平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析第一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第四章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解2023/2/52第二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日確定信號(hào)的頻域分析隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法?隨機(jī)信號(hào)的頻域分析關(guān)鍵點(diǎn)4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度2023/2/53第三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日信號(hào)特征分析時(shí)域分析頻域分析4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度關(guān)鍵詞傅立葉變換Parseval定理頻譜能譜功率譜確定信號(hào)分析2023/2/54第四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)x(t)是時(shí)間t的非周期實(shí)函數(shù)，且x(t)

滿足狄利赫利條件

絕對(duì)可積條件，即

能量有限條件，即有限個(gè)極值；有限個(gè)斷點(diǎn)；斷點(diǎn)為有限值4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度關(guān)于確定信號(hào)的一些假設(shè)

2023/2/55第五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度對(duì)于確定信號(hào)x(t)，既可以通過(guò)時(shí)域分析，也可以通過(guò)頻域分析，時(shí)域和頻域之間存在確定的關(guān)系，周期信號(hào)可以表示成傅立葉級(jí)數(shù)，非周期信號(hào)可以表示傅立葉積分傅立葉變換

2023/2/56第六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度則的傅立葉變換為：

其反變換為：

包含：振幅譜相位譜頻譜密度頻譜密度存在的條件為：即信號(hào)為絕對(duì)可積信號(hào)

傅立葉變換

2023/2/57第七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度傅立葉變換

約瑟夫·路易斯·拉格朗日

Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier拉格朗日，

傅立葉旁，

我凝視你凹函數(shù)般的臉龐。

微分了憂傷，

積分了希望，

我要和你追逐黎曼最初的夢(mèng)想。

感情已發(fā)散，

收斂難擋，

沒(méi)有你的極限，

柯西抓狂，

我的心已成自變量，

函數(shù)因你波起波蕩。

低階的有限階的，

一致的不一致的，

是我想你的皮亞諾余項(xiàng)。第八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度傅立葉變換

約瑟夫·路易斯·拉格朗日

Joseph-LouisLagrangeJeanBaptisteJosephFourier狄利克雷，

勒貝格楊

一同仰望萊布尼茨的肖像，

拉貝、泰勒，無(wú)窮小量，

是長(zhǎng)廊里麥克勞林的吟唱。

打破了確界，

你來(lái)我身旁，

溫柔抹去我，

阿貝爾的傷，

我的心已成自變量，

函數(shù)因你波起波蕩。

低階的有限階的，

一致的不一致的，

是我想你的皮亞諾余項(xiàng)。

第九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日即能量譜密度4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其在頻域的總能量能量譜密度存在的條件為：即信號(hào)總能量有限，s(t)也稱為有限能量信號(hào)Parseval定理2023/2/510第十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日即4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度信號(hào)在時(shí)域的總能量等于其在頻域的總能量證明：Parseval定理第十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日功率型信號(hào)：能量無(wú)限、平均功率有限的信號(hào)其能譜不存在，而功率譜存在4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)的信號(hào)一般能量無(wú)限利用截取函數(shù)的性質(zhì)功率譜2023/2/512第十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日定義截取函數(shù)為：

4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度功率譜2023/2/513第十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？2023/2/514第十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)信號(hào)是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度對(duì)于隨機(jī)過(guò)程，一般不滿足絕對(duì)可積和能量有限的這兩個(gè)條件，這是因?yàn)橐粋€(gè)隨機(jī)過(guò)程的持續(xù)時(shí)間是無(wú)限長(zhǎng)的，所以其總能量不是有限的。這說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程的幅度頻譜是不存在的，因此其頻譜密度和能量密度都不存在

2023/2/515第十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日16隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)及其截?cái)嗪瘮?shù)

2）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均1）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）)(tx)(txTtTT20T-4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？2023/2/516第十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日171）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？樣本函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的傅立葉變換：第十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日181）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？樣本函數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù)的能量：截?cái)嗪瘮?shù)的能量譜2023/2/5第十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日1）定義每個(gè)樣本函數(shù)的功率譜（處理方法適用于確定性信號(hào)）4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？樣本函數(shù)的（時(shí)間）平均功率：功率譜19第十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均物理意義：功率譜密度表示單位頻帶內(nèi)信號(hào)在單位電阻上消耗的功率的統(tǒng)計(jì)平均值.是的確定函數(shù)缺陷:不含相位信息2）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均第二十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何定義隨機(jī)信號(hào)的功率譜？即：樣本函數(shù)的功率譜密度代表隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度若為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程，則有：求各樣本函數(shù)功率譜密度的統(tǒng)計(jì)平均2）對(duì)樣本空間中所有樣本函數(shù)的功率譜求統(tǒng)計(jì)平均第二十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日22隨機(jī)信號(hào)：隨機(jī)性信號(hào)功率譜分析的一個(gè)例子4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度2023/2/522第二十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？1）頻域計(jì)算方法任一樣本函數(shù)的平均功率為隨機(jī)過(guò)程的平均功率為隨機(jī)過(guò)程的平均功率：不同的頻率成分對(duì)隨機(jī)信號(hào)的平均功率的貢獻(xiàn)。若為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程：第二十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？2）時(shí)域計(jì)算方法任一樣本函數(shù)的平均功率為隨機(jī)過(guò)程的平均功率為若為各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程：第二十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度如何計(jì)算隨機(jī)信號(hào)的平均功率？3）頻域計(jì)算與時(shí)域計(jì)算的關(guān)系對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有第二十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度Exercise4.1第二十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第四章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解2023/2/527第二十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理利用維納-辛欽定理求功率譜密度函數(shù)關(guān)鍵點(diǎn)2023/2/528第二十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日確定信號(hào)：隨機(jī)信號(hào)：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)功率譜密度。

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系傅立葉變換對(duì)：2023/2/529第二十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2023/2/5第三十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12023/2/531第三十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)則所以：4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2023/2/5第三十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系ProofofTheorem4.1Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2023/2/5第三十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日則

(注意，且，。因此，通常情況下，第二項(xiàng)為0)

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)ProofofTheorem4.12023/2/534第三十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度皆為偶函數(shù)4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)2023/2/5第三十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日由于實(shí)平穩(wěn)過(guò)程x(t)的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，功率譜密度也一定是實(shí)偶函數(shù)。有時(shí)我們經(jīng)常利用只有正頻率部分的單邊功率譜。

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系單邊功率譜（物理譜）相關(guān)性與功率譜相關(guān)性與功率譜的關(guān)系為：相關(guān)性越弱，功率譜越寬平；相關(guān)性越強(qiáng)，功率譜越陡窄2023/2/536第三十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系由于，因此功率譜存在Exercise4.2滿足絕對(duì)可積條件2023/2/5第三十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.3不滿足絕對(duì)可積條件第三十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.4不滿足絕對(duì)可積條件第三十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零這個(gè)定理要求不能應(yīng)用于含有直流分量或周期分量的隨機(jī)信號(hào)，功率譜密度是連續(xù)的，實(shí)際中含有直流分量和周期分量的隨機(jī)過(guò)程很多。第四十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零引入函數(shù)其傅立葉變換第四十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零借助函數(shù)，將任意直流分量和周期分量在頻率點(diǎn)上無(wú)限值用函數(shù)表示，則維納－辛欽定理可推廣應(yīng)用。第四十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣要求均值為零若隨機(jī)過(guò)程均值非零，則功率譜在原點(diǎn)有一函數(shù)；若含有周期分量，則在相應(yīng)的頻率處有函數(shù)；第四十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日引入函數(shù)其傅立葉變換4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣第四十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日功率譜密度常用來(lái)進(jìn)行周期性檢測(cè)四類典型信號(hào)的功率譜4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣2023/2/545第四十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)：時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度為傅立葉變換對(duì)4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系維納—辛欽定理的局限與推廣2023/2/546第四十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.32023/2/547第四十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.4解法1：48第四十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.4解法2：2023/2/5第四十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Exercise4.5解：

非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程第五十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Theorem4.1(Wiener-KhintchineTheorem)Continuous-timeDiscrete-time第五十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)證明特別對(duì)實(shí)平穩(wěn)過(guò)程,第五十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)平均功率第一式說(shuō)明功率譜密度曲線下的總面積(平均功率)等于平穩(wěn)過(guò)程的均方值.第二式說(shuō)明功率譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)曲線下的總面積.第五十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系Proposition4.1(Propertiesofpowerspectraldensityfunction)平均功率第五十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日以上部分可能涉及到的計(jì)算●利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理●利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等●利用已知的一些性質(zhì)計(jì)算4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/555第五十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日留數(shù)定理

設(shè)為復(fù)變量s的函數(shù)，且其繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單閉曲線C反時(shí)針?lè)较蛏虾颓€C內(nèi)部只有幾個(gè)極點(diǎn)

則：

一階留數(shù)

二階留數(shù)

4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/556第五十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/557第五十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日

是R(z)的分母在上半復(fù)平面的零點(diǎn)。若假設(shè)R(x)是分母無(wú)實(shí)零點(diǎn)的有理函數(shù)，且分子分母沒(méi)有相同的零點(diǎn)，而分母的冪次比分子的冪次至少高一次，則有是R(z)分母的n重零點(diǎn)，則留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/558第五十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.6

利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等解：4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系第五十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.7解法1:利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/5第六十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.7解法1:利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系第六十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.7解法1:利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/5第六十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.7解法2:

利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系第六十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.7解法2:

利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系2023/2/5第六十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第四章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解2023/2/565第六十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？1）定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的功率譜第六十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？1）定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的功率譜2023/2/567第六十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度由于，的傅里葉變換存在，故帕塞瓦定理對(duì)它們也適用，即:如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？1）定義兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)的功率譜第六十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？2）對(duì)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)的互功率譜求統(tǒng)計(jì)平均和是任一樣本函數(shù)，因此具有隨機(jī)性，取數(shù)學(xué)期望，并令得：

第六十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度如何定義兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互功率譜？Definition3.4(JointPowerSpectraDensity

Function)第七十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

F互相關(guān)函數(shù)互譜密度

F第七十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.3、互功率譜密度互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實(shí)隨機(jī)過(guò)程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。第七十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)1：證明：

（令）4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2023/2/573第七十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)2：

證明：

（令）

同理可證4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2023/2/574第七十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)3：

證明：類似性質(zhì)2證明。4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2023/2/575第七十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4：

若X(t)與Y(t)正交，則有

證明：若X(t)與Y(t)正交，則所以4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2023/2/576第七十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)5：

若X(t)與Y(t)不相關(guān)，X(t)、Y(t)分別具有常數(shù)均值和，則

證明：

因?yàn)閄(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）4.3、互功率譜密度互功率譜密度的性質(zhì)2023/2/577第七十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.8解：4.3、互功率譜密度2023/2/5第七十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日Exercise4.94.3、互功率譜密度第七十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第四章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解2023/2/580第八十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程中有一大類過(guò)程，它們的功率譜密度為的有理函數(shù)。在實(shí)際中，許多隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度都滿足這一條件。即使不滿足，也常?？梢杂糜欣砗瘮?shù)來(lái)逼近。這時(shí)可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即

4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解有理譜密度是實(shí)際中最常見(jiàn)的一類功率譜密度或形式工程中常用來(lái)作為有色噪聲的逼近功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式2023/2/581第八十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日若用復(fù)頻率s來(lái)表示功率譜密度，那么，對(duì)于一個(gè)有理函數(shù)，總能把它表示成如下的因式分解形式：

4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式2023/2/582第八十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度的性質(zhì)，可以導(dǎo)出關(guān)于的零、極點(diǎn)的如下性質(zhì)：（1）

為實(shí)數(shù)。

（2）

的所有虛部不為0的零點(diǎn)和極點(diǎn)都成復(fù)共軛出現(xiàn)。

（3）的所有零、極點(diǎn)皆為偶重的。

（4）M＜N。

4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解功率譜密度的有理多項(xiàng)式形式2023/2/583第八十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)上面的性質(zhì)，可將

分解成兩項(xiàng)之積，即：

其中（零極點(diǎn)在s上半平面）（零極點(diǎn)在s下半平面）且譜分解定理

此時(shí)4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解譜分解定理(連續(xù)時(shí)間)2023/2/584第八十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)X(n)是廣義平穩(wěn)實(shí)離散隨機(jī)過(guò)程，具有有理功率譜密度函數(shù)。則可分解為：

其中包含了單位圓之內(nèi)的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)包含了單位圓之外的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解譜分解定理(離散時(shí)間)2023/2/585第八十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日在離散時(shí)間系統(tǒng)的分析中，常把廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度定義為的z變換，并記為，即

式中式中，D為在的收斂域內(nèi)環(huán)繞z平面原點(diǎn)反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的一條閉合圍線。4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解離散傅立葉變換與Z變換

（因?yàn)椋?023/2/5第八十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解Exercise4.10解：將z=代人上式，即可求得第八十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第四章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.1、平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度4.2、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系4.5、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理4.3、互功率譜密度4.6、白噪聲4.4、平穩(wěn)過(guò)程的譜分解2023/2/588第八十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/589第八十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)離散時(shí)間確知信號(hào)采樣香農(nóng)采樣定理4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/590第九十頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日其中，T為采樣周期，為在時(shí)對(duì)的采樣。

設(shè)為一確知、連續(xù)、限帶、實(shí)信號(hào)，其頻帶范圍，當(dāng)采樣周期T小于或等于時(shí)，可將展開(kāi)為4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理確知信號(hào)的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)2023/2/591第九十一頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)時(shí)間確知信號(hào)離散時(shí)間確知信號(hào)采樣香農(nóng)采樣定理4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/592第九十二頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程采樣4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/593第九十三頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日

若為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，具有零均值，其功率譜密度為

，則當(dāng)滿足條件時(shí)，可將按它的振幅采樣展開(kāi)為4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的采樣定理(香農(nóng)采樣定理)第九十四頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日證明:

帶寬有限，第一步：(1)

的帶寬也是有限(2)令，則(3)是確知函數(shù)，根據(jù)維納-辛欽定理，對(duì)，

對(duì)應(yīng)用香農(nóng)采樣定理的，對(duì)應(yīng)用香農(nóng)采樣定理4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理第九十五頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第二步：令，則=0(2)這說(shuō)明，正交

又是的線性組合，因此正交4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/596第九十六頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日即

(4)又

(5)(3)第三步：=0即4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/597第九十七頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日第一步第二步第三步(1)(2)(3)(4)(5)=04.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理第九十八頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程離散時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程采樣=自相關(guān)函數(shù)功率譜密度功率譜密度自相關(guān)函數(shù)FTDFT4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理2023/2/599第九十九頁(yè)，共一百一十頁(yè)，2022年，8月28日

若平穩(wěn)連續(xù)時(shí)間實(shí)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，對(duì)采樣后所得離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程，的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別記為和，則有

4.6、隨機(jī)過(guò)程的采樣定理功率譜密度的采樣定理2023/2/5100第一百頁(yè)，共一百一十