信號處理初步-修改稿

中北大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院2008年3月

機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)熊詩波、黃長藝主編1第五章信號處理初步機(jī)械工程測試技術(shù)基礎(chǔ)，第三版本章主要講述內(nèi)容5.1數(shù)字信號處理的基本步驟5.2信號數(shù)字化出現(xiàn)的問題5.3相關(guān)分析及其應(yīng)用5.4功率譜分析及其應(yīng)用2

5.0

概述測試工作的目的獲取研究對象（被測對象）的狀態(tài)和特征信息。信號處理的目的

①分離信、噪，提高信噪比；

②從信號中提取有用的特征信息；

③修正測試系統(tǒng)的某些誤差，如傳感器的線性誤差、溫度影響等。

信號處理可用模擬信號處理系統(tǒng)和數(shù)字信號處理系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn)。3

5.1數(shù)字信號處理的基本步驟5.1.1測試中的數(shù)字信號處理系統(tǒng)系統(tǒng)簡圖，如圖5-1所示。主要環(huán)節(jié)包括：①信號預(yù)處理（信號調(diào)理）；②模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D轉(zhuǎn)換）③數(shù)字信號處理（專用的或通用計(jì)算機(jī)）；④處理結(jié)果顯示45.1.2信號的預(yù)處理1.信號預(yù)處理的目的把信號變換成適于數(shù)字處理的形式，以減輕數(shù)字處理的困難。2.信號預(yù)處理環(huán)節(jié)包括的內(nèi)容

①電壓幅值調(diào)理以便適宜于采樣，總是希望信號電壓峰—峰值足夠大，以便充分利用A/D轉(zhuǎn)換器的精確度。5②抗混濾波

進(jìn)入A/D采樣之前，先濾去信號中的高頻噪聲，以提高信噪比；③隔直如果所測信號不應(yīng)有直流分量，隔離信號中的直流分量；④解調(diào)

如果原信號經(jīng)過調(diào)制，則應(yīng)先進(jìn)行解調(diào)。65.1.3模數(shù)轉(zhuǎn)換模－數(shù)（A/D）轉(zhuǎn)換是將模擬信號采樣、量化，并轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)的過程。5.1.4數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理，主要研究用數(shù)字序列表示信號，采用通用計(jì)算機(jī)或?qū)Ｓ脭?shù)字信號處理器，并用數(shù)字計(jì)算方法對這些離散的時間序列進(jìn)行運(yùn)算處理，以便把信號變換成符合某種需要的形式。7

數(shù)字信號處理的主要內(nèi)容①首先要把長時間序列截斷，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理有限長度的數(shù)據(jù)。②識別、剔除數(shù)據(jù)中的奇異點(diǎn)。由于強(qiáng)干擾或信號丟失，引起的數(shù)據(jù)突變，稱為奇異點(diǎn)。③分離、去除趨勢項(xiàng)。由于溫漂、時漂等系統(tǒng)性干擾，引起信號緩慢變化的成分，稱為趨勢項(xiàng)。其周期大于記錄長度的頻率成分。④如有必要，還可以設(shè)計(jì)專用程序，進(jìn)行數(shù)字濾波。⑤按給定的程序，完成各種分析。包括相關(guān)分析、頻譜分析及信號的識別等。8

5.2信號數(shù)字化出現(xiàn)的問題由傳感器獲得的信號大多數(shù)為模擬信號，用計(jì)算機(jī)處理這些信號時首先要把模擬信號轉(zhuǎn)化成數(shù)字信號。信號數(shù)字化過程包含著一系列步驟，每一步驟都可能引起信號失真或信息丟失。本節(jié)對信號數(shù)字化出現(xiàn)的問題進(jìn)行討論，提出解決這些問題的方法。95.2.0概述現(xiàn)以計(jì)算一個模擬信號的頻譜為例來說明有關(guān)的問題，設(shè)模擬信號的傅里葉變換為（見圖5-2），為了利用數(shù)字計(jì)算機(jī)處理，必須使變換成有限長的離散時間序列

。為此，必須對x(t)進(jìn)行采樣和截斷。10時域采樣采樣就是用一個等時距的周期脈沖序列s(t)，也稱采樣函數(shù)（圖５-３）去乘x(t)。由式（１-６０）可知，s(t)的傅立葉變換S(f)也是周期脈沖序列。根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)，采樣后信號頻譜應(yīng)是X(f)和S(f)的卷積。11卷積的結(jié)果是將它平移，使其中心落在S(f)脈沖序列的頻率點(diǎn)上，如圖（５-４）所示。若X(f)的頻帶大于1/2Ts，平移后的圖形會發(fā)生交疊，如圖（５-４）中虛線所示。采樣后信號的頻譜是這些平移后圖形的疊加，如圖中實(shí)線所示。12截斷由于計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行有限長序列的運(yùn)算，所以必須從采樣后信號的時間序列截取有限長的一段來計(jì)算，其余部分視為零而不予考慮。這等于把采樣后信號乘上一個矩形窗函數(shù)，窗寬為T。所截取的時間序列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)（序列長度）N=T/Ts。窗函數(shù)w(t)的傅立葉變換W(f)如圖（５-５）所示。13時域相乘對應(yīng)著頻域卷積，因此進(jìn)入計(jì)算機(jī)的信號為x(t)s(t)w(t)，是長度為N的離散信號（見圖５-６）。它的頻譜函數(shù)是[X(f)*S(f)*W(f)]，是一個頻域連續(xù)函數(shù)。在卷積中，W(f)的旁瓣引起新頻譜的皺波。14頻域采樣計(jì)算機(jī)按照一定算法，比如離散傅立葉變換（DFT），將N點(diǎn)長的離散時間序列變換成N點(diǎn)的離散頻率序列，并輸出。注意到，x(t)s(t)w(t)的頻譜是連續(xù)的頻率函數(shù)，而計(jì)算后的輸出則是離散的頻率序列。可見對其頻譜[X(f)*S(f)*W(f)]實(shí)施了頻域的采樣處理，使其離散化。15計(jì)算機(jī)的實(shí)際輸出是X(f)p=[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)（５-１）應(yīng)當(dāng)注意到頻域采樣形成的頻域函數(shù)離散化，相應(yīng)地把其時域函數(shù)周期化了，因而x(t)p是一個周期函數(shù)，如圖（５-８）所示。16從以上過程看到，原來希望獲得模擬信號x(t)的頻域函數(shù)X(f)，由于輸入計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是序列長為N的離散采樣后信號x(t)s(t)w(t)，所以計(jì)算機(jī)輸出的是X(f)p。X(f)p不是X(f)，而是用X(f)p來近似代替X(f)。處理過程中的每一個步驟：采樣、截斷、計(jì)算都會引起失真或誤差，必須充分注意。下面討論信號數(shù)字化出現(xiàn)的主要問題。175.2.1時域采樣、混疊和采樣定理把連續(xù)時間信號變成離散時間序列的過程，稱為采樣；在數(shù)學(xué)上，相當(dāng)于用采樣脈沖去乘連續(xù)時間信號；它相當(dāng)于在連續(xù)時間信號上，“摘取”許多離散時刻上信號的瞬時值；各采樣點(diǎn)上的瞬時值，就變成信號脈沖序列的強(qiáng)度；在隨后的量化處理中，這些采樣點(diǎn)上的瞬時值，將被量化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)值。18長度為T的連續(xù)時間信號，可以表示為，從點(diǎn)t=0開始采樣，采樣得到的離散時間序列為（5-2）

19采樣間隔的選擇，是一個需要重視的問題。對照比較下表20舉例：圖5-9說明：圖5-9a，按圖中采樣，所得采樣點(diǎn)無法分辨三條曲線；圖5-9b，采樣間隔太大，采樣頻率太低，將其中高頻信號誤認(rèn)為某種相應(yīng)的低頻信號，出現(xiàn)了所謂的混疊現(xiàn)象21下面具體解釋混疊現(xiàn)象及其避免的辦法。計(jì)算機(jī)采樣，需要使用采樣函數(shù)，時域采樣函數(shù)及其傅里葉變換的數(shù)學(xué)描述如下；（5-3）22由頻域卷積定理可知時域采樣，相當(dāng)于模擬信號與采樣函數(shù)的乘積，對應(yīng)的傅里葉變換為，其數(shù)學(xué)描述如式（5-4）。見圖（5-4）

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不產(chǎn)生混疊的條件如果要求不產(chǎn)生頻率混疊（見圖5-10），首先應(yīng)使被采樣的模擬信號成為有限帶寬的信號。為此，對不滿足此要求的信號，在采樣前，使其通過模擬低通濾波器濾去高頻成分，使其成為帶限信號，為滿足下面要求創(chuàng)造條件。這種處理稱為抗混疊濾波預(yù)處理。其次，應(yīng)使采樣頻率大于帶限信號的最高頻率的2倍，即（5-5）25一個滿足采樣定理，不產(chǎn)生頻率混疊的例子，如圖5-10所示。對于這種沒有混疊的頻譜，可以通過頻域?yàn)V波，完整地取出原信號的頻譜，也就有可能從離散序列，準(zhǔn)確地恢復(fù)原模擬信號；26275.2.3量化和量化誤差模擬信號經(jīng)采樣后在時間軸上已離散，但其幅值仍為連續(xù)的模擬電壓值。將模擬信號采樣后的采樣信號x(t)s(t)的電壓幅值經(jīng)過舍入或截尾的方法轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的二進(jìn)制數(shù)碼的過程，稱副值量化（簡稱量化）。量化過程實(shí)際上是把采樣信號x(t)s(t)經(jīng)過舍入或截尾的方法變?yōu)橹挥杏邢迋€有效數(shù)字的數(shù)的過程。28

若信號x(t)可能出現(xiàn)的最大值A(chǔ)，A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為B，則兩個量化電平的間隔△X=A/2B-1，△X稱為量化增量或量化步長。該過程是將被測信號的變化范圍劃分為若干區(qū)間。每個區(qū)間都用同一個整量化數(shù)字來代替。顯然，只有那些正好位于區(qū)間量化電平上的離散值，才能精確地轉(zhuǎn)換為量化的數(shù)字值，而那些位于區(qū)間內(nèi)的離散值，只能用舍入的辦法，近似到最接近的量化電平上，經(jīng)過舍入或截尾的方法而變?yōu)橛邢拗禃r，必然產(chǎn)生量化誤差，最大量化誤差為△X/2。295.2.4截斷、泄漏和窗函數(shù)實(shí)際上，計(jì)算機(jī)只能對有限長的信號進(jìn)行處理，所以，必須截斷過長的信號時間歷程；截斷，就是對信號加窗；窗寬為的矩形窗函數(shù)，其數(shù)學(xué)描述如下：矩形窗函數(shù)，及其傅里葉變換，如圖5-5所示。30采用矩形窗函數(shù)截斷采樣信號，就是將采樣信號乘以時域有限寬矩形窗函數(shù)；其時域和頻域數(shù)學(xué)描述為（5-7）它們的圖形如圖5-6所示。所截取的時間序列數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，也叫時間序列長度。注意：a）頻譜為連續(xù)的；b）在混疊處附近引起了皺褶。作卷積時窗函數(shù)頻譜的旁瓣會引起皺波。31是一個無限帶寬的函數(shù)，所以，即使是帶限信號，在截斷后也必然成為無限帶寬的信號，這種信號的能量在頻率軸分布擴(kuò)展的現(xiàn)象，稱為泄漏；為了減小截斷帶來的影響，常常需要合理地選擇窗函數(shù)，這也是數(shù)字信號處理中的重要課題之一。窄的主瓣可以提高頻率分辨能力；小的旁瓣可以減小泄漏。325.2.5頻域采樣、時域周期延拓和柵欄效應(yīng)經(jīng)過時域采樣和截斷后，其頻譜在頻域成為連續(xù)的；如果要用數(shù)字描述頻譜，必須在頻域采樣，使頻譜離散化。1.連續(xù)頻譜的離散化過程使用的頻域采樣函數(shù)為頻域采樣函數(shù)及其對應(yīng)的時域函數(shù)如圖5-7所示。

33頻域采樣就是在頻域中用脈沖序列D(f)乘信號的頻譜函數(shù)。在時域相當(dāng)于將信號與一個周期脈沖序列d(t)做卷積，其結(jié)果是將時域信號平移至各脈沖坐標(biāo)位置重新構(gòu)圖，從而相當(dāng)于在時域中將窗內(nèi)的信號波形在窗外進(jìn)行周期延拓。所以，頻率離散化，無疑已將時域信號“改造”成周期信號。342.柵欄效應(yīng)①對函數(shù)實(shí)行采樣，其效果有如透過柵欄的縫隙觀看外景一樣，只有落在縫隙前的少數(shù)景象被看到，其余景象都被柵欄擋住，視為零；這種現(xiàn)象，稱為柵欄效應(yīng)。②不管時域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只是時域采樣時，只要滿足采樣定理，柵欄效應(yīng)不會有什么影響。然而，頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響較大，被柵欄“擋住”或丟失的頻率成分，可能是重要的或具有特征的成分，以至于，可能使整個處理失去意義。355.2.6頻率分辨率、整周期截斷1.頻率分辨率①頻率采樣間隔（5-9）它是頻率分辨率的指標(biāo)。此間隔越小，頻率分辨力越高，被擋住的頻率成分越少。②然而，提高頻率分辨率的途徑只有增加原始信號的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N，從而急劇地增加計(jì)算工作量?？梢姡藘烧呤荄FT算法的一對固有的矛盾。3637

5.3相關(guān)分析及其應(yīng)用相關(guān)分析的用途：①兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系，互相關(guān)；②信號經(jīng)過一定時移前后之間的關(guān)系，自相關(guān)；用例：振動測試、雷達(dá)測距、聲發(fā)射探傷等。385.3.1兩隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)①通常，兩個變量之間若存在著一一對應(yīng)的確定關(guān)系，則稱兩者存在著函數(shù)關(guān)系；②當(dāng)兩個隨機(jī)變量之間具有某種關(guān)系時，隨著某一個變量數(shù)值的確定，另一變量卻可能取許多不同值，但取值有一定的概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，這時稱兩個隨機(jī)變量存在著相關(guān)關(guān)系。39說明：①圖5-11a，表示兩個隨機(jī)變量組成的數(shù)據(jù)點(diǎn)很分散，它們之間是無關(guān)的；②圖5-11b，表示兩個隨機(jī)變量組成的數(shù)據(jù)點(diǎn)，雖無確定關(guān)系，但從統(tǒng)計(jì)結(jié)果、或者從總體看，它們之間大體上具有某種程度的線性關(guān)系，因此，說它們之間有著相關(guān)關(guān)系。5-1140相關(guān)系數(shù)兩個隨機(jī)變量之間的相關(guān)程度，常用相關(guān)系數(shù)表示式中E----數(shù)學(xué)期望μx-----隨機(jī)變量x的圴值，μx=E[x]；μy-----隨機(jī)變量y的圴值，μy=E[y]；σx

、σy-------隨機(jī)變量x、y的標(biāo)準(zhǔn)偏差，41利用柯西－許瓦茲不等式（5-11）可以證明：說明：a.當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布愈接近于一條直線時，的絕對值愈接近1，x和y的線性相關(guān)程度愈好，將這樣的數(shù)據(jù)回歸成直線才愈有意義。b.的正負(fù)號則是表示一變量隨另一變量的增加而增加或減小，表示正相關(guān)，或負(fù)相關(guān)；c.當(dāng)接近于零，則可認(rèn)為x、y兩變量之間完全無關(guān)。425.3.2信號的自相關(guān)函數(shù)③定義自相關(guān)函數(shù)（5-13）43如果把兩個樣本的相關(guān)系數(shù)簡寫作，那么有

⑤顯然和均隨而變化，而且兩者成線性關(guān)系。（5-14）（5-12）44第五章信號處理初步自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，如圖5-13所示。（5-14）（5-15）（5-16）（5-17）（5-18）圖5-1345說明：①正弦函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)是一個余弦函數(shù)；②在=0時具有最大值，但它不隨的增加而衰減至零；③它保留了原正弦信號的幅值和頻率信息，而丟失了初始相位信息。46第五章信號處理初步5-1447說明：①稍加對比就可以看到，自相關(guān)函數(shù)是區(qū)別信號類型的一個有效手段；②只要信號中含有周期成份，其自相關(guān)函數(shù)在很大時都不衰減，并具有明顯的周期性；③不包含周期成分的隨機(jī)信號，當(dāng)稍大時自相關(guān)函數(shù)就將趨近于零；④窄帶隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)則有較慢的衰減特性；⑤寬帶隨機(jī)噪聲的自相關(guān)函數(shù)很快衰減到零。48機(jī)加工表面粗糙度（用輪廓儀測）成因分析。自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用舉例：金鋼石觸針工件自相關(guān)分析電感式傳感器系統(tǒng)構(gòu)成：49100mm5mmRx(t)00.51t/mm圖5-15表面粗糙度與自相關(guān)函數(shù)50自相關(guān)圖呈現(xiàn)周期性，表明造成表面粗糙度的原因中，包含有某種周期因素；從自相關(guān)圖，可以確定該周期因素的頻率，進(jìn)一步可以分析起因。根據(jù)加工該工件的機(jī)械設(shè)備中的各個運(yùn)動部件的運(yùn)動頻率（如電動機(jī)的轉(zhuǎn)速，拖板的往復(fù)運(yùn)動次數(shù)，液壓系統(tǒng)的油脈動頻率等），通過測算和對比分析，運(yùn)動頻率與6Hz接近的部件的振動，就是造成該粗糙度的主要原因。515.3.3信號的互相關(guān)函數(shù)

（5-19）52互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，如圖5-16所示。（5-20）5-165354555657互相關(guān)函數(shù)的這些性質(zhì)，有重要的工程應(yīng)用價值。它是在噪聲背景下提取有用信息的一個非常有效的手段。①我們對一個線性系統(tǒng)（例如某個部件、結(jié)構(gòu)或某臺機(jī)床）激振，所測得的振動信號中常常含有大量的噪聲干擾；②根據(jù)線性系統(tǒng)的頻率保持性，只有和激振頻率相同的成分，才可能是由激振而引起的響應(yīng)，其它成分均是干擾；因此，只要將激振信號和所測得的響應(yīng)信號進(jìn)行互相關(guān)處理，就可以得到由激振而引起的響應(yīng)幅值和相位差，消除了噪聲干擾的影響；這種應(yīng)用相關(guān)分析原理，來消除信號中的噪聲干擾、提取有用信息的處理方法叫做相關(guān)濾波，它是利用互相關(guān)函數(shù)同頻相關(guān)、不同頻不相關(guān)的性質(zhì)來達(dá)到濾波效果的。58說明：鋼帶表面的反射光經(jīng)透鏡聚焦在相距為的兩個光電池上。反射光強(qiáng)度的波動，通過光電池轉(zhuǎn)換為電信號，再進(jìn)行相關(guān)處理。當(dāng)可調(diào)延時等于鋼帶上某點(diǎn)在兩個測點(diǎn)之間經(jīng)過所需的時間時，互相關(guān)函數(shù)為最大值。該鋼帶的運(yùn)動速度。59工程應(yīng)用例2確定輸油管裂損位置，如圖5-18所示。說明：漏損處K視為向兩側(cè)傳播聲響的聲源，在兩側(cè)管道上分別放置傳感器1和傳感器2，因?yàn)榉艂鞲衅鞯膬牲c(diǎn)距漏損處不等遠(yuǎn)，則漏油的音響傳至兩傳感器就有時差，5-1860工程應(yīng)用例3利用互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行設(shè)備的不解體故障診斷，如圖所示。61若要檢查一小汽車駕駛?cè)俗坏恼駝邮怯砂l(fā)動機(jī)引起的，還是由后橋引起的，可在發(fā)動機(jī)、駕駛?cè)俗?、后橋上布置加速度傳感器，如上圖所示，然后將輸出信號放大并進(jìn)行相關(guān)分析?？梢钥吹?，發(fā)動機(jī)與駕駛?cè)俗坏南嚓P(guān)性較差，而后橋與駕駛?cè)俗坏南嚓P(guān)性較大，因此，可以認(rèn)為駕駛?cè)俗坏恼駝又饕善嚭髽虻恼駝右鸬摹?2

5.4功率譜分析及其應(yīng)用時域中的相關(guān)分析，是在噪聲背景下提取有用信息的重要手段；而功率譜分析，則在頻域中提供與之對應(yīng)的信息；它是研究平穩(wěn)隨機(jī)過程的重要方法。635.4.1自功率譜密度函數(shù)1.自功率譜密度的定義及其物理意義假定隨機(jī)過程的均值為零，且沒有周期分量，即則滿足傅里葉變換的絕對可積條件②

令等于的傅里葉變換，則兩者互為傅里葉變換對，64定義為的自功率譜密度函數(shù)，稱為自譜。雙邊功率譜與單邊功率譜，如圖5-22所示。65自功率譜密度的物理意義（5-36）

662.巴塞伐爾定理巴塞伐爾定理，也叫能量等式，其數(shù)學(xué)描述為（5-37）它表示：在時域中計(jì)算的信號總能量，等于在頻域中計(jì)算的