第一章微觀粒子的狀態(tài)

岳賢ue.xj@南通大學(xué)電子信息學(xué)院電子工程系固體電子學(xué)導(dǎo)論概述量子力學(xué)統(tǒng)計(jì)力學(xué)固體物理半導(dǎo)體物理固體電子學(xué)導(dǎo)論第一章微觀粒子的狀態(tài)第二章晶體中電子的狀態(tài)第三章晶體中原子的狀態(tài)第四章常見(jiàn)晶體的結(jié)構(gòu)及物理性質(zhì)主要章節(jié)量子力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理固體物理粒子：指組成宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的基本單元。

粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：指力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典描述：遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。量子描述：遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述第一章微觀粒子的狀態(tài)在分析力學(xué)中，一般把以廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為自變量的能量函數(shù)寫(xiě)成H（哈密頓）函數(shù)粒子的運(yùn)動(dòng)滿足正則運(yùn)動(dòng)方程一組數(shù)值完全確定了這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這就是微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。1.1粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述：使用粒子坐標(biāo)和動(dòng)量的描述方法，也可借助幾何表示法討論力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。1.1.1

空間(相空間)

設(shè)粒子的自由度為r，經(jīng)典力學(xué)告訴我們，粒子在任一時(shí)刻的力學(xué)狀態(tài)由粒子的r個(gè)廣義坐標(biāo)q1,q2,……qr和與之共軛的r個(gè)廣義動(dòng)量p1,p2,…..pr在該時(shí)刻的數(shù)值確定。粒子的能量是其廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的函數(shù)：如果存在外場(chǎng)，還是描述外場(chǎng)參量的函數(shù)。為了形象地描述粒子的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，用q1,q2,……qr;p1,p2,…..pr共2r個(gè)變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成一個(gè)2r維空間，稱為空間。粒子在某一時(shí)刻的力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用空間中的一點(diǎn)表示，稱為粒子力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的代表點(diǎn)。當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間改變時(shí)，代表點(diǎn)相應(yīng)地在空間中移動(dòng)，描畫(huà)出一條軌道，稱為相跡。粒子在空間的描述：由N個(gè)粒子組成的系統(tǒng)在某一時(shí)刻的一個(gè)特定的微觀狀態(tài)，在空間中用N個(gè)代表點(diǎn)表示。隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化由N個(gè)代表點(diǎn)在空間中的N條運(yùn)動(dòng)軌跡，即N條線代表。1.1.1

空間(相空間)

空間性質(zhì)：i)

空間是人為想象出來(lái)的超越空間，是個(gè)相空間。引進(jìn)它的目的在于使運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述幾何化、形象化，以便于進(jìn)行統(tǒng)計(jì)?？臻g中的一個(gè)代表點(diǎn)是一個(gè)粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而不是一個(gè)粒子。ii)在經(jīng)典力學(xué)范圍，在無(wú)相互作用的獨(dú)立粒子系統(tǒng)中，任何粒子總可找到和它相應(yīng)的空間來(lái)形象地描述它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，但不是所有的粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以在同一空間中描述。1.1.1

空間(相空間)

1.粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述（坐標(biāo)，動(dòng)量）粒子自由度力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)哈密頓量r個(gè)廣義坐標(biāo)r個(gè)廣義動(dòng)量空間(2r維相空間)自由度r單粒子狀態(tài)及其演變過(guò)程空間中的點(diǎn)和曲線n-粒子的數(shù)目，s-束縛條件個(gè)數(shù)空間:6維以1維自由粒子為例:空間為2維，如右圖所示。2.例子——自由粒子

自由粒子：不受外力作用而自由運(yùn)動(dòng)的粒子。以單原子分子為例，有3個(gè)自由度，設(shè)其質(zhì)量為m，需要6個(gè)量確定它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。3.例子——線性諧振子分子內(nèi)原子的振動(dòng)，晶體中原子或離子在其平衡位置附近的振動(dòng)都可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。彈性力：圓頻率：能量恒定的軌跡為橢圓3.例子——線性諧振子

自由度：廣義坐標(biāo)：廣義動(dòng)量：動(dòng)能：1.經(jīng)典物理成就舉例牛頓力學(xué)－支配天體和力學(xué)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)；楊氏衍射實(shí)驗(yàn)―確定了光的波動(dòng)性；Maxwell方程組的建立―把光和電磁現(xiàn)象建立在牢固的基礎(chǔ)上；統(tǒng)計(jì)力學(xué)的建立—引入統(tǒng)計(jì)方法，關(guān)注大量粒子運(yùn)動(dòng)的整體效果。1.1.2

微觀粒子的量子描述——量子力學(xué)

一旦深入到分子、原子領(lǐng)域，一些實(shí)驗(yàn)事實(shí)和經(jīng)典理論發(fā)生矛盾或無(wú)法理解。

黑體輻射、光電效應(yīng)、氫原子光譜存在與經(jīng)典物理學(xué)的概念完全不相容的嶄新的實(shí)驗(yàn)事實(shí)輻射的微粒性；b.物質(zhì)粒子的波動(dòng)性；c.物理量的“量子化”，即測(cè)量值取分立值或某些確定值2.量子的發(fā)現(xiàn)3.量子力學(xué)的誕生什么是量子力學(xué)?——研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論

微觀粒子：分子、原子、原子核(質(zhì)子、中子)、電子、光子等。德布羅意：物質(zhì)波假設(shè)海森堡：矩陣形式的量子理論等價(jià)薛定諤泡利約爾證明4.正統(tǒng)解釋——波函數(shù)波動(dòng)方程矩陣力學(xué)連續(xù)的波分立的粒子1).概率波原理波恩解釋：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義是波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度[]和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。實(shí)驗(yàn)證明

對(duì)于一個(gè)電子雖然不能知道它一定在照片上哪一點(diǎn)出現(xiàn)，但由波函數(shù)的強(qiáng)度分布，可知道它在照片上各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率。---波恩解釋。2).測(cè)不準(zhǔn)原理海森堡提出測(cè)不準(zhǔn)原理（不確定性原理），解釋波動(dòng)性和粒子性實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的矛盾起源。P動(dòng)量，q位置E能量，t時(shí)間推論例，電子的單縫衍射實(shí)驗(yàn)h=6.626×10-34J.S---普朗克常數(shù)判定常數(shù)：h=6.626×10-34J.S---普朗克常數(shù)量子力學(xué)的應(yīng)用范圍體系的作用量=[能量]×[時(shí)間]=[動(dòng)量]×[長(zhǎng)度]

=[角動(dòng)量]×[角度]體系的作用量與h相比擬時(shí),經(jīng)典力學(xué)不再適用。測(cè)不準(zhǔn)原理并提供了衡量微觀問(wèn)題和宏觀問(wèn)題的界限

例一:氫原子中的電子與電子本身運(yùn)動(dòng)的速度相比是同一數(shù)量級(jí).基態(tài)v~108厘米/秒，△x~10-8厘米，m=9×10-28克，h=6.63×10-27爾格秒例二:陰極射線管中的電子束,電子速度v~108厘米/秒,設(shè)測(cè)量電子速度的精度為千分之一,即△v~105厘米/秒該值在陰極射線管實(shí)驗(yàn)的精度要求下可以忽略.同樣是電子,這種條件下,可以當(dāng)作經(jīng)典粒子來(lái)處理.3).互補(bǔ)原理波爾：一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免的排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用。波動(dòng)性和粒子性互補(bǔ)。真正的物質(zhì)特性只有一個(gè)，波粒二象性。但每次測(cè)量中只可能表現(xiàn)出一面。電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)坍縮：許多科學(xué)家相信，量子態(tài)是無(wú)法精確測(cè)量的。一旦被測(cè)量，量子物體就會(huì)發(fā)生“坍縮”，從擁有多種可能位置的狀態(tài)變成類似經(jīng)典物體的單一位置。1.2單個(gè)微觀粒子的狀態(tài)——定態(tài)薛定諤方程多質(zhì)點(diǎn)體系動(dòng)力學(xué)的普適動(dòng)力學(xué)方程—拉格朗日方程拉格朗日力學(xué)哈密頓力學(xué)演變啟發(fā)薛定諤方程函數(shù)H稱為哈密頓量或者能量函數(shù)哈密頓正則方程哈密頓—雅可比方程一.哈密頓力學(xué)—微觀粒子的運(yùn)動(dòng)方程二.薛定諤方程薛定諤(奧地利)

ErwinSchrodinger

(1887-1961)薛定諤的貓

1.薛定諤方程的一般表示式自由粒子非自由粒子？三維？三維能量算符自由粒子：力場(chǎng)中的粒子：歸一化常數(shù)推論：對(duì)應(yīng)的相對(duì)概率分布相同，描述相同的狀態(tài)。Ψ（r，t）稱為歸一化波函數(shù)其中波函數(shù)滿足歸一化條件例一維運(yùn)動(dòng)的粒子，描寫(xiě)其狀態(tài)的波函數(shù)為E和a是確定的常數(shù)，A是任意常數(shù)，求（1）歸一化波函數(shù)；（2）幾率分布密度；（3）粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大？

當(dāng)粒子或系統(tǒng)受到外界不隨時(shí)間變化的作用,即勢(shì)函數(shù)V(r)不依賴時(shí)間變化-------定態(tài).2.定態(tài)薛定諤方程=E----定態(tài)薛定諤方程最后得:波函數(shù)應(yīng)滿足的標(biāo)準(zhǔn)化條件波函數(shù)是有限的.波函數(shù)是單值的.波函數(shù)以及它對(duì)坐標(biāo)的一階微商是連續(xù)的.三.物理量與算符1.算符經(jīng)典：基本物理量位置r、動(dòng)量p、勢(shì)能v量子：位置算符、動(dòng)量算符

、勢(shì)能算符

不確定由定態(tài)薛定諤方程看出：哈密頓量H=T+V哈密頓算符動(dòng)能算符勢(shì)能算符衍生算符角動(dòng)量算符動(dòng)能算符能量算符（哈密頓算符）力算符速度算符加速度算符基本算符2.概率波與經(jīng)典物理量微觀粒子的觀測(cè)量=該量的平均值任一函數(shù)f的平均值可表示為：例：位置的平均值動(dòng)量的平均值概率分布隨時(shí)間變化規(guī)律——概率流密度由含時(shí)間的薛定諤方程得到概率流密度上式兩邊同乘m質(zhì)量守恒定律

上式兩邊同乘e電荷守恒定律

上式兩邊同乘N粒子數(shù)守恒定律

1.一維無(wú)限深勢(shì)阱2.一維線性諧振子3.氫原子4.勢(shì)壘貫穿四.定態(tài)問(wèn)題的幾個(gè)實(shí)例熟悉微觀粒子波函數(shù)的求解,分析所得結(jié)果的物理意義,初步了解微觀粒子運(yùn)動(dòng)的主要規(guī)律。定態(tài)薛定諤方程一維無(wú)限深勢(shì)阱一維線性諧振子氫原子勢(shì)壘貫穿1.一維無(wú)限深勢(shì)阱在Ⅱ區(qū)，U（X）=0，則定態(tài)薛定諤方程為再利用歸一化條件：利用波函數(shù)連續(xù)條件：最后得：結(jié)果分析：（3）*能級(jí)分布不均勻。*能量量子化與阱寬a有密切關(guān)系。*n》時(shí)，能級(jí)密集分布，趨于經(jīng)典情況。 （1）能量量子化。（2）最小能量不為零。2.一維線性諧振子將V(x)代入定態(tài)薛定諤方程，得m為振子質(zhì)量，ω為振動(dòng)的角頻率勢(shì)能漸近方程為令有最后解得：

（1）能量量子化。（2）最小能量不為零。（3）△En=hυ能量等間距分布結(jié)果分析：（4）不同的n對(duì)應(yīng)不同波函數(shù)，n很大時(shí)，趨于經(jīng)典情況（4）n很大時(shí)趨于經(jīng)典情況

按照經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，Ⅱ區(qū)是粒子不可能到達(dá)的區(qū)域。量子力學(xué)可以證明，即使E〈U時(shí)，粒子也有一定的幾率穿過(guò)勢(shì)壘而到達(dá)Ⅲ區(qū)。4、勢(shì)壘貫穿相應(yīng)地解分別為：結(jié)論：微觀粒子的能量E〈U0時(shí)，存在穿透勢(shì)壘的可能性。穿透系數(shù)由m、（U0-E）以及a決定。

勢(shì)壘穿透（也稱隧穿效應(yīng)）是一種微觀效應(yīng)，是微觀粒子波動(dòng)性的典型表現(xiàn)，任意形狀勢(shì)壘例,各向同性的介質(zhì)在外電場(chǎng)中的極化問(wèn)題

質(zhì)量為、電荷為e

的離子是在平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)?，F(xiàn)沿x軸方向加一均勻電場(chǎng)，則離子在此方向?yàn)椋何?微擾問(wèn)題電中性介質(zhì)的”分子”可以看成是正負(fù)電荷的復(fù)合體,在平衡位置做小振動(dòng),外場(chǎng)下,正負(fù)電荷平均位置發(fā)生位移,不在重合.微擾定態(tài)薛定諤方程（1）

設(shè)

（2）

（3）（4）將（2）、（3）、（4）代入（1）式，比較兩端同級(jí)的量零級(jí)近似

一級(jí)近似二級(jí)近似（5）（6）（7）下面逐級(jí)求解。求解微擾問(wèn)題，必須分兩種情況考慮：無(wú)微擾時(shí)體系處于非簡(jiǎn)并態(tài)（非簡(jiǎn)并）（1）非簡(jiǎn)并微擾—（2）簡(jiǎn)并微擾—無(wú)微擾時(shí)體系處于簡(jiǎn)并態(tài)（是簡(jiǎn)并的）(1)求任一非簡(jiǎn)并能級(jí)k的零級(jí)近似：(如,諧振子……)代入上式，并注意到(2)求任一非簡(jiǎn)并能級(jí)k的一級(jí)近似：

將1.非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾

則得式中，（8）兩端左乘并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性兩端左乘并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性

微擾矩陣元

它是微擾在零級(jí)波函數(shù)下的平均值。時(shí)，由（8）式得時(shí)，由（8）式得（8）式:那么，能量和波函數(shù)的一級(jí)近似為：式中求和號(hào)中不包含n=k的項(xiàng)。（3）求任一非簡(jiǎn)并能級(jí)k的二級(jí)近似：設(shè)

兩端左乘并積分，且考慮到本征函數(shù)的正交歸一性代入二級(jí)近似方程則可求得能量的二級(jí)近似：零級(jí)一級(jí)修正二級(jí)修正非簡(jiǎn)并微擾適用的條件是：1.3.大量微觀粒子的狀態(tài)

波函數(shù)：ψ1(x),ψ2(x),ψ3(x)……模的平方反映了某個(gè)粒子在位置空間出現(xiàn)的幾率.即粒子關(guān)于空間的分布.

本節(jié)要討論的三個(gè)統(tǒng)計(jì)分布是大量近獨(dú)立的微觀粒子構(gòu)成的平衡態(tài)孤立系統(tǒng)中,粒子按能量的分布規(guī)律.微觀粒子的個(gè)體運(yùn)動(dòng)大量粒子的集體表現(xiàn)統(tǒng)計(jì)方法系統(tǒng)中的粒子可處于一系列分立能級(jí):ε1、ε2、ε3、…εi…上每個(gè)能級(jí)的量子態(tài)數(shù)(簡(jiǎn)并度):g1、g2、g3,…gi….gn每個(gè)能級(jí)分布的粒子數(shù)：n1、n2、n3,…ni….nn分布函數(shù)三個(gè)分布:(1)麥克斯韋-玻爾茲曼分布(M-B)(2)費(fèi)米-狄拉克分布(F-D)(3)玻色-愛(ài)因斯坦分布(B-E)｝量子統(tǒng)計(jì)分布---經(jīng)典統(tǒng)計(jì)分布F-DB-D經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：粒子是可區(qū)分的。量子統(tǒng)計(jì)：粒子是全同、不可區(qū)分的。服從泡利不相容原理。不服從泡利不相容原理。（1）宏觀態(tài)與微觀態(tài)（2）等幾率假設(shè)（3）最可幾分布幾個(gè)概念一.統(tǒng)計(jì)分析原理設(shè)四個(gè)同樣的小球,標(biāo)以a、b、c、d，放在一箱子內(nèi)，雜亂地?fù)u動(dòng)箱子后我們來(lái)觀察小球在箱子中的分布。分布（宏觀態(tài)）abcdacbdadcbbcadbdacdcab

abcdabcdbacdcabddabcbcdaacdbabdcabcdabcd(1)(2)(3)(4)(5)微觀態(tài)abcdacbdadcbbcadbdacdcab

abcdabcdbacdcabddabcbcdaacdbabdcabcdabcd(1)(2)(3)(4)(5)每個(gè)微觀態(tài)出現(xiàn)的幾率等幾率假設(shè)每