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文檔簡介
向量的數(shù)量積本講重點:向量的數(shù)量積公式,數(shù)量積的坐標運算本講難點:數(shù)量積公式及其變形與運用向量的數(shù)量積問題θsF
一個物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s,且F與s的夾角為θ,那么力F所做的功應(yīng)當怎樣計算?其中力F
和位移s是向量,是F
與s
的夾角,而功是數(shù)量.數(shù)量叫做力F
與位移s的數(shù)量積
向量的夾角的定義思考:在如圖等邊三角形中所標三個向量的夾角分別是多大?注意:在兩向量的夾角定義中,兩向量必須是同起點的平面向量的數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,我們把數(shù)量
叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b
,即規(guī)定:零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即0.
(1)兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量,而不是向量,符號由夾角決定
(3)
a·b不能寫成a×b
,a×b
表示向量的另一種運算.(2)一種新的運算法則,以前所學(xué)的運算律、性質(zhì)不適合.例題講解例1.已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角,求a·b.解:a·b=|a||b|cosθ
物理上力所做的功實際上是將力正交分解,只有在位移方向上的力做功.θsF,過點B作垂直于直線OA,垂足為,則|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b
在a
方向上的投影.θ為銳角時,|b|cosθ>0θ為鈍角時,|b|cosθ<0θ為直角時,|b|cosθ=0BOAab討論總結(jié)性質(zhì):(1)e·a=a·e=|a|cos
(2)a⊥ba·b=0
(判斷兩向量垂直的依據(jù))
(3)當a與b同向時,a·b=|a|·|b|,當a與b反向時,a·b=-|a|·|b|
.特別地(4)(5)a·b≤|a|·|b|向量數(shù)量積滿足的運算律向量模的計算例3:已知(a–b)⊥(a+3b),求證:
|a+b|=2|b|解:∵(a–b)⊥(a+3b)
∴(a–b)·(a+3b)=0
即a·a+3a·b–b·a–3b·b=0
即a·a+2a·b–3b·b=0
∴(a+b)2=4b2
即
|a+b|2=4|b|2∴|a+b|
=2|b|例4、已知a、b都是非零向量,且a+3b
與7a–5b
垂直,a–4b
與7a–2b垂直,求a與b的夾角。
解:∵(a+3b
)⊥(7a–
5b)(a–
4b
)⊥(7a–
2b
)
∴(a+3b
)·(7a–5b)
=0且(a–
4b
)·
(7a–
2b
)=0
即7a·a+
16a·b–15b·b=0
7a·a-30a·b+8b·b=0
兩式相減得:2a·b=b2,
代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=(思考題)求證:直徑所對圓周角為直角證明:設(shè)AC是圓O的一條直徑,∠ABC為圓周角,如圖CB0Ab∴∠ABC=900
即直徑所對圓周角為直角a設(shè)AO=a,OB=b,則AB=a+b,OC=a,則BC=OC-OB=a-b∵|a|=|b|∴AB·BC=(a+b)·(a-b)
=a2-b2=|a|2-|b|2=0∴AB⊥BC例4:已知a=(5,0),b=(–3.2,2.4),
求證:(a+b)⊥b
.證明:
∵(a+b)·b
=a·b+b2
=5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42
=0,∴(a+b)⊥b.例6:已知:A、B、C三點坐標分別為(2,0)、(4,2)、(0,4),直線l過A、B兩點,求點C到l的距離.HOABCxyl分析一:如圖,
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