概率論知識復(fù)習(xí)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計ProbabilityandMathematicalStatistics復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

一、樣本點、樣本空間和隨機事件樣本點e：隨機實驗的某種可能的結(jié)果。例：拋硬幣正面反面擲骰子123456英文字母abcd…xyz樣本空間Ω：例：拋硬幣{正面,反面}擲骰子{1,2,3,4,5,6}英文字母{a,b,c,d,…,x,y,z}隨機實驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合。隨機事件(A,B,C,…)：若干個樣本點構(gòu)成的集合,即：樣本空間的一個子集。2復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

最小的子集：不包含任何樣本點，即空集，記為Φ。最大的子集：包含全部樣本點，即樣本空間Ω。基本事件：只包含一個樣本點的事件。例:復(fù)合事件：包含多個樣本點的事件。例:不相容事件：沒有交集的兩個事件。例:樣本空間的劃分：兩個不同的樣本點一定是不相容事件。3概率計算：A中包含的樣本點數(shù)Ω中的樣本點數(shù)總數(shù)復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

三、古典概型及其概率計算古典概型：1.樣本空間Ω只包含有限個樣本點。2.每個樣本點發(fā)生的可能性相同。利用排列組合方法排列數(shù)：組合數(shù)：二、概率的公理化定義1.取值范圍2.3.若是兩兩互不相容事件，則：關(guān)鍵：各樣本點的概率已知或可計算。4復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

四、條件概率及其計算公式條件概率：在已知隨機事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率。例：某班級有36名同學(xué)，其中女同學(xué)10名，山東籍同學(xué)8名，8名山東籍同學(xué)中有3名是女同學(xué)。老師隨機地點了一位同學(xué)的名，求：(1)該同學(xué)是女同學(xué)的概率。(2)已知點到的是山東籍同學(xué)，求該同學(xué)是女同學(xué)的概率。(3)該同學(xué)是山東籍女同學(xué)的概率。(4)該同學(xué)是山東籍同學(xué)的概率。B：女同學(xué)A：山東籍5復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

計算公式：五、隨機事件間的獨立性獨立性：事件A與事件B的發(fā)生與否是互不影響的。數(shù)學(xué)定義：或與間有問題：無明確的大小關(guān)系？回答：一般情況下沒有明確關(guān)系。但如果滿足，則有：6復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

推導(dǎo)：如果滿足，則有。證：【】【】解釋：例：{陰，晴，雨，雪}{陰}{不是晴天}7復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

六、全概率公式與貝葉斯公式全概率公式：貝葉斯公式：后驗概率先驗概率8是的劃分。復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

例：將一廠、二廠、三廠、四廠所生產(chǎn)的同類產(chǎn)品混合在一起，其中各廠產(chǎn)品依次分別占15%，25%,30%,30%。而各廠產(chǎn)品的合格率依次分別為98%，95%，90%，80%。從這批混合后的產(chǎn)品中任取一件求取到一件合格品的概率。若已知取到的是一件合格品，問哪個廠生產(chǎn)的可能性最大？解：設(shè)A表示取到的是合格品。設(shè)Bi表示取到的產(chǎn)品是第i廠生產(chǎn)的。i=1,2,3,49復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

(1)根據(jù)全概率公式，有：已知條件：(2)根據(jù)貝葉斯公式，有：三廠生產(chǎn)的可能性最大。10復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

貝葉斯公式在信道譯碼中的應(yīng)用：信道轉(zhuǎn)移特性：例：問題：如何從收到的判斷發(fā)送方發(fā)送的是那條消息？回答：中最大的消息。最大后驗概率準(zhǔn)則11復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

貝葉斯公式在信道譯碼中的應(yīng)用：信道轉(zhuǎn)移特性：例：問題：如何從收到的判斷發(fā)送方發(fā)送的是那條消息？回答：中最大的消息。最大后驗概率準(zhǔn)則最大似然準(zhǔn)則似然函數(shù)12復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

七、隨機變量與分布函數(shù)樣本空間樣本點的取值是數(shù)量化的例：{1,2,3,4,5,6}樣本點的取值非數(shù)量化的例：{正,反}非數(shù)量化的樣本空間不利于數(shù)學(xué)研究。為每個樣本點定義一個互不相同的實數(shù)，則任意一個隨機事件均可用隨機變量描述。隨機變量：例：硬幣為正面硬幣為反面擲骰子點數(shù)不超過3點13復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

分布函數(shù)：表示隨機變量X小于x(任意實數(shù))的概率。作用：可利用分布函數(shù)計算X落在任意區(qū)間內(nèi)的概率。八、離散型隨機變量及其概率分布律離散型：隨機變量的所有可能取值為有限或無窮可列個。概率分布律：14復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

九、連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型：隨機變量的所有可能取值不是離散的、孤立的，而是可能取數(shù)軸上某區(qū)間內(nèi)的任意數(shù)值。連續(xù)型隨機變量取某一具體值c的概率證：令：【連續(xù)】概率密度：物理意義：概率密度函數(shù)在不同點處的取值反映了隨機變量落在附近一極小區(qū)間內(nèi)的概率。15概率密度函數(shù)的性質(zhì)：復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

(1)【】(2)概率密度與分布函數(shù)是積分與求導(dǎo)的關(guān)系【】(3)(4)1不一定小于注意：例：均勻分布當(dāng)時16復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

幾種常見的連續(xù)型隨機變量的分布：1.均勻分布2.指數(shù)分布在可靠性理論（如：某臺設(shè)備兩次故障間的間隔時間）以及排隊論（等待某一服務(wù)的等待時間）中經(jīng)常用到指數(shù)分布。17復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

3.正態(tài)分布（高斯分布）特點：(1)概率密度曲線關(guān)于對稱，為平均值。(2)表示隨機變量與平均值之間的偏離程度。(3)兩頭小，中間大。均值處概率密度最大，越遠(yuǎn)離均值，概率密度越小。18復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

十、二維隨機變量在很多實際問題中，一個隨機實驗只用一個隨機變量往往是不夠的。例：煉鋼廠煉出的鋼，它的硬度，含硫量、含碳量。某地區(qū)成年男子的身高與體重。二維(聯(lián)合)分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：19復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

二維聯(lián)合分布函數(shù)與一維分布函數(shù)的關(guān)系：一維離散型分布律：二維離散型聯(lián)合分布律：邊緣分布邊緣分布20復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

二維離散型條件分布律：三種分布律間關(guān)系：聯(lián)合邊緣條件聯(lián)合21復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

一維連續(xù)型概率密度：二維連續(xù)型概率密度：(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(1)性質(zhì)22復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

二維離散型聯(lián)合、邊緣、條件分布律間關(guān)系：二維連續(xù)型聯(lián)合、邊緣、條件概率密度間關(guān)系：聯(lián)合邊緣條件聯(lián)合23復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

隨機事件間獨立性的判斷：離散型隨機變量間獨立性的判斷：連續(xù)型隨機變量間獨立性的判斷：24復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

十一、(連續(xù)型)隨機變量函數(shù)概率分布的求解一維隨機變量函數(shù)的分布：設(shè)

為連續(xù)型隨機變量，概率密度為

。為一連續(xù)函數(shù)，則為一連續(xù)型隨機變量。求解步驟：對應(yīng)的范圍代入，得：25復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

二維隨機變量函數(shù)的分布：(利用雅克比行列式求解)設(shè)

為連續(xù)型隨機變量，聯(lián)合概率密度為。又設(shè)和為到的一一映射。即：存在逆變換當(dāng)滿足以下條件時：(1)正變換和逆變換連續(xù)。(2)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)。有：其中：26十二、數(shù)學(xué)期望和方差復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

對于隨機變量，如果能知道它的分布函數(shù)或概率密度，即可全面地刻劃隨機變量的統(tǒng)計特性?？上У氖牵芏嗲闆r下這是非常困難的，或者有時候也是沒必要的。很多情況下，只需要知道隨機變量的平均值，以及實際值與平均值之間的偏離程度即可。數(shù)學(xué)期望：離散型連續(xù)型

方差：標(biāo)準(zhǔn)差：又記：27復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

當(dāng)兩個隨機變量獨立時，數(shù)學(xué)期望和方差的幾個性質(zhì)：1.設(shè)是相互獨立的隨機變量，則有：2.設(shè)是相互獨立的隨機變量，則有：3.設(shè)服從均值為，方差為的正態(tài)分布，服從均值為，方差為的正態(tài)分布，且與

相互獨立，則服從均值為,方差為的正態(tài)分布。以上幾條性質(zhì)在第三章推導(dǎo)香農(nóng)公式時會用到。28復(fù)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計–

十三、大數(shù)定理和契比雪夫不等式物理意義：多次測量的算術(shù)平均值近似等于數(shù)學(xué)期望。設(shè)相互獨立的隨機變量具有相同的分布，且，。則對于任意小的正數(shù)有：大數(shù)定理：當(dāng)隨機變量的均值及方差均存在的情況下，對于任意小的正數(shù)