shù)位移法分析等截面直桿時，關(guān)鍵是用桿端位移表示桿端力。當(dāng)桿端位移是單位位移時，所得桿端力通常稱為等截面直桿的剛度系數(shù)。因只與桿件材料、尺寸及截面幾何形狀有關(guān)，也稱為形常數(shù)，見表8-1。單跨超靜定梁由于荷載引起的桿端彎矩和桿端剪力分別稱為固端彎矩和固端剪力。由于固端彎矩和固端剪力與等截面直桿所受荷載的作用形式和大小有關(guān)，因此又稱為載常數(shù)。見表8-2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8.2等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8.2轉(zhuǎn)角位移方程

（1）兩端固定的單跨超靜定梁等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8.2

（2）一端固定一端鉸支的單跨超靜定梁等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程§8.2

（3）一端固定一端定向支承的單跨超靜定梁位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)§8.3如果結(jié)構(gòu)上每根桿件兩端的角位移和線位移都已求得，則全部桿件的內(nèi)力均可確定出。因此，在位移法中，基本未知量應(yīng)是各結(jié)點的角位移和線位移。在計算時，應(yīng)首先確定獨立的結(jié)點角位移和線位移的數(shù)目。確定獨立的結(jié)點角位移數(shù)目比較容易。由于在同一結(jié)點處，各桿端的轉(zhuǎn)角是相等的，因此每一個剛結(jié)點的角位移未知量。在固定支座處，其轉(zhuǎn)角等于零或是已知的支座位移值。至于鉸結(jié)點或鉸支座處各桿端的轉(zhuǎn)角，由于它們不獨立，確定桿件內(nèi)力時可以不需要它們的數(shù)值，故不作為基本未知量。這樣，確定結(jié)構(gòu)獨立的結(jié)點角位移數(shù)目時，只要數(shù)出剛結(jié)點的數(shù)目即可。例如圖8-3a所示剛架，其獨立的結(jié)點角位移數(shù)目為2。位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)§8.3用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，每一根桿件都可以看成是一根單跨超靜定梁，因此位移法的基本結(jié)構(gòu)就是把每一根桿件都暫時變成兩端固定的或一端固定一端鉸支的單跨超靜定梁。為此，可以在每個剛結(jié)點上假想的加上一個附加剛臂，以阻止剛結(jié)點的轉(zhuǎn)動（但不能阻止結(jié)點的移動），同時加上附加支座鏈桿以阻止結(jié)點的線位移。例如圖8-3a所示剛架，在兩剛結(jié)點1、3處分別加上剛臂，并在結(jié)點3處加上一根水平支座鏈桿，則原結(jié)構(gòu)的每根桿件就都成為兩端固定或一端固定一端鉸支的梁。原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)如圖8-3所示，它是單跨超靜定梁的組合體。又如圖8-4a所示剛架，其結(jié)點角位移數(shù)目為4（注意其中結(jié)點2也是剛結(jié)點，即桿件62與32在該處剛結(jié)），結(jié)點線位移數(shù)目為2，一共有6個基本未知量。加上4個剛臂和兩根支座鏈桿后，可得到基本結(jié)構(gòu)如圖8-4b位移法的基本未知量和基本結(jié)構(gòu)§8.3需要注意的是，上述確定獨立的結(jié)點線位移數(shù)目的方法，是以受彎直桿變形后兩端距離不變的假設(shè)為依據(jù)的。對于需要考慮軸向變形的桿件或?qū)τ谑軓澋那鷹U，則其兩端距離不能看作不變。因此，圖8-5a、b所示結(jié)構(gòu)，其獨立的結(jié)點線位移數(shù)目應(yīng)為2而不是1。位移法原理和基本方程§8.4位移法是以各結(jié)點的位移為基本未知量；根據(jù)相應(yīng)的結(jié)點力矩方程或截面平衡條件列出位移法方程并解出結(jié)點位移；最后按照有關(guān)表格和靜力平衡條件求得各桿端力。一般來說，建立位移法方程可以通過以下兩種不同的途徑。一種是將桿端力視作各影響因素單獨作用效果的疊加，由此借助平衡條件建立位移法方程，稱典型方程法；另一種是直接利用轉(zhuǎn)角位移方程，按結(jié)點和截面平衡條件建立位移法方程稱為轉(zhuǎn)角方程法。位移法原理和基本方程§8.48.4.1典型方程法先以圖8-6a所示連續(xù)梁（EI為常數(shù)）為例，來說明如何用典型方程法計算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4有側(cè)移剛架

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4例8-1

試用位移法求圖8-12a所示階梯形變截面梁的彎矩圖。E=常數(shù)。

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.4

位移法原理和基本方程§8.48.4.2轉(zhuǎn)角方程法用位移法計算超靜定剛架時，需加入附加剛臂和鏈桿以取得基本結(jié)構(gòu)，又由附加剛臂和鏈桿上的總反力或反力矩等于零（這相當(dāng)于又取消剛臂和鏈桿）的條件建立位移法的基本方程（即典型方程），而基本方程的實質(zhì)就是反映原結(jié)構(gòu)的平衡條件。因此，我們也可以不通過基本結(jié)構(gòu)，而直接借助于桿件的轉(zhuǎn)角方程來進(jìn)行計算，這種方法稱為轉(zhuǎn)角方程法。位移法原理和基本方程§8.4現(xiàn)仍以圖示剛架為例

小結(jié)位移法以節(jié)點位移作為基本未知量，根據(jù)靜力平衡條件求解基本未知量。計算時將整個結(jié)構(gòu)拆成單桿，分別計算各個桿件的桿端彎矩。桿件的桿端彎矩由固端彎矩和位移彎矩兩部分組成，固端彎矩和位移彎矩均可查表8.1和表8.2獲得，根據(jù)查表結(jié)果寫出含有基本未知量的轉(zhuǎn)角位移方程，接著根據(jù)靜力平衡條件求解基本未知量，將解得的基本未知量代