第六講 圖像復(fù)原

圖像復(fù)原第六講圖像復(fù)原6.1概述6.2圖像退化數(shù)學(xué)模型6.3無約束圖像復(fù)原6.4有約束圖像復(fù)原6.5幾何失真校正圖像復(fù)原6.1

概述

在各類圖像系統(tǒng)中，圖像的傳送和轉(zhuǎn)換，如成像、復(fù)制、掃描、傳輸及顯示等，總要造成圖像質(zhì)量降低。圖像退化：圖像質(zhì)量的變壞。圖像復(fù)原：將圖像退化的過程模型化，并且采用相反的過程來恢復(fù)出原始的圖像。圖像復(fù)原

圖像復(fù)原技術(shù)的分類：

在給定退化模型條件下，可以分為有約束和無約束；根據(jù)所在的域，分為頻域和空間域。

本講首先介紹圖像退化模型，然后是幾種復(fù)原方法，如反向?yàn)V波圖像復(fù)原、維納濾波圖像復(fù)原、幾何校正等。圖像復(fù)原6.2

圖像退化數(shù)學(xué)模型6.2.1圖像退化模型

圖像復(fù)原的關(guān)鍵技術(shù)之一就是建立一個(gè)能夠反映圖像退化原因的圖像退化模型。復(fù)雜的退化環(huán)境具有非線性、時(shí)變和空間變化的系統(tǒng)模型，但處理復(fù)雜。

采用線性空間不變模型近似。圖像復(fù)原圖6－1圖像退化模型f(x,y)為原始圖像，g(x,y)為退化圖像。n(x,y)為噪聲，在實(shí)際應(yīng)用中假設(shè)噪聲是白噪聲，即它的頻譜密度為常數(shù)，并且與圖像不相關(guān)。

H為退化系統(tǒng)（或退化算子)。圖像復(fù)原輸入和輸出滿足下面關(guān)系：退化系統(tǒng)為具有線性和空間不變性。圖像復(fù)原6.2.2常見圖像退化模型一、連續(xù)函數(shù)退化模型由函數(shù)的性質(zhì)：二維卷積定義：圖像復(fù)原H為一線性算子，所以h(x,y)為單位沖激響應(yīng)函數(shù)。H為線性空間不變系統(tǒng)，對任意輸入信號(hào)的響應(yīng)為：圖像復(fù)原不考慮噪聲的情況下，退化模型的響應(yīng)為：有噪聲的情況下，退化模型的響應(yīng)為：有位移的情況下，退化模型的響應(yīng)為：圖像復(fù)原頻域中：其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分別是退化圖像g(x,y)、原圖像f(x,y)、噪聲信號(hào)n(x,y)的傅立葉變換；H(u,v)是系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y)的傅立葉變換，稱為系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)。圖像復(fù)原二、離散函數(shù)退化模型1、一維情況：

設(shè)f(x)為具有A個(gè)采樣值的離散輸入函數(shù)，h(x)為具有B個(gè)采樣值的退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)，則經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)g(x)為輸入f(x)和沖激響應(yīng)h(x)的卷積，即

g(x)=f(x)*h(x)

圖像復(fù)原

為了避免上述卷積所產(chǎn)生的各個(gè)周期重疊（設(shè)每個(gè)采樣函數(shù)的周期為M），分別對f(x)和h(x)用添零延伸的方法擴(kuò)展成周期M=A+B-1的周期函數(shù)，即

圖像復(fù)原因?yàn)閒e(x)和he(x)的周期為M,所以ge(x)的周期也是M。可以用矩陣表示：圖像復(fù)原圖像復(fù)原根據(jù)he(x)＝he(x＋M),所以H的表達(dá)式可以改寫為：H是循環(huán)矩陣，即每行最后一項(xiàng)等于下一行的最前一項(xiàng)，最后一行的最后一項(xiàng)等于第一行最前一項(xiàng)。循環(huán)矩陣相加或相乘得到的還是循環(huán)矩陣。圖像復(fù)原2、二維情況：設(shè)輸入的數(shù)字圖像f(x,y)大小為A×B，退化函數(shù)h(x,y)被均勻采樣為C×D大小。為避免交疊誤差，仍用添零擴(kuò)展的方法，將它們擴(kuò)展成M=A+C-1和N=B+D-1個(gè)元素的周期函數(shù)。圖像復(fù)原所以降質(zhì)圖像為：考慮噪聲的情況:圖像復(fù)原用矩陣表示：其中H矩陣中的每個(gè)Hi是由函數(shù)he(x,y)的第i行而來，即：圖像復(fù)原

Hi(i=0,1,2,…,M-1)為子矩陣，大小為N×N，即H矩陣由M×M個(gè)大小為N×N的子矩陣組成，稱為分塊循環(huán)矩陣。圖像復(fù)原

上述線性空間不變退化模型表明，在給定了g(x,y)，并且知道退化函數(shù)h(x,y)和噪聲分布n(x,y)的情況下，可估計(jì)出原始圖像f(x,y)。假設(shè)圖像大小M=N=512，相應(yīng)矩陣MH的大小為MN×MN=262144×262144，這意味著要解出f(x,y)需要解262144個(gè)聯(lián)立方程組，其計(jì)算量十分驚人。

圖像復(fù)原6.3

無約束圖像復(fù)原

反向?yàn)V波圖像復(fù)原是最簡單的復(fù)原代數(shù)方法，它采用了無約束條件的最小二乘方復(fù)原。6.3.1代數(shù)復(fù)原方法若圖像的降質(zhì)模型為：在不了解n的情況下，希望找到一個(gè)f的估計(jì)，使得Hf在最小二乘方意義上近似g，即最小。用線性代數(shù)中的理論解決圖像復(fù)原問題圖像復(fù)原由范數(shù)定義知：求最小等效于求最小，為此，令：圖像復(fù)原求最小，即求的極小值，此處不受任何其他條件的約束，因此稱為無約束復(fù)原。求極小值：令M＝N，且H可逆:圖像復(fù)原6.3.2反向?yàn)V波原理(逆濾波)二維降質(zhì)模型為：反向?yàn)V波過程為：（頻域）圖像復(fù)原有噪聲的情況為：圖像復(fù)原圖6－2圖像退化和復(fù)原模型考慮零點(diǎn)和噪聲的反向?yàn)V波處理框圖如圖6－3所示：圖6－3實(shí)際反向?yàn)V波處理框圖圖像復(fù)原

從逆濾波的表達(dá)式中可以知道，若H(u,v)中存在零點(diǎn)時(shí)逆濾波在這些點(diǎn)處是無法進(jìn)行的。方法1：在零點(diǎn)處及其附近，人為設(shè)置反向?yàn)V波器的傳遞函數(shù)的值，設(shè)此時(shí)的傳函為M(u,v)：6.3.3零點(diǎn)和噪聲的影響圖像復(fù)原圖6-4反向?yàn)V波器零點(diǎn)的影響及其改進(jìn)(a)退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；(b)逆濾波器傳遞函數(shù)；(c)改進(jìn)的逆濾波器傳遞函數(shù)圖像復(fù)原方法2：一般情況下H(u,v)的值在離開原點(diǎn)時(shí)迅速衰減，而噪聲的頻譜接近常數(shù)，導(dǎo)致在離開原點(diǎn)時(shí)噪聲的影響迅速增大。為此只需復(fù)原u,v平面上信噪比高的區(qū)域，因此令反向?yàn)V波器的傳函為：圖像復(fù)原6.3.4運(yùn)動(dòng)圖像模糊復(fù)原根據(jù)前面推導(dǎo)得到的退化傳遞函數(shù)，利用反向?yàn)V波法消除運(yùn)動(dòng)模糊的過程如下：1、求模糊圖像的傅立葉變換G(u,v);2、確定退化傳遞函數(shù)H(u,v);3、計(jì)算復(fù)原圖像的傅立葉變換F(u,v);4、對F(u,v)進(jìn)行傅立葉逆變換，得到復(fù)原圖像。圖像復(fù)原由運(yùn)動(dòng)模糊引起的降質(zhì)圖像的恢復(fù)a為原圖，b為降質(zhì)圖，c為恢復(fù)圖

處理的核心是尋找到合適的H，即建立降質(zhì)模型。abc圖像復(fù)原6.3.5無約束復(fù)原的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：使準(zhǔn)則函數(shù)最小外，沒有其他的約束條件，因此只需了解降質(zhì)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就能復(fù)原。缺點(diǎn)：由于傳遞函數(shù)存在病態(tài)問題，復(fù)原只能局限在靠近原點(diǎn)的有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行。圖像復(fù)原6.4

有約束圖像復(fù)原有約束復(fù)原是指除了要了解退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之外，還需要知道某些噪聲的統(tǒng)計(jì)特性或噪聲與圖像的某些相關(guān)情況。根據(jù)所了解的噪聲的先驗(yàn)知識(shí)的不同，采用不同的約束條件，可得到不同的圖像復(fù)原技術(shù)。最典型方法就是維納濾波復(fù)原。

圖像復(fù)原6.4.1代數(shù)復(fù)原方法

在最小二乘方處理中，為了數(shù)學(xué)上更容易處理，常常加入某種約束條件，例如，可以令Q為f的線性算子，則最小二乘方復(fù)原問題可看成是使形式為的函數(shù)，服從約束條件的最小化問題。具有附加條件的極值問題可用拉格朗日乘數(shù)法來處理，具體的處理方法如下：圖像復(fù)原尋求一個(gè)f，使下述準(zhǔn)則函數(shù)為最?。?/p>

λ為常數(shù)，是拉格朗日系數(shù)求上式的極小值，求導(dǎo)，并使結(jié)果為0，則有：圖像復(fù)原求解有：圖像復(fù)原求解上式關(guān)鍵就是如何選用一個(gè)合適的變換矩陣Q。選擇的Q的形式不同，就可得到不同類型的有約束的最小二乘類圖像復(fù)原方法。如果用圖像f和噪聲的相關(guān)矩陣Rf和Rn表示Q，就可以得到維納濾波復(fù)原方法。圖像復(fù)原6.4.2維納濾波原理維納濾波是尋找一個(gè)濾波器，使得復(fù)原后圖像與原始圖像的均方誤差最小，即：E[·]為數(shù)學(xué)期望算子。因此，維納濾波器通常又稱為最小均方誤差濾波器。圖像復(fù)原令Rf和Rn分別是f和n的相關(guān)矩陣，即：將上式代入到代數(shù)復(fù)原方法中得到的復(fù)原函數(shù)的表達(dá)式中，則維納濾波器的復(fù)原函數(shù)表達(dá)式為：圖像復(fù)原

Rf和Rn是實(shí)對稱矩陣，可近似為分塊循環(huán)矩陣。因而用循環(huán)矩陣的對角化，可寫成式中，A和B的元素分別為Rf和Rn中的自相關(guān)元素的傅立葉變換。這些自相關(guān)的傅立葉變換被分別定義為fe(x,y)和ne(x,y)的譜密度Pf(u,v)和Pn(u,v)。W為一個(gè)MN×MN矩陣，包含M×M個(gè)N×N的塊。M、N的含義見二維離散模型部分。圖像復(fù)原W的第i,m個(gè)分塊為

i,m=0,1,…,M-1其中，WN為一個(gè)N×N矩陣，其第k,n個(gè)位置的元素為：

k,n=0,1,…,N-1圖像復(fù)原D*為D的共軛矩陣再進(jìn)行矩陣變換得：

將上式帶入到(6-1)中有：假設(shè)M=N，則頻域表達(dá)式為：

圖像復(fù)原圖像復(fù)原顯然，維納濾波器的傳遞函數(shù)為：分析：

(1)如果s=1，稱之為維納濾波器，若s為變數(shù)，此式為參變維納濾波器。圖像復(fù)原(2)當(dāng)無噪聲影響時(shí)，Pn(u,v)=0，稱之為理想的反向?yàn)V波器。逆濾波器可看成是維納濾波器的一種特殊情況。

(3)如果不知道噪聲的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，也就是Pf(u,v)和Pn(u,v)未知時(shí)，濾波傳函可以用下式近似：式中，K表示噪聲對信號(hào)的頻譜密度之比。

圖像復(fù)原6.5幾何失真校正6.5.1概述幾何失真：圖像在成像過程中，由于成像系統(tǒng)本身具有非線性等原因，導(dǎo)致生成的圖像比例失調(diào)或者扭曲，這類圖像退化稱為幾何失真或幾何畸變。典型的幾何失真如圖6-5所示:圖像復(fù)原圖6-5幾種典型的幾何失真(a)原圖像；(b)梯形失真；(c)枕形失真；(d)桶形失真

圖像復(fù)原幾何校正：通過幾何變換來校正失真圖像中的各像素位置，以重新得到像素間原來的空間關(guān)系，包括原來的灰度值關(guān)系，這類校正方法稱為幾何校正。圖像幾何失真校正的步驟：1、空間變換：對圖像平面上的像素進(jìn)行重新排列以恢復(fù)原空間關(guān)系；2、灰度插值：對空間變換后的像素賦予相應(yīng)的灰度值以恢復(fù)原位置的灰度值。圖像復(fù)原6.5.2空間變換設(shè)原圖像為f(x,y)，校正后的圖像也用f(x,y)表示，畸變后的圖像為g(x’,y’)，畸變前后圖像所在兩個(gè)坐標(biāo)系間的關(guān)系：一、兩坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系h1和h2已知直接通過反變換來恢復(fù)圖像。圖像復(fù)原二、兩坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系h1和h2未知采用連點(diǎn)法，即找一些連接點(diǎn)，它們在輸入（失真）圖像和輸出（校正）圖像中位置是準(zhǔn)確已知的，然后利用連接點(diǎn)建立失真圖像與校正圖像間其他像素空間位置的對應(yīng)關(guān)系。典型的就是三角形區(qū)域，兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)就是相應(yīng)的連接點(diǎn)。幾何變形通過雙線性方程來表示：圖像復(fù)原確定失真圖像中三角形三個(gè)頂點(diǎn)再找出其對應(yīng)的三個(gè)真實(shí)點(diǎn)

解方程組，得到a,b,c,d,e,f六個(gè)系數(shù)，再按坐標(biāo)關(guān)系已知的校正方法，進(jìn)行校正。圖像復(fù)原6.5.3灰度插值失真圖像g(x’,y’)是數(shù)字圖像，其坐標(biāo)為整數(shù)，像素值僅在整數(shù)處有意義。而由上面公式計(jì)算出來的校正坐標(biāo)(x,y)值可能不是整數(shù)，此時(shí)，非整數(shù)處的像素值就要用其周圍一些整數(shù)坐標(biāo)處的像素值來判斷，用于完成該項(xiàng)任務(wù)的技術(shù)稱為灰度插值。圖像復(fù)原一、最近鄰插值（零階插值）如果校正坐標(biāo)(x,y)是非整數(shù)坐標(biāo)，則取與像素點(diǎn)相鄰的4個(gè)點(diǎn)中距離最近的鄰點(diǎn)灰度值作為該點(diǎn)的灰度值，如圖6-6所示。顯然，最近鄰點(diǎn)法計(jì)算簡單，但精度不高，同時(shí)校正后的圖像亮度有明顯的不連續(xù)性。圖像復(fù)原圖6-6最近鄰插值

圖像復(fù)原二、雙線性插值用(x,y