第三章平均指數(shù)與變異指數(shù)

第三章平均指標(biāo)和變異指標(biāo)本章將討論的是數(shù)據(jù)的總量和相對關(guān)系的測度，數(shù)據(jù)的集中趨勢、離散趨勢及其形態(tài)的測度。

總量指標(biāo)和相對指標(biāo)集中趨勢的測定---平均指標(biāo)離散趨勢的測定----離散指標(biāo)數(shù)據(jù)的形態(tài)測定----偏度和峰度主要內(nèi)容一、總量指標(biāo)（一）總量指標(biāo)總量指標(biāo)（亦稱絕對數(shù)）是統(tǒng)計(jì)資料經(jīng)過匯總整理后得到的反映總體規(guī)模和水平的總和指標(biāo)。

（3）是計(jì)算相對指標(biāo)和平均指標(biāo)的基礎(chǔ)。作用概念例如，企業(yè)的銷售收入、一個地區(qū)或國家的社會總產(chǎn)值、國內(nèi)生產(chǎn)總值等。

（1）反映一個國家的國情和國力，一個地區(qū)或一個企業(yè)的人力、物力、財(cái)力

（2）是進(jìn)行經(jīng)濟(jì)核算和經(jīng)濟(jì)活動分析的基礎(chǔ)

（二）總量指標(biāo)的計(jì)量單位

１、實(shí)物單位自然單位度量衡單位簡單單位雙重單位復(fù)合單位2、貨幣單位3、勞動單位（工時、工日）（三）總量指標(biāo)的種類按其所反映的內(nèi)容不同１、總體單位總量指標(biāo)：反映總體中單位數(shù)多少的。２、總體標(biāo)志總量指標(biāo)：是反映總體中某種數(shù)量標(biāo)志值總和的。按其所反映的時間狀況不同１、時期指標(biāo)：反映現(xiàn)象在某一段時期內(nèi)的總量。２、時點(diǎn)指標(biāo)：反映現(xiàn)象在某一時刻上的總量。按計(jì)量單位的不同１、實(shí)物量指標(biāo)２、價(jià)值量指標(biāo)３、勞動量指標(biāo)

相對指標(biāo)是用兩個有聯(lián)系的指標(biāo)進(jìn)行對比的比值，可以反映現(xiàn)象的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系，并可將現(xiàn)象的絕對差異抽象化，使原來不能直接相比的絕對數(shù)可以進(jìn)行比較。

相對指標(biāo)的表現(xiàn)形式（一）名數(shù)（二）無名數(shù)1、系數(shù)和倍數(shù)2、成數(shù)3、百分?jǐn)?shù)4、千分?jǐn)?shù)二、相對指標(biāo)概念三、相對指標(biāo)的種類及計(jì)算（結(jié)構(gòu)、比例）

如:如:(一)(二)返回(五)強(qiáng)度相對指標(biāo)1、基本公式

2、作用（1）反映現(xiàn)象的強(qiáng)弱程度

如：（2）反映現(xiàn)象的密度

如：

（3）反映現(xiàn)象的經(jīng)濟(jì)效益如：

返回（六）計(jì)劃完成相對指標(biāo)1、基本公式

2、短期計(jì)劃的檢查（1）計(jì)劃任務(wù)數(shù)為絕對數(shù)

某企業(yè)計(jì)劃規(guī)定本年度銷售收入達(dá)到1000萬元，實(shí)際為950萬元，計(jì)劃完成相對指標(biāo)為

（2）計(jì)劃任務(wù)數(shù)為平均數(shù)

某企業(yè)計(jì)劃某種產(chǎn)品單位成本為50元，實(shí)際為45元，計(jì)劃完成相對指標(biāo)為（3）計(jì)劃數(shù)為相對數(shù)

某企業(yè)計(jì)劃勞動生產(chǎn)率今年比去年提高10%，實(shí)際提高了15%。計(jì)劃完成相對指標(biāo)為（正指標(biāo)）某企業(yè)計(jì)劃某種產(chǎn)品成本今年比去年降低5%，實(shí)際降低了6%。計(jì)劃完成相對指標(biāo)為（逆指標(biāo)）五種相對數(shù)指標(biāo)的比較不同時期比較動態(tài)相對數(shù)注：又稱發(fā)展速度

強(qiáng)度相對數(shù)注：復(fù)名數(shù)有正逆指標(biāo)不同現(xiàn)象比較不同總體比較或者同一總體的兩個不同部分比較相對數(shù)同一總體中部分與總體比較實(shí)際與計(jì)劃比較結(jié)構(gòu)相對數(shù)計(jì)劃完成相對數(shù)注：有正逆指標(biāo)同一時期比較同類現(xiàn)象比較（1）正確選擇對比的基數(shù)；（2）必須注意統(tǒng)計(jì)的可比性；（3）相對指標(biāo)要與總量指標(biāo)相結(jié)合。應(yīng)用原則數(shù)據(jù)分布的特征集中趨勢(位置)離中趨勢

(分散程度)偏態(tài)和峰度（形狀）二、分布的集中趨勢主要內(nèi)容定類數(shù)據(jù)：眾數(shù)定序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)定距和定比數(shù)據(jù)：數(shù)值平均數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的比較（一）眾數(shù)

1.定義：出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。是集中趨勢的測度值之一，不受極端值的影響。適用：主要用于定類數(shù)據(jù)，也可用于定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)注意：有些數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268

原始數(shù)據(jù):6

5

9855

原始數(shù)據(jù):252828

364242(眾數(shù)的不唯一性)無眾數(shù)一個眾數(shù)多于一個眾數(shù)定類數(shù)據(jù)的眾數(shù)

表3-1某城市居民關(guān)注廣告類型的頻數(shù)分布

廣告類型人數(shù)(人)比例頻率(%)

商品廣告服務(wù)廣告金融廣告房地產(chǎn)廣告招生招聘廣告其他廣告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合計(jì)2001100【例】根據(jù)表3-1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的變量為“廣告類型”，這是個定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調(diào)查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即Mo＝商品廣告定序數(shù)據(jù)的眾數(shù)

【例】根據(jù)表3-2中的數(shù)據(jù)，計(jì)算眾數(shù)解：這里的數(shù)據(jù)為定序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”。甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即

Mo＝不滿意表3-2甲城市家庭對住房狀況評價(jià)的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)百分比(%)

非常不滿意

不滿意

一般

滿意

非常滿意24108934530836311510合計(jì)300100.0數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

1.眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關(guān)該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)均勻分布2.相鄰兩組的頻數(shù)相等時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)Mo3.相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用下列近似公式計(jì)算MoMo數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的眾數(shù)

表1某車間50名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）累積頻數(shù)105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140358141064381630404650合計(jì)50—【例】根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算50名工人日加工零件數(shù)的眾數(shù)（二）中位數(shù)

1.定義：排序后處于中間位置上的值，集中趨勢的測度值之一。不受極端值的影響Me50%50%適用：主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)2.中位數(shù)計(jì)算

(位置的確定)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：2∑f=中位數(shù)位置中位數(shù)位置=N+12未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(計(jì)算公式)例子見書42頁數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(5個數(shù)據(jù)的算例)中位數(shù)22原始數(shù)據(jù):

2422212620排序: 2021222426位置: 123

4

5數(shù)值型未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(6個數(shù)據(jù)的算例)原始數(shù)據(jù):105 91268排序:56891012位置: 123

4

56位置N+126+123.5中位數(shù)8+928.5根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組采用下列近似公式計(jì)算：該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布例子見書43頁數(shù)值型分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

(要點(diǎn)及計(jì)算公式)ifS∑fLMmme′-+=-12&（三）集中趨勢的測定—平均數(shù)概念表明同類現(xiàn)象在一定時間、地點(diǎn)、條件下所達(dá)到的一般水平，是總體內(nèi)某個變量大小各異的觀察值的代表性數(shù)值。也是對變量分布集中趨勢的測定。數(shù)據(jù)集中區(qū)變量x一、算術(shù)平均數(shù)（）（一）簡單算術(shù)平均數(shù)（二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

1、根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算的

2、根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算的

3、用比重權(quán)數(shù)計(jì)算的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

4、根據(jù)相對數(shù)（平均數(shù)）計(jì)算的加權(quán)

5、是非標(biāo)志的平均數(shù)（三）的數(shù)學(xué)性質(zhì)（四）的應(yīng)用條件

返回（一）簡單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式:

應(yīng)用條件：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。舉例：5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績分別為：75、91、64、53、82。則平均成績?yōu)椋?/p>

返回

(二）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

1、根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列計(jì)算的計(jì)算公式：應(yīng)用條件：單項(xiàng)式分組，各組次數(shù)不同。權(quán)數(shù)解釋權(quán)數(shù)（Weighted），是分布數(shù)列中的頻數(shù)或頻率。對求平均數(shù)具有權(quán)衡輕重的作用，是影響平均數(shù)變動的兩個因素之一（另一因素是變量值）。(1)(2)(3)X456合計(jì)頻數(shù)頻率(%)10201025.050.025.040100.0X456合計(jì)頻數(shù)頻率(%)20402025.050.025.080100.0X456合計(jì)頻數(shù)頻率(%)20101050.025.025.080100.0=5=5=4.75頻率分布變了，均值也變。因此，嚴(yán)格地說，權(quán)數(shù)應(yīng)指頻率。舉例某車間20名工人加工某種零件資料：

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f日產(chǎn)總量xf14228154601681281758518118合計(jì)20319返回2、根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算的應(yīng)用條件：組距式分組，各組次數(shù)不同。舉例：某車間200名工人日產(chǎn)量資料：按日產(chǎn)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值x日產(chǎn)總量xf20—30102525030—407035245040—509045415050—6030551650合計(jì)200—8400返回3、由比重權(quán)數(shù)計(jì)算的應(yīng)用條件：已知的是比重權(quán)數(shù)（次數(shù)是比重）公式：舉例：（仍用上例）按日產(chǎn)量分組（公斤）人數(shù)比重（%）組中值x20—3052530—40353540—50454550—601555返回4、根據(jù)相對數(shù)（平均數(shù)）計(jì)算的加權(quán)

（1）根據(jù)相對數(shù)計(jì)算的某局所屬的三個企業(yè)的資料：

企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成%x計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）f實(shí)際產(chǎn)值（萬元）xf甲95300285乙105900945丙115300345合計(jì)—15001575（2）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算的某企業(yè)各班組工人勞動生產(chǎn)率資料:

班組平均勞動生產(chǎn)率x實(shí)際工時f產(chǎn)品產(chǎn)量(件)xf一101001000二122002400三153004500四203006000五302006000合計(jì)—110019900返回5、是非標(biāo)志的平均數(shù)是非標(biāo)志:如果按照某種標(biāo)志把總體只能分為具有某種特征的單位和不具有該種特征的單位兩部分，這個標(biāo)志就是是非標(biāo)志。平均數(shù)的計(jì)算：把具有某種特征的用“1”表示，不具有該種特征的用“0”表示。

是非標(biāo)志x單位數(shù)f比重

1

0

合計(jì)N1返回（三）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)1、各個變量值與其平均數(shù)離差之和等于零2、各個變量值與其平均數(shù)離差平方之和為最小值性質(zhì)(3、4）3、給每個變量值增加或減少一個任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)增增加或減少這個任意數(shù)A。4、給每個變量值乘以或除以一個任意數(shù)A，則算術(shù)平均數(shù)也相應(yīng)擴(kuò)大或縮小A倍。返回（四）算術(shù)平均數(shù)的適用范圍1、當(dāng)變量值是絕對數(shù)時，變量值之間是和的關(guān)系，而且已知的是分母資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用算術(shù)平均數(shù)。2、當(dāng)變量值是相對數(shù)或平均數(shù)時，變量值之間既不存在和的關(guān)系，也不存在相乘的關(guān)系，而且已知的是分母資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用算術(shù)平均數(shù)。

返回二、調(diào)和平均數(shù)（H）(一)簡單調(diào)和平均數(shù)計(jì)算公式:應(yīng)用條件：資料未分組，各個變量值次數(shù)都是1。舉例:一個人步行兩里，走第一里時速度為每小時候10里，走第二里時為每小時20里，則平均速度為：（二）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算公式：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。例1：速度x行走里程m所需時間201

152103

合計(jì)6（三）調(diào)和平均數(shù)的適用范圍1、當(dāng)變量值是絕對數(shù)時，變量值之間是和的關(guān)系，而且已知的是分子資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用調(diào)和平均數(shù)。2、當(dāng)變量值是相對數(shù)或平均數(shù)時，變量值之間既不存在和的關(guān)系，也不存在相乘的關(guān)系，而且已知的是分子資料，在這種情況下，反映現(xiàn)象的平均水平用調(diào)和平均數(shù)。三、幾何平均數(shù)（G）（一）簡單幾何平均數(shù)計(jì)算公式：應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是1）。舉例：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個連續(xù)作業(yè)車間才能完成。車間投入量產(chǎn)出量合格率%x一100080080二80072090三72050470（二）加權(quán)幾何平均數(shù)計(jì)算公式：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。舉例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計(jì)息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計(jì)算平均年利率設(shè)本金為年份累計(jì)存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%本利率x年數(shù)f105%2108%3110%3112%2合計(jì)10平均年利率=8.77%(三)幾何平均數(shù)的適用范圍當(dāng)變量值是相對數(shù)，而且變量值之間存在連乘關(guān)系，反映現(xiàn)象的一般水平用幾何平均數(shù)。

返回常用的幾種平均數(shù)概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：靈敏度高②受極值影響小于和③適宜于各比率之積為總比率的變量求平均缺點(diǎn):①有“0”或負(fù)值時不能計(jì)算②偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列只能用正根2.幾何平均數(shù)（）幾個變量值連乘積的n次根簡單：加權(quán)：概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 3.中位數(shù)（Me）是一種位置平均數(shù),數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于數(shù)據(jù)序列中間位置的數(shù)值就是中位數(shù)

上限公式：下限公式：優(yōu)點(diǎn)：①容易理解，②不受極值影響③適宜于開口組資料和些不能用數(shù)字測定的事物缺點(diǎn)：①靈敏度和計(jì)算功能差②間斷數(shù)Me常用的幾種平均數(shù)常用的幾種平均數(shù)概念 計(jì)算公式 特點(diǎn) 4.眾數(shù)（Mo）是一種位置平均數(shù)，是一批數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)值.通常只用于定性數(shù)據(jù)或離散型的定量數(shù)據(jù)。 上限公式：下限公式：優(yōu)點(diǎn)：①容易理解，②不受極值影響缺點(diǎn)：①靈敏度和計(jì)算功能差②穩(wěn)定性差③具有不唯一性位置平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系1.眾數(shù)適用于所有的定性數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)

中位數(shù)適用于定性數(shù)據(jù)中的定序數(shù)據(jù)和定量數(shù)據(jù)

算術(shù)平均數(shù)只適用于定量數(shù)據(jù)2.定量數(shù)據(jù):若是鐘形分布，三種集中趨勢指標(biāo)一般都可適用。而對J形分布，反J形分布和U形分布，中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)沒有任何意義。3.在確定集中趨勢指標(biāo)的過程中，算術(shù)平均數(shù)比中位數(shù)和眾數(shù)使用了更多的數(shù)據(jù)信息。4.對于鐘形分布且數(shù)據(jù)量很大時，三種集中趨勢指標(biāo)有如下三種數(shù)量關(guān)系：

XfXfXf(對稱分布)正偏態(tài)分布（右）負(fù)偏態(tài)分布(左）1212※應(yīng)用平均指標(biāo)的原則：1．必須是同質(zhì)的量方可平均；2．總平均數(shù)與組平均數(shù)結(jié)合分析；3．集中趨勢與離散趨勢結(jié)合分析三、離散趨勢的測定概念標(biāo)志變異指標(biāo)是反映變量分布離散趨勢、與平均指標(biāo)相匹配的指標(biāo)。

（1）反映變量分布的離散趨勢；

（3）是對事物發(fā)展均衡性的量度。

（2）是對平均數(shù)的代表性程度的量度；作用常用的幾種標(biāo)志變異指標(biāo)概念 計(jì)算方法 特點(diǎn) 是非眾數(shù)組所占比重

1．異眾比率

如百得便利超市公司50家門店按區(qū)域劃分的眾數(shù)是A區(qū)域，該組的次數(shù)是20家，所以異眾比率為60%，這說明50家門店按區(qū)域劃分的離散程度比較大，眾數(shù)的代表性較差。

異眾比率是反映定名數(shù)據(jù)離散趨勢的唯一指標(biāo)，這個指標(biāo)越小，說明數(shù)據(jù)的離散程度越小，集中程度越大

常用的幾種標(biāo)志變異指標(biāo)概念 計(jì)算 特點(diǎn) 數(shù)列中最大值與最小值之差2．極差（R）R=最大值-最小值R=最大組的上限-最小組的下限

優(yōu)點(diǎn)：容易理解，計(jì)算方便缺點(diǎn)：不能反映全部數(shù)據(jù)分布狀況3．四分位差

（M3-M1）/2在反映數(shù)據(jù)的離散程度方面比全距較為準(zhǔn)確，但仍顯粗略

是一批數(shù)據(jù)中的第三四分位數(shù)與第一四分位數(shù)之差的二分之一

常用的幾種標(biāo)志變異指標(biāo)概念 計(jì)算 特點(diǎn) 4．平均差（AD）各標(biāo)志值與均值離差絕對值的算術(shù)平均 簡單：加權(quán)：優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況缺點(diǎn)：取絕對值數(shù)字上不盡合理所有觀察值與平均數(shù)離差平方平均數(shù)的平方根，亦稱均方差。標(biāo)準(zhǔn)差的平方即為方差。

5．方差（σ2s2）和標(biāo)準(zhǔn)差(σs) 優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況，數(shù)字上合理。缺點(diǎn)：受計(jì)量單位和平均水平影響，不便于比較簡單：加權(quán)：概念計(jì)算 特點(diǎn) 6．標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（Vσ） 標(biāo)準(zhǔn)差與均值之商，是無量綱的 兩列數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行離散程度的比較，當(dāng)它們的平均數(shù)不等、計(jì)量單位不同時則應(yīng)消除平均數(shù)不同和計(jì)量單位不可比的影響。此時就需要用離散系數(shù)這種相對數(shù)來是測定離散趨勢

方差（σ2）和標(biāo)準(zhǔn)差（σ）是應(yīng)用最廣的標(biāo)志變異指標(biāo)常用的幾種標(biāo)志變異指標(biāo)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(計(jì)算公式)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(計(jì)算公式)未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：方差的計(jì)算公式標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!樣本方差

自由度(degreeoffreedom)定義：一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)。例如，樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x

=5。當(dāng)x

=5

確定后，x1，x2和x3有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值。樣本方差

(算例)原始數(shù)據(jù):10 591368樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本標(biāo)準(zhǔn)差

(算例)樣本標(biāo)準(zhǔn)差原始數(shù)據(jù):

10591368方差

(簡化計(jì)算公式)樣本方差總體方差方差

(數(shù)學(xué)性質(zhì))各變量值對均值的方差小于對任意值的方差證明提示：設(shè)X0為不等于X的任意數(shù)，D2為對X0的方差，則：偏度與峰度分布的形狀扁平分布尖峰分布偏度峰度左偏分布右偏分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布比較！四、數(shù)據(jù)的形態(tài)測定偏度:是測定數(shù)據(jù)分布的偏斜程度的指標(biāo).。

定義M=∑(X-A)k/n為變量X關(guān)于A的k階矩。

當(dāng)A=0，即以原點(diǎn)為中心，上式稱為“K階原點(diǎn)矩”。K=1，2，3時，有：一階原點(diǎn)矩M1=∑(X-0)1/n=∑X/n二階原點(diǎn)矩M2=∑(X-0)2/n=∑X2/n三階原點(diǎn)矩M3=∑(X-0)3/n=∑X3/n

當(dāng)A=0，即以為中心，上式稱為“K階中心矩”。K=1，2，3時，有：一階中心矩二階中心矩三階中心矩

所以，m3可以測定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)，再除以σ3。<0負(fù)偏態(tài)=0對稱分布>0正偏態(tài)峰度：是用來反映數(shù)據(jù)分布曲線頂端的尖峭或扁平程度的指標(biāo)。

<3平頂曲線=3正態(tài)曲線>3尖頂曲線注：在EXCL等