2021.1北京西城區(qū)高三期末數(shù)學(xué)卷答案

學(xué)年度第高三數(shù)學(xué)

本試卷共頁，共150?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分?？忌鷦?wù)必答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效。

（選擇題

共40）一、選擇題共小題，每小題分，共40分。在每小題列出四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1已知集合A{3}，0≤4}，

（A(0,3)

（B(

（C）(0,4]

（）(1,4]（2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,，z（A2

（B

（C）

（）2i（3已知()為函數(shù)，其局部圖象如圖所示，那么（Af（Bf(2)（Cf(2)（）f(2)（4已知，，(3,)三共線，則的為（A4

（B

（C）

（）（5已知雙曲線

xy的距等于實(shí)軸長(zhǎng)的倍則其漸近線的方程為（Ay3

（B

（C）y

33

x

（）yx（6已知半徑為的圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0)，其圓心到直線3y距離的最小值為（A

（B

（C）2

（）3北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第1頁（共12）

（7已知函數(shù)f(xsinxxab]，則“

≥

”是“f(x的值域?yàn)閇”的（A充分而不必要條件（）充分必要條件

（B必要而充分條件（D）既不充分也不必要條件（8被譽(yù)為信息論之父的香農(nóng)提出了一個(gè)著的公式Clog

N

)

其為大數(shù)據(jù)傳輸速率，單位為bit/；W為道帶寬，單位為Hz；

N

為信噪比.

香農(nóng)公式在5G技中發(fā)揮著舉足輕重的作.當(dāng)

N

，2000Hz，最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C

；當(dāng)9999N

，時(shí)最大數(shù)據(jù)傳輸速率記為C，則

為（A

（B）

15（C）4

（）（9設(shè)函數(shù)fx)和()的義域?yàn)镈，存在非零實(shí)數(shù)D，得f()()，稱函數(shù)f(x)和(x)在D上有性質(zhì).現(xiàn)有三組函數(shù)：①f()，(x)

②f(x)

，()

③()

，g()

其中具有性質(zhì)P是（A①②（B）①③（C②③（）①②③（10在棱長(zhǎng)為1的正方體AB中，,分別為BD,B的中點(diǎn)，點(diǎn)在方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MP，則下列說法正確的是（A點(diǎn)可以是棱BB的點(diǎn)（B線段MP的大值為

32（）點(diǎn)的軌跡是正方形（）點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為5北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第2頁（共12）

第二部分

（非選擇題共110分）二、填空題共小題，每小題5分，分。（11）x2)

的展開式中的數(shù)_______.（12數(shù)列{}是公差為的差數(shù)列，記{}的前和為，且aa成比數(shù)列，則______________.（13一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為_（14拋線C:

的點(diǎn)為F點(diǎn)(1,4)作軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)，且滿足AFAM|則拋物線C的程為______；設(shè)直線AF交物線C另一點(diǎn)，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)（15炎炎夏日，冰激凌成為非常受歡迎的舌尖上的味某商店統(tǒng)計(jì)了一冰激凌份前天每天的供應(yīng)量和銷售量，結(jié)果如下表：6

1日

6

日

6

月

3

日

6

日

6

月

5

日

6

月

6

日供應(yīng)量銷售量

9080

10090

9085

10080

9090

10085記t)為6月冰激凌的供應(yīng)量，W(t)為6月日激凌的銷售量，其中t

.用銷售指數(shù)P(t)

Wt)t()(

((t

,(n1,)來價(jià)從6月t日開始連續(xù)n天的冰激凌的銷售情.當(dāng)n時(shí)(示t日日銷售指數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①在6月1日6日天，P(4,1)最，最大；②在月1日日天，日銷售指數(shù)越大，明該天冰激凌的銷售量越大；③P；④如月7至12日激凌每天的供應(yīng)量和銷售量與6月日至6日天供應(yīng)量和銷售量對(duì)應(yīng)相等，則對(duì)任意t{1,2,3,4,5,6,7}，有P(t,6)(1,12)其中所有正確結(jié)論的序號(hào)______.北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第3頁（共12）

三、解答題共小題，共85分。解應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16小分如圖，在直三棱柱ABCBC中，AA，ABAC，BE交于E，的點(diǎn).（Ⅰ）求證：BE平面ABC（Ⅱ）求二面角ABD的余弦.（17小題13分已知面積為，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，：（Ⅰ）和的；（Ⅱ）

)

的值．條件①C

7；條件②:C,cos9

.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（18小14）防洪工程對(duì)防洪減災(zāi)起著重要作用，水庫是我國(guó)廣泛采用的防洪工程之一，既有滯洪作用又有蓄洪作用北地區(qū)2010年2019年每年汛末10月日水庫的蓄水量數(shù)據(jù)如下：年份

20102011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

2019蓄水量（億立方米）

11.25

13.25

13.58

（Ⅰ）從2010年至2019年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取連續(xù)兩年的數(shù)據(jù)，求這年蓄水量數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值小于1億方米的概率；（Ⅱ）從年年的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取兩年的數(shù)據(jù)，設(shè)X為水量超過億立方米的年份個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）由表中數(shù)據(jù)判斷從哪年開始連續(xù)三年的水庫蓄水量方差最大？（結(jié)論不要求證明）北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第4頁（共12）

（19小15分已知函數(shù))x

.（Ⅰ）求曲線yf(x)在(1,f的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f()的單調(diào)區(qū)和極值；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)t(x)

fx)xx

，x(0,，判斷t(x)的點(diǎn)數(shù)，并證明你的結(jié).（20小15分已知橢圓:

x.42（Ⅰ）求橢圓C的心率和長(zhǎng)軸長(zhǎng)；（Ⅱ）已知直線ykx與圓有個(gè)不同的交點(diǎn),，P為軸一點(diǎn).是存在實(shí)數(shù)k，使得是以點(diǎn)P為角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出的及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.（21小分對(duì)于數(shù)列{}定義*

≥a,

設(shè){*

}的n項(xiàng)為S

*

（Ⅰ）設(shè)a

，寫出*，a*，*，*（Ⅱ）證明意nN*有S*

”的充要條件是“對(duì)任n*，|

|（Ⅲ）已知首項(xiàng)為，項(xiàng)數(shù)為≥的列{}滿足①對(duì)任意1≤n≤且N

*

，有a

{1,0,1}；S

*

a求所有滿足條件的數(shù)列{}個(gè)數(shù).北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第5頁（共12）

2021學(xué)年度第一高三數(shù)學(xué)參考案一、選擇題共小題，小題4分，共分）

2021.1（1）D（）A（3）C（5）A（）（7）B（9）B（10）二、填空題共題，每題分，共25分）（11

（4）C（8）D

（

n（132

（14）y

x，（15①④注：第12）和14題第一空分,第二空2分.第15）全部選對(duì)5分，不選或有錯(cuò)選得0分，其他得3.三、解答題共題，共85分）（1613分）解）因三棱柱

AB1

為直三棱柱所以

平面ABC，所以

AC

.

……………1分因?yàn)锳C，

AB

AAA

，所以面

BB1

.

……………3分因?yàn)槠矫?/p>

AAB

，所以ACBE.

……………4分因?yàn)?/p>

BEAB，ACA1

，所以BE平面C

……………（Ⅱ）由（）知

AB,AC,AA

兩兩垂直，如圖建立空直角坐標(biāo)Axyz則(0

,

DB(2,0,0)

.……………設(shè)a

，所以

=(0AB,0,4)=()

，因?yàn)?/p>

ABBE

，所以4，即.

……………8分所以平面ABC的一個(gè)法向?yàn)?/p>

BE=(

．

……………9分，設(shè)平面的法向量為nx,z)北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第6頁（共12）

3030所以

0,0.

z0,所以即xz0.x.

……………分令則x2,，所以平面

的一個(gè)法向?yàn)?/p>

n

.

……………分所以cosBE,n

n30=nBE|5

.

……………分由已知，二角

為銳角，所以二面角

ABD

的余弦值為6

……………分（1713分）若擇件解）在ABC

中，因?yàn)?/p>

13

，所以C12

23

.

……………分因?yàn)?/p>

sinC，a所以b

……………分由余弦定理

cos48，

……………分所以.

……………分（Ⅱ）由正定理

abAsinBsin

，可得

624sin2

.…………7分3所以A

6，B.3

……………分因?yàn)?0,)，所

35，.39

……………分所以sin(A)sincosAsinB

6364.3939

……………分若擇件解）在ABC中，因?yàn)锳C，所以因?yàn)?/p>

，所以B(,，B1cosB.9

………分北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第7頁（共12）

因?yàn)?/p>

1acc2，29所以a3.

……………4分由余弦定理

accos

，所以.

……………6分（Ⅱ）由正定理得

，sinsinB所以

a3b9

……………8分因?yàn)?0,)，所以cosAsin2

23

.

……………分所以sin(A)sincosAsinB12242)3327（1814分）

……………分解）設(shè)件A為“連兩年的蓄量數(shù)據(jù)之差的絕對(duì)值小于億立方從2010年到年的樣本數(shù)據(jù)隨機(jī)選取連續(xù)兩年共有9種能，…2分由圖表可知事件A“年和2012年年和年和年”.所以P(A)

39

.

……………分……………分（Ⅱ）由表知，2014到年的樣數(shù)據(jù)中，蓄量超過33億方米有年，水量不超過33億方米有年隨機(jī)變量X的所可能取值為0，，

……………分PX

C

C

2C，X1)

，P(X2)

C

.……………分所以隨機(jī)變

的分布列為0北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第8頁（共12）

P

25

815

115……………9分所以X)

215153

.

……………分（Ⅲ）從年開始連續(xù)年的水庫水量方差最大.（1915分）

……………分解）由f()

，f

．

……………1分因?yàn)閒(1)，，

……………3分所以曲線fx

在點(diǎn)f

處的切線方為

…………4分（Ⅱ）令f

，得

，解得x

3或x．33當(dāng)變時(shí)，f()和

變化情況如表：

(

33

)

33

(

3)3

33

(

33

ff()

↗

0239

↘

029

↗……………7分所以，f(x)

的單調(diào)遞減間是(

333，單調(diào)遞增間是()333

，(

33

；f()

332處取得極大，在處取極小值39……………9分（Ⅲ）x

,tx)即

2sin

，等價(jià)于x

2sinx

.

……………10分設(shè)

g()

,

(0,

，則x①北京市西城區(qū)—2021學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

當(dāng),2第9頁（共12）

時(shí)，

2222g

，(

在區(qū)間[,2

上單調(diào)遞增又g()4

，

g(

，所以()

在區(qū)間[,2

上有一個(gè)零

……………分②

當(dāng)

x)2

時(shí),設(shè)h

h()2cos.，所

在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增………分2又g

，

)，所以存在x)，得g2

x.所以，當(dāng)x(0,

時(shí)，

，()

單調(diào)遞減；當(dāng)x,)時(shí)，g2

，()

單調(diào)遞增.

……………13分又g(0)，g)4

，所以()

在區(qū)間)上無零.2

……………分綜上所述，數(shù)t()（2015分）

在定義域內(nèi)有一個(gè)零.

……………15分解）由意：a2b2，所以2.

……………1分因?yàn)閍

，所以c

2，c

.

……………2分所以

a

.

……………3分2所以橢圓C離心率為，軸長(zhǎng)為.……………分2（Ⅱ）聯(lián)立

kx2,

消

整理得：

k

.

……………5分因?yàn)橹本€與圓交于B

兩點(diǎn)，故，解

1＞2

……………6分北京市西城區(qū)—年度第一學(xué)期期末試卷

高三數(shù)學(xué)

第10（共12頁

2***2***設(shè)(x,)11

，B,y)

，則x2

，xx2

4

.…………8分設(shè)中G(,y0

，x則x，，2故(

22k2k

)

……………9分假設(shè)存在和點(diǎn)P

，使得是以P為直角頂點(diǎn)等腰直角三角形，則AB，故PGAB2

，所以

22

，解得

，故(…………10分2kk又因?yàn)?/p>

2

，所以

.所以xy),y)12

，即xy.整理得(k)(x)218所以k2(2)2

，

……………分代入

2k

，整理得，k

……………分當(dāng)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(,0)；當(dāng)k時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為.此時(shí)，△PAB是以P為直頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

……………15分（2115分）解）因

11315，，，，，2432根據(jù)題意可*

，*

a*

a*

……………4分（Ⅱ）必要：對(duì)n，有

S*

，因|S|a1

|

.

……5分對(duì)任意n*n≥，有

S

*

，S