第1章信號及其描述-1

車輛測試技術第1章信號及其描述信號的分類與描述周期信號與離散頻譜順變非周期信號與連續(xù)頻譜隨機信號車輛測試技術第一節(jié)信號的分類與描述概述信號的分類信號的時域和頻域描述信號的定義：物理角度，數(shù)學角度，工程角度。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是函數(shù)，就是某一變量隨時間或頻率或其他變量而變化的函數(shù)。信號表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到的，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質(zhì)上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上。車輛測試技術一、概述交通信號燈信息信號信息的載體是光信號紅燈亮黃燈亮綠燈亮停止通行注意車輛測試技術如心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳動的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上作為病人病例記錄。車輛測試技術

信號的分類主要是依據(jù)信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。信號波形：被測信號的幅度隨時間的變化的歷程稱為信號波形。信號波形電容傳聲器齒輪嚙合振動二、信號的分類

車輛測試技術常見標準信號波形車輛測試技術信號波形圖：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測物理量隨時間的變化情況。車輛測試技術

為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：從信號描述上：確定性信號與非確定性信號；從信號幅值和能量：能量信號與功率信號；從分析域：時域與頻域；從連續(xù)性：連續(xù)時間信號與離散時間信號；從可實現(xiàn)性：物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號。車輛測試技術1、確定性信號與非確定性信號

可以用明確數(shù)學關系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數(shù)學關系式描述的信號稱為非確定性信號。信號非確定性信號確定性信號非平穩(wěn)隨機信號平穩(wěn)隨機信號非周期信號周期信號簡單周期信號一般周期信號準周期信號瞬態(tài)信號車輛測試技術周期信號：按一定時間間隔周而復始出現(xiàn)的信號

x(t)

=

x(t+nT)簡單周期信號一般周期信號車輛測試技術諧波信號頻率單一的正弦或余弦信號。簡單周期信號：信號的“波形”車輛測試技術+=x1(t)=A1Sin(ω1t+θ1)=A1Sin(2π?1t+θ1)=10Sin(2π·3·t+π/6)x2(t)=A2Sin(ω2t+θ2)=A2Sin(2π?2t+θ2)=5Sin(2π·2·t+π/3)x3(t)=10Sin(2π·3·t+π/6)+5Sin(2π·2·t+π/3)+=由多個乃至無窮多個頻率成分疊加而成，疊加后存在公共周期的信號一般周期信號:車輛測試技術b)非周期信號：再不會重復出現(xiàn)的信號。準周期信號:由多個周期信號合成，其中至少有一對頻率比不是有理數(shù)。車輛測試技術瞬態(tài)信號：在有限時間段內(nèi)存在，或隨著時間的增加而幅值衰減至零的信號。0車輛測試技術(a)錘擊物體的力信號(b)T’段為汽車加速過程信號(c)半個正弦信號(d)矩形窗信號車輛測試技術c)非確定性信號：不能用數(shù)學式描述，其幅值、相位變化不可預知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。平穩(wěn)與非平穩(wěn)噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異車輛測試技術2.連續(xù)信號與離散信號時間幅值連續(xù)離散被采樣信號模擬信號連續(xù)離散量化信號數(shù)字信號車輛測試技術(a)汽車速度連續(xù)信號(b)開水房鍋爐水溫度的變化連續(xù)信號車輛測試技術(c)每日股市的指數(shù)變化（離散信號）(d)某地每日的平均氣溫變化（離散信號）(e)每隔5分鐘測定開水房鍋爐水的溫度變化（離散信號）(f)每隔2微妙對正弦信號采樣獲得的離散信號車輛測試技術3.能量信號與功率信號

a)能量信號當信號x(t)在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：

一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。車輛測試技術b)功率信號當信號x(t)在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量。此時，在有限區(qū)間(t1,t2)內(nèi)的平均功率是有限的。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。噪聲信號一般周期信號車輛測試技術信號的時域描述：以時間為獨立變量，其強調(diào)信號的幅值隨時間變化的特征。信號的頻域描述：以角頻率或頻率為獨立變量，其強調(diào)信號的幅值和相位隨頻率變化的特征。三、信號的時域和頻域描述信號的“域”時域頻域車輛測試技術時域描述：直接觀測或記錄到的信號，以時間為獨立變量的，稱其為信號的時域描述。車輛測試技術頻域描述：以頻率作為變量的，稱其為信號的頻域描述。周期信號的頻域描述車輛測試技術第二節(jié)周期信號與離散頻譜傅立葉級數(shù)三角展開傅立葉級數(shù)復指數(shù)展開車輛測試技術時域分析反映信號的幅值隨時間的變化情況，頻域分析反映信號的頻率組成和各頻率分量大小。

圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

28車輛測試技術

信號頻域分析是采用傅立葉變換將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從另一個角度來了解信號的特征。8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz傅里葉變換一.周期信號的頻譜分析——傅立葉級數(shù)三角展開車輛測試技術時間幅值頻率時域分析頻域分析信號的頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。時域分析與頻域分析的關系譜線車輛測試技術 在有限區(qū)間上，一個周期信號x（t）當滿足狄里赫利條件時可展開正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)，如三角函數(shù)集的傅里葉級數(shù)。 式中，T――周期，ω0――基波圓頻率，

。注意：an是n或nω0的偶函數(shù)，a-n=an；

bn是n或nω0的奇函數(shù)，b-n=-bn。

車輛測試技術狄里赫利條件:（1）函數(shù)在一周期內(nèi)極大值與極小值為有限個。（2）函數(shù)在一周期內(nèi)間斷點為有限個。（3）在一周期內(nèi)函數(shù)絕對值積分為有限值。即車輛測試技術信號x（t）的另一種形式的傅里葉級數(shù)表達式：

式中，

An稱信號頻率成分的幅值，φn稱初相角。注意：An是n或nω0的偶函數(shù)，A-n=An；

φn是n或nω0的奇函數(shù)，φ-n=-φn。

并可知：n＝1,2,……n＝1,2,……車輛測試技術小結與討論式中第一項a0為周期信號中的常值或直流分量；從第二項依次向下分別稱信號的基波或一次諧波、二次諧波、三次諧波、……、n次諧波；將信號的角頻率ω0作為橫坐標，可分別畫出信號幅值An和相角φn隨頻率ω0變化的圖形，分別稱之為信號的幅頻譜和相頻譜圖。

車輛測試技術例1求圖所示的周期方波信號x（t）的傅里葉級數(shù)及其頻譜。 解：信號x（t）在它的一個周期中的表達式為：

有：圖周期方波信號

注意：本例中x(t)為一奇函數(shù)，而cosnω0t為偶函數(shù)，兩者的積x(t)cosnω0t也為奇函數(shù)，而一個奇函數(shù)在上、下限對稱區(qū)間上的積分值等于零。

車輛測試技術可得周期方波信號的傅里葉級數(shù)表達式為：

周期方波信號的頻譜圖車輛測試技術周期函數(shù)的奇偶特性若周期函數(shù)x(t)為奇函數(shù)，即x(t)=-x(-t)若周期函數(shù)x(t)偶函數(shù)，即x(t)=x(-t)車輛測試技術周期性三角波作業(yè):周期性三角波的三角頻譜車輛測試技術周期信號頻譜特點

1、由于

為整數(shù)，各頻率分量僅在

的頻率處取值，因而得到的是關于幅值

和相角

的離散譜線﹔2、諸分量頻率都是基波頻率的整數(shù)倍﹔3、各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值和相位角，工程上常見的信號，其諧波幅值總的趨勢是隨諧波次數(shù)的增高而減小的。周期信號的頻譜具有離散性、諧波性和收斂性三個特點。車輛測試技術歐拉公式則那么令二、傅里葉級數(shù)的復指數(shù)函數(shù)展開式：an是n的偶函數(shù)，a-n=an；bn是n的奇函數(shù)，b-n=-bn。

車輛測試技術即由所以即車輛測試技術一般情況下，Cn是復數(shù)42Cn與C-n共軛把周期函數(shù)x(t)展開為傅立葉級數(shù)以后，作關系圖

CnR—ω0稱為實頻圖

CnI—ω0稱為虛頻圖

|Cn|—ω0稱為雙邊幅頻圖，n=-∞~+∞，nω=-∞~+∞，

φn—ω0稱為雙邊相頻圖車輛測試技術解：有

例

求周期矩形脈沖的頻譜，設周期矩形脈沖的周期為T，脈沖寬度為τ，如下圖所示。圖周期矩形脈沖

由于ω0=2π/T，代入上式得 定義

則上式變?yōu)?可得到周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式為的圖像:車輛測試技術傅里葉變換傅里葉變換的主要性質(zhì)幾種典型信號的頻譜第三節(jié)

瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜車輛測試技術非周期信號準周期信號信號中各簡諧成分的頻率比為無理數(shù)具有離散頻譜瞬變信號在一定時間區(qū)間內(nèi)存在或隨時間的增長衰減至零準周期信號x(t)0tx(t)0t瞬變信號I0tx(t)瞬變信號II車輛測試技術車輛測試技術一.瞬變非周期信號頻譜的求取方法周期信號x(t)，在[-T/2,T/2]區(qū)間內(nèi)式中，當T→∞時，

①積分區(qū)間由[-T/2,T/2]變?yōu)?-∞,∞)；

②ω0=2π/T

→0，→離散頻率nω0→連續(xù)變量ω。

X(ω)為單位頻寬上的諧波幅值，具有“密度”的含義，故把X(ω)稱為瞬態(tài)信號的“頻譜密度函數(shù)”，或簡稱“頻譜函數(shù)”。一般為復數(shù)，用X(ω)表示為：X(ω)稱為信號x(t)的傅立葉變換。

車輛測試技術傅立葉逆變換當T→∞時，ω0=2π/T→0

，①ω0=dω②離散頻率nω0→連續(xù)變量ω③求和Σ→積分。則：x(t)為X(ω)的傅立葉逆變換（反變換）周期信號瞬變非周期信號傅立葉變換對由于ω=2π?52-f

連續(xù)幅值譜-f

連續(xù)相位譜矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù)

例:矩形窗函數(shù)的頻譜矩形窗函數(shù)頻譜例：單邊指數(shù)衰減函數(shù)的頻譜周期和非周期信號幅值譜的區(qū)別

①|(zhì)X(?)|為連續(xù)頻譜，而|Cn|為離散頻譜；②|Cn|的量綱和信號幅值的量綱一致，即振幅，而|X(?)|的量綱相當于|Cn|/?，為單位頻寬上的幅值，即“頻譜密度函數(shù)”，振幅/頻率（如cm/Hz）。非周期信號幅值譜|X(?)|與周期信號幅值譜|Cn|之間的區(qū)別：車輛測試技術二.傅立葉變換的性質(zhì)a.若x(t)是實函數(shù)a1.若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實偶函數(shù)；a2.若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是虛奇函數(shù)；b.若x(t)是虛函數(shù)b1.若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(?)=0，而X(?)是虛偶函數(shù)；b2.若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(?)=0，而X(?)是實奇函數(shù)。1.奇偶虛實性車輛測試技術如果有則2.線性疊加性

證明﹕

車輛測試技術例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化車輛測試技術3.對稱性若:(時域信號)x(t)?X(?)(頻域信號)，則X(t)?x(-?)

11車輛測試技術對稱性：X(t)x(-f)證明：

互換t

和f從而：X(t)x(-f)車輛測試技術4.時間尺度改變特性若，則對于實常數(shù)，有當時域尺度壓縮(>1)時，對應的頻域展寬且幅頻譜譜線高度減??；當時域尺度展寬(<1)時，對應的頻域壓縮且幅頻譜譜線高度增加。信號的持續(xù)時間與信號占有的頻帶寬成反比。車輛測試技術信號持續(xù)時間擴展k倍(k>1)，則信號的頻寬壓縮k倍，而幅值變?yōu)樵瓉淼膋倍。

k=1時間尺度改變性

證明：（k>0）（k<0）綜上所述時間尺度改變特性表明：信號在時域中壓縮（k>1，變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。5.時移性65若，則在時域中信號沿時間軸平移一常值t0（時移），則如果信號在時域中延遲了時間t0，其頻譜幅值不會改變，而相頻譜中各次諧波的相移-2π?t0，與頻率成正比。

例求圖所示矩形脈沖函數(shù)的頻譜。解：該函數(shù)可視為一個中心位于坐標原點的矩形脈沖時移至t0點位置所形成，則其傅里葉變換及幅頻譜和相頻譜分別為證明：若t0為常數(shù)

則時移結果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜時移性質(zhì)

圖x(t)cosω0t的頻譜6.頻移性若，在頻域中信號沿頻率軸平移一常值?0（頻移），則證明：若f0為常數(shù)

則頻移性質(zhì)

時域表達式例:求被截取的余弦信號的頻譜函數(shù)7.卷積定理對于任意兩個函數(shù)x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則 1.兩個函數(shù)在時域中的卷積，對應于頻域中的乘積2.兩個函數(shù)在時域中的乘積，對應于頻域中的卷積

x1(t)*x2(t)?X1(?)·X2(?)x1(t)·x2(t)?X1(?)*X2(?)車輛測試技術時域卷積特性證明71對于x1(t)和x2(t)，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則

x1(t)*x2(t)?X1(?)X2(?)

頻域卷積特性證明對于和，定義它們的卷積為：

若x1(t)?X1(?)，x2(t)?X2(?)，則

x1(t)x2(t)?X1(?)*X2(?)8.微分特性：證明：同理：車輛測試技術能量信號和功率信號

能量(energy)信號：例如：在右圖所示的單自由度振動系統(tǒng)中： 由彈簧所積蓄的彈性勢能為x2(t);

若x(t)表達為運動速度，則x2(t)反映的是系統(tǒng)的運動中的動能。定義：當x（t）滿足關系式

則稱信號x（t）為有限能量信號，簡稱能量信號。矩形脈沖、衰減指數(shù)信號等均屬這類信號。圖單自由度振動系統(tǒng)車輛測試技術功率(power)信號：當信號滿足條件 亦即信號具有有限的（非零）平均功率，則稱信號為有限平均功率信號，簡稱功率信號。車輛測試技術功率信號的傅里葉變換

只有滿足狄里赫利條件的信號才具有傅里葉變換，即。 有限平均功率信號，它們在(-∞,∞)區(qū)域上的能量可能趨近于無窮，但它們的功率是有限的，即滿足 利用δ函數(shù)和某些高階奇異函數(shù)的傅立葉變換來實現(xiàn)這些函數(shù)的傅立葉變換。三、幾種典型信號的頻譜在ε時間內(nèi)激發(fā)矩形脈沖（或三角脈沖、雙邊指數(shù)脈沖，鐘形脈沖）所包含的面積為1；1.單位脈沖函數(shù)δ(t)及其頻譜各種單位面積為1的脈沖矩形脈沖到δ函數(shù)

當ε→0時，的極限就稱為單位脈沖函數(shù)，記作δ(t)，即（單位脈沖函數(shù)）。

(1)δ(t)的定義從極限角度:(2)δ(t)的特性從面積角度:矩形脈沖到δ函數(shù)車輛測試技術(3)δ(t)乘積性車輛測試技術(4)δ(t)的篩選性令t-τ=t’，則τ=t-t’，dτ=-dt’，代入則結果：x(t)與δ(t)的卷積等于x(t)。

δ函數(shù)的卷積特性(5)δ(t)與其它信號的卷積

結果：δ(t±t0)時卷積，就是將函數(shù)x(t)在發(fā)生脈沖函數(shù)的坐標位置上重新作圖

當脈沖函數(shù)為δ(t±t0)時，與函數(shù)x(t)的卷積

δ函數(shù)的卷積特性2車輛測試技術(6)δ(t)的頻譜逆變換：

δ(t)?1

據(jù)對稱性：1?δ(?)

δ函數(shù)的頻譜直流分量的頻譜車輛測試技術δ(t)?1

1?δ(?)

根據(jù)時移特性：根據(jù)頻移特性：車輛測試技術2.諧波函數(shù)余弦函數(shù)的頻譜：

正弦函數(shù)的頻譜：3.周期函數(shù)的頻譜

周期函數(shù)x(t)的傅里葉級數(shù)形式： 式中

x(t)的傅立葉變換為：一個周期函數(shù)的傅里葉變換由無窮多個位于各諧波頻率上的單位脈沖函數(shù)組成。4.周期單位脈沖序列的頻譜

相等間隔的周期單位脈沖序列，常稱為梳狀函數(shù)

式中，Ts—周期，n—整數(shù)，n=0,±1,±2,±3,…。

該函數(shù)為周期函數(shù)，?s=1/Ts，用傅立葉級數(shù)的復指數(shù)形式表示：

時域中