線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用

關(guān)于線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定

阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用對于阻尼未知的系統(tǒng)或阻尼特性未知的材料組成的單自由度系統(tǒng)，給定初始擾動(dòng)后測定其自由振動(dòng)的時(shí)間歷程，當(dāng)阻尼較小時(shí)，一般可等效為具有粘性阻尼的系統(tǒng)。圖3.6弱阻尼系統(tǒng)x-t

曲線

的極值發(fā)生位置1、對數(shù)衰減率第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定

出現(xiàn)一次極值，出現(xiàn)一次極大值。相鄰兩個(gè)極大值之比(衰減率)為

對數(shù)衰減率為

阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定當(dāng)阻尼較小時(shí)，取第一個(gè)和第n個(gè)極大值來計(jì)算對數(shù)衰減率阻尼較小時(shí)：

圖5.1ζ-δ曲線兩邊取對數(shù)阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定2、面積法

自由振動(dòng)衰減曲線的包絡(luò)線為

在t1時(shí)間中上包絡(luò)線與坐標(biāo)軸之間的面積A為：兩邊同除

0.0200.1040.2150.3340.4640.6060.7610.9341.260.990.950.900.850.800.750.700.650.601.3341.5941.8852.2322.6573.1973.7564.9655.2350.550.500.450.400.350.300.250.200.19

與無因次面積的關(guān)系

阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定計(jì)算步驟：

2)作上包絡(luò)線；

3)選作圖得到面積A，并計(jì)算；

4)查表5-1得；5)計(jì)算阻尼比：

1)測得自由振動(dòng)衰減曲線；當(dāng)t1為n倍準(zhǔn)周期時(shí)，就是對數(shù)衰減率。ARt1阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定固有頻率的確定

測量第一個(gè)和第n+1個(gè)極大值出現(xiàn)的時(shí)間間隔nτd

，例1

某系統(tǒng)自由振動(dòng)衰減曲線中相鄰的四個(gè)極大值分別為：x1=11.8mm,x2=10mm,x3=8.475mm,x4=7.182mm,t4-t1=0.6s。求系統(tǒng)的阻尼比和固有圓頻率。

解：(1)阻尼比：

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定面積法：n

=4

(2)固有圓頻率：

固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定1、共振法位移、速度、加速度響應(yīng)幅值達(dá)到最大值時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振。當(dāng)激勵(lì)頻率等ω于ωd或ωn時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振。當(dāng)響應(yīng)的相位角滯后激勵(lì)力的相位角時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振。在位移、速度和加速度響應(yīng)幅值保持不變而激勵(lì)力幅值最小時(shí)系統(tǒng)發(fā)生共振。圖5.2F-ω曲線固有頻率的確定共振的定義第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定

共振(ω=ωn)時(shí)

如果能測得ω=ωn時(shí)的X0，并已知此時(shí)激勵(lì)力幅值F0與彈簧剛度k，則阻尼比或損耗因子

Q因子

共振時(shí)系統(tǒng)最大動(dòng)能或位能與系統(tǒng)每循環(huán)耗散能量之比的倍稱為Q因子。共振時(shí)粘性阻尼每循環(huán)耗能：固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定共振時(shí)最大動(dòng)能與最大勢能相等

對粘性阻尼對結(jié)構(gòu)阻尼通過測試手段獲得每周期耗能及共振振幅固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定2、半功率帶寬法

當(dāng)激勵(lì)頻率變化時(shí)，可得到曲線

為曲線的最大值，曲線上的點(diǎn)1、2

半功率帶寬

幅頻響應(yīng)曲線半功率點(diǎn)與1、2點(diǎn)對應(yīng)的頻率為和，頻率差固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定1.對具有粘性阻尼的系統(tǒng)

由半功率點(diǎn)的定義

固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，可略去，，由冪級數(shù)展開公式()：5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.對結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)

由半功率點(diǎn)的定義或5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡

振動(dòng)微分方程

設(shè)廣義坐標(biāo)為機(jī)器的位移x，向上為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在機(jī)器靜平衡時(shí)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)中心o。

旋轉(zhuǎn)失衡力學(xué)模型轉(zhuǎn)子質(zhì)心位移為加速度為對結(jié)構(gòu)阻尼整理第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡

設(shè)解對結(jié)構(gòu)阻尼第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡幅頻和相頻響應(yīng)曲線討論：相位角同簡諧激勵(lì)下的響應(yīng)，而無量綱振幅隨無量綱頻率的變化如下表。粘性阻尼結(jié)構(gòu)阻尼旋轉(zhuǎn)失衡諧激勵(lì)最大值位置01

0

0

0

1

1

旋轉(zhuǎn)失衡

諧激勵(lì)第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡

例2

偏心激振器兩軸反向旋轉(zhuǎn)，每個(gè)偏心輪旋轉(zhuǎn)失衡為4.5kg-cm，用它測量結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。設(shè)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為160kg，激振器質(zhì)量為20kg。當(dāng)偏心輪轉(zhuǎn)速為900rpm，偏心質(zhì)量在正上方時(shí)，結(jié)構(gòu)向上通過靜平衡位置，振幅為2.5cm。

求1)整個(gè)系統(tǒng)的固有圓頻率；

2)結(jié)構(gòu)的固有圓頻率和阻尼比（或損耗因子）；

3)偏心輪轉(zhuǎn)速為1200rpm時(shí)結(jié)構(gòu)的振幅及結(jié)構(gòu)向上通過平衡位置時(shí)，偏心質(zhì)量與水平面的夾角。

偏心激振器模型第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡解：方程

M=20+160=180kg，me=4.5kg-cm穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

偏心質(zhì)量在正上方，即，結(jié)構(gòu)向上通過靜平衡位置，則有，，。

（系統(tǒng)），

粘性阻尼：第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡結(jié)構(gòu)阻尼：

2)

，，

粘性阻尼：

結(jié)構(gòu)阻尼：

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡3)當(dāng)轉(zhuǎn)速為1200rpm時(shí)：

粘性阻尼:

結(jié)構(gòu)阻尼：

粘性阻尼:第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉(zhuǎn)失衡結(jié)構(gòu)阻尼：

結(jié)構(gòu)通過平衡位置：粘性阻尼:

結(jié)構(gòu)阻尼:第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速質(zhì)心位移為：微分方程為：

直立單盤轉(zhuǎn)子

設(shè)特解為

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速，

設(shè)距離為

導(dǎo)前的相位角當(dāng)時(shí)，R接近最大值，把與旋轉(zhuǎn)軸橫向振動(dòng)固有圓頻率相當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)速稱為旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速

軸在不同轉(zhuǎn)速下的相位：

圓盤質(zhì)心G與幾何中心的相對位置軸以角速度繞過點(diǎn)的軸心線旋轉(zhuǎn)，而過點(diǎn)的軸心線又以角速度繞過點(diǎn)的支承點(diǎn)連線轉(zhuǎn)動(dòng)，方向相同，這稱為旋轉(zhuǎn)軸同步正回旋。在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，軸上的應(yīng)力不發(fā)生變化，這與不轉(zhuǎn)的軸系在簡諧激勵(lì)下的共振有本質(zhì)的區(qū)別（軸應(yīng)力交變）。在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)軸心偏離平衡位置的距離達(dá)到最大值，也稱為共振。阻尼又較小時(shí)，接近，因此與重合，稱為自動(dòng)定心。

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速例3

某試驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子質(zhì)量M為100kg，軸直徑=100mm

，彈性模量E

=2.1×1011N/m2，密度。求轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速。(實(shí)質(zhì)是求轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)的固有圓頻率，然后轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)速。)解：(1)求等效系統(tǒng)：

1)用定義求ke：在軸中央加一個(gè)力F

，位移為x，單盤轉(zhuǎn)子

2)：

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速設(shè)軸振動(dòng)時(shí)振型與靜撓度曲線相同，處的位移為，軸作彎曲振動(dòng)時(shí)沿軸上各點(diǎn)的位移可用表示：系統(tǒng)等效前后的動(dòng)能分別為：第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉(zhuǎn)軸的臨界轉(zhuǎn)速(2)軸系橫向振動(dòng)的固有圓頻率：(3)臨界轉(zhuǎn)速：

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

隔振：在振源和機(jī)器或結(jié)構(gòu)等物體之間用彈性或阻尼裝置連接，以減小振源對其它物體的影響。主動(dòng)隔振：減小振動(dòng)系統(tǒng)對外界的影響。被動(dòng)隔振：減小外界振源對設(shè)備的影響。力傳遞率(主動(dòng)隔振)設(shè)機(jī)器的位移x為廣義坐標(biāo)，向下為正，靜平衡時(shí)位移為零。方程為：

通過彈簧和阻尼器傳遞的力

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

通過彈簧與阻尼器傳給地面的動(dòng)態(tài)力幅為彈簧力和阻尼力的矢量和。定義：力傳遞率S

對粘性阻尼：

傳遞率隨無量綱頻率的變化第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

對結(jié)構(gòu)阻尼：

當(dāng)阻尼可忽略時(shí)：討論：

結(jié)論：

1)當(dāng)時(shí)，，無隔振效果，振動(dòng)可能放大；2)當(dāng)時(shí)，，有隔振效果；3)，，即當(dāng)時(shí)，同樣的頻率比，系統(tǒng)的阻尼比越小隔振效果越好。

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理例4

轉(zhuǎn)速為3000rpm、旋轉(zhuǎn)失衡為0.1kg-m、質(zhì)量為68kg的電機(jī)，安裝在1200kg的隔振機(jī)座上。系統(tǒng)的固有頻率為26.67Hz，阻尼比為ζ＝0.1。求：1)隔振機(jī)座的振幅；

2)通過隔振機(jī)座傳遞到地面的力幅。解：

機(jī)座的振幅為：

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理討論：

思考：若系統(tǒng)阻尼增加，如何變化？

，，，。

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

位移傳遞率(被動(dòng)隔振)基礎(chǔ)激勵(lì)

設(shè)底座位移為y，質(zhì)量為m的設(shè)備位移為廣義坐標(biāo)x。底座不動(dòng)，系統(tǒng)靜平衡時(shí)設(shè)備的位置為廣義坐標(biāo)的原點(diǎn)，方向如圖.

粘性阻尼:振動(dòng)微分方程為：結(jié)構(gòu)阻尼:

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理設(shè)底座位移為，系統(tǒng)質(zhì)量的位移為粘性阻尼結(jié)構(gòu)阻尼粘性阻尼第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

結(jié)構(gòu)阻尼定義：位移傳遞率S粘性阻尼第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理結(jié)構(gòu)阻尼定義：隔振效率

隔振模型例5

精密儀器-橡膠隔振系統(tǒng)中，，，地面簡諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，，

=0.1256mm/s。求：精密儀器位移的最大值和隔振效率。第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理解：隔振效率第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

測振儀測振儀利用了基礎(chǔ)激勵(lì)下相對運(yùn)動(dòng)與原運(yùn)動(dòng)的關(guān)系系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為：

設(shè)，則相對位移，

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理1、位移測量：

時(shí)，，2、速度測量：利用電路輸出電壓：3、加速度測量：第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動(dòng)力吸振器無阻尼動(dòng)力吸振器無阻尼動(dòng)力吸振器穩(wěn)態(tài)響應(yīng)第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動(dòng)力吸振器當(dāng)

時(shí)，，

第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

5.5動(dòng)力吸振器這時(shí)傳給的力為

作用于上的激勵(lì)力與由彈簧傳給的力恰好抵消，因而。設(shè)第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動(dòng)力吸振器設(shè)：，，令可得到，（二自由度的固有頻率）。第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動(dòng)力吸振器無量綱響應(yīng)隨無量綱頻率變化的曲線曲線μ1-η和曲線μ2-η當(dāng)η=1，即ω=ω1=ω2時(shí)才能使μ1=0，從而X2=0。當(dāng)η稍偏離1.0，|X1|就很快增，因而當(dāng)動(dòng)力吸振器設(shè)計(jì)好后，只要激勵(lì)頻率略有偏離，原系統(tǒng)的響應(yīng)就會(huì)增加。因此，只有當(dāng)單自由度系統(tǒng)受單一頻率激勵(lì)力作用時(shí)，才能設(shè)計(jì)一個(gè)無阻尼動(dòng)力吸振器來抑制系統(tǒng)的響應(yīng)。第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動(dòng)力吸振器阻尼動(dòng)力吸振器η、υ、μ和同(5-35)設(shè)阻尼動(dòng)力吸振器第5章線性離散系統(tǒng)振動(dòng)理論的應(yīng)用第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動(dòng)力吸振器阻尼動(dòng)力吸振器主系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線設(shè)式(5-39)

中的參數(shù)=1.0，=0.05，分別取為0.32、0.1和0，曲線從圖中看，盡管取不同的阻尼比時(shí)不同，但這些曲線