第四章平均指標(biāo)與變異指標(biāo)

統(tǒng)計學(xué)原理第四章平均指標(biāo)與變異指標(biāo)第一節(jié)平均指標(biāo)的概念和作用一、平均指標(biāo)的概念同類社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時間、地點條件下所達(dá)到的一般水平的綜合指標(biāo)。概括地描述統(tǒng)計分布的一般水平或集中趨勢的數(shù)值。特點:代表性、抽象性平均指標(biāo)=總體標(biāo)志總量/總體單位數(shù)二、平均指標(biāo)的作用(一)可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢(二)可以對若干同類現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比較研究(三)可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時間上的變化，說明總體的發(fā)展過程和趨勢(四)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系(五)平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測、決策和某些推算的依據(jù)眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)

算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標(biāo)公式中，1、簡單算術(shù)平均數(shù)

適用于未分組資料，用總體各單位標(biāo)志值加總得到標(biāo)志總量除以總體單位總量而得。計算公式為：代表算術(shù)平均數(shù)。

表示各單位標(biāo)志值。表示總體單位數(shù)。一、算術(shù)平均數(shù)（mean)應(yīng)用：資料未分組，各組出現(xiàn)的次數(shù)都是1。5名學(xué)生的學(xué)習(xí)成績分別為：75、91、64、53、82。則平均成績?yōu)椋阂?、算術(shù)平均數(shù)（mean)按家庭人口數(shù)分組（人）家庭數(shù)1234550150300200100合計800某村800個家庭人口數(shù)根據(jù)以下資料計算某村平均家庭人口數(shù)？2、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

(Weightedmean)

①根據(jù)單項數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算公式：應(yīng)用條件：單項式分組，各組次數(shù)不同。例:某車間20名工人加工某種零件資料：

按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f日產(chǎn)總量xf

14

2

28

15

4

60

16

8

128

17

5

85

18

1

18合計

20

319求平均日產(chǎn)量②根據(jù)組距數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應(yīng)用條件：組距式分組，各組次數(shù)不同。按日產(chǎn)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值x日產(chǎn)總量xf20—30

10

25

25030—40

70

35

245040—50

90

45

415050—60

30

55

1650合計

200

—

8400例：某車間200名工人日產(chǎn)量資料：求平均日產(chǎn)量權(quán)數(shù)對均值的影響

甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下

甲組：

考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：118

乙組：考試成績（x）: 020100

人數(shù)分布（f）：811在組距數(shù)列中，均值大小不僅受組中值大小的影響，也受權(quán)數(shù)的影響，因此（）A.當(dāng)組中值較大且權(quán)數(shù)較大時，均值接近組中值大的一方B.當(dāng)組中值較小且權(quán)數(shù)較小時，均值接近組中值小的一方C.當(dāng)組中值較大而權(quán)數(shù)較小時，均值接近組中值大的一方D.當(dāng)組中值較小而權(quán)數(shù)較大時，均值接近組中值小的一方E.當(dāng)各組的權(quán)數(shù)相同時，權(quán)數(shù)對均值的大小沒有影響

3、是非標(biāo)志的平均數(shù)

是非標(biāo)志:當(dāng)總體單位某種品質(zhì)標(biāo)志的具體表現(xiàn)為“是”與“非”或“有”與“無”兩種情況。

是非標(biāo)志x單位數(shù)f比重

1

0

合計

N

1

平均數(shù)的計算：把具有某種特征的用“1”表示，不具有該種特征的用“0”表示。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95%，不合格率為5%，求是非標(biāo)志平均數(shù)。3、算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）算術(shù)平均數(shù)與標(biāo)志值個數(shù)的乘積等于各標(biāo)志值的總和。簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：（2）各個標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于零。簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：（3）各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的平方和為最小值。4、算術(shù)平均數(shù)特點

1）集中趨勢的最常用測度值2）一組數(shù)據(jù)的均衡點所在3）易受極端值的影響4）用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于定類數(shù)據(jù)和定序數(shù)據(jù)二、調(diào)和平均數(shù)例:一個人步行兩里，走第一里時速度為每小時10里，走第二里時為每小時20里，則平均速度為？二、調(diào)和平均數(shù)1.簡單調(diào)和平均數(shù)：標(biāo)志值的倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。 菜場上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢購買了一種蔬菜共3斤，每斤0.33元；中午降價時又用1元錢買了4斤，每斤0.25元；晚上削價處理又用1元錢買了5斤，每斤0.2元。試問蔬菜平均每斤多少錢？速度

x行走里程

m所需時間

20

1

15

2

10

3

合計

6

2.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)缺少總體單位數(shù)計算公式：例班組平均勞動生產(chǎn)率x實際工時產(chǎn)品產(chǎn)量(件)m一

10

100

1000二

12

200

2400三

15

300

4500四

20

300

6000五

30

200

6000合計

—1100

19900車間投入量產(chǎn)出量合格率

%x一

1000

800

80二

800

720

90三

720

504

70例：某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需經(jīng)過三個連續(xù)作業(yè)車間才能完成。三、幾何平均數(shù)(geometricmean)

1、簡單幾何平均數(shù)2、加權(quán)幾何平均數(shù)應(yīng)用條件：資料未分組（各變量值次數(shù)都是1）。計算公式：應(yīng)用條件：資料經(jīng)過分組，各組次數(shù)不同。計算公式：年份累計存款額本利率%第1年105%第2年105%第3年108%………第10年112%例：將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計算平均年利率？設(shè)本金為本利率x年數(shù)f

105%

2

108%

3

110%

3

112%

2合計

10平均年利率=8.77%三種平均數(shù)之間的關(guān)系H≤G≤X四、眾數(shù)(mode)1.定義：眾數(shù)是指社會現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。1)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值2)適合于數(shù)據(jù)量較多時使用3)不受極端值的影響4）一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)眾數(shù)(不惟一性)無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):65

9855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828

3642422.眾數(shù)的確定1)單項式分配數(shù)列：出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值2)組距式分配數(shù)列：由組距數(shù)列確定眾數(shù)，先確定眾數(shù)組，再通過一定的公式計算眾數(shù)的近似值。4、單項式數(shù)列

不同品牌飲料的頻數(shù)分布

飲料品牌頻數(shù)比例百分比(%)

可口可樂旭日升冰茶百事可樂匯源果汁露露15119690.300.220.180.120.183022181218合計501100解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個分類變量，不同類型的飲料就是變量值所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即

Mo＝可口可樂按日產(chǎn)量分組（件）工人數(shù)（人）20152130222023104）組距式數(shù)列確定眾數(shù)的公式下限公式：

上限公式：

例：年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）5以下2405—64806—711007—87008—93209以上160合計3000農(nóng)戶年人均收入眾數(shù)計算表判斷法則1、當(dāng)眾數(shù)相鄰的兩組次數(shù)相等時，則眾數(shù)組的組中值就是眾數(shù)；2、當(dāng)眾數(shù)組前一組的次數(shù)較多，后一組的次數(shù)較少時，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)靠近他的下限；3、當(dāng)眾數(shù)組后一組次數(shù)較多，前一組的次數(shù)較少時，則眾數(shù)在眾數(shù)組內(nèi)靠近他的上限。五、中位數(shù)(median）

1、中位數(shù)的含義：將總體各單位按其標(biāo)志值大小順序排列起來居于中間位置的那個數(shù)。2、確定中位數(shù)的方法（1）由未分組資料確定中位數(shù)排序找中間位置中位數(shù)？

【例】

9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):

15007507801080850960200012501630排序:

75078085096010801250150016302000位置:1234

56789中位數(shù)1080中位數(shù)？【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:

1234

56789101、未分組資料確定中位數(shù)的方法：將總體各單位的標(biāo)志值按照大小順序排列當(dāng)總體單位數(shù)n為奇數(shù)時：當(dāng)總體單位數(shù)n為偶數(shù)時：（2）分組數(shù)列確定中位數(shù)

——

累計頻數(shù)到50％所對應(yīng)的變量值例：按日產(chǎn)量分組（件）x工人數(shù)（人）f累計次數(shù)向上累計向下累計20101080221525702430555526258025合計80——定序數(shù)據(jù)的中位數(shù)解：中位數(shù)的位置為

300/2＝150

從累計頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中中位數(shù)為

Me=一般甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計頻數(shù)

非常不滿意不滿意

一般

滿意非常滿意

2410893

4530

24132225270300合計300—（3）由組距數(shù)列確定中位數(shù)計算公式例年人均純收入（千元）農(nóng)戶數(shù)（戶）向上累計次數(shù)5以下2402405—64807206—7110018207—870025208—932028409以上1603000合計3000—(1)計算累計次數(shù)(2)確定中位數(shù)組(3)根據(jù)中位數(shù)計算公式計算中位數(shù)中位數(shù)位次：2、單項式分組資料確定中位數(shù)當(dāng)為奇數(shù)時：，當(dāng)為偶數(shù)時,3、組距式分組資料確定中位數(shù)下限公式： 上限公式：六、眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較

1、區(qū)別：1）

三者的含義不相同；2）

三者的計算（確定）方法不同；3）對數(shù)據(jù)的“靈敏度”和“概括能力”不同。2、聯(lián)系：（1）

三者都是作為反映總體一般水平（或集中趨勢）的平均指標(biāo)：（2）

三者之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，A.在對稱的正態(tài)分布條件下：算術(shù)平均數(shù)等于眾數(shù)等于中位數(shù)：B.在非對稱正態(tài)分布的情況下，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)三者的差別取決于偏斜的程度，偏斜的程度越大，它們之間的差別越大。

3眾數(shù)、中位數(shù)、和算術(shù)平均數(shù)和的關(guān)系對稱分布左偏分布右偏分布眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗公式為：算術(shù)平均數(shù)和眾數(shù)的距離約等于算術(shù)平均數(shù)與中位數(shù)距離的三倍：七、其他分位數(shù)1、四分位數(shù)(quartile)

1）能夠?qū)⒖傮w單位按標(biāo)志值大小等分為四部分的三個數(shù)值。（排序）2）不受極端值的影響3）主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)QLQMQU25%25%25%25%

(例題分析)解：QL位置=(300+1)/4=75.25QU位置=3×(300+1)/4=225.75

從累計頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中四分位數(shù)為

QL

=不滿意

QU

=一般甲城市家庭對住房狀況評價的頻數(shù)分布回答類別甲城市戶數(shù)(戶)累計頻數(shù)

非常不滿意

不滿意一般

滿意非常滿意

2410894

4430

24132226270300合計300—數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910數(shù)據(jù)類型與集中趨勢測度值數(shù)據(jù)類型和所適用的集中趨勢測度值數(shù)據(jù)類型定類數(shù)據(jù)定序數(shù)據(jù)定距數(shù)據(jù)定比數(shù)據(jù)適用的測度值※眾數(shù)※中位數(shù)※均值※均值—四分位數(shù)眾數(shù)調(diào)和平均數(shù)—眾數(shù)中位數(shù)幾何平均數(shù)——四分位數(shù)中位數(shù)———四分位數(shù)———眾數(shù)第二節(jié)分布的離中趨勢一、變異指標(biāo)的含義與作用1.定義：變異指標(biāo)以平均數(shù)為中心，總體各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。變異指標(biāo)值越大，表明總體各單位標(biāo)志的變異程度越大。2.作用：（1）衡量平均指標(biāo)的代表性。（2）研究總體標(biāo)志值分布偏離正態(tài)的情況。（3）進(jìn)行抽樣推斷等統(tǒng)計分析的一個基本指標(biāo)。

二、極差（全距）(range)1、一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差2、易受極端值影響3、未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910

R

=max(xi)-min(xi)4、計算公式為例：5名學(xué)生的成績?yōu)?0、69、76、88、97。分位差

1）剔除了部分極端值計算的類似于極差的指標(biāo)。

2）內(nèi)四分位間距：QR=Q3-Q13）四分位差：QD=(Q3-Q1)/2三、平均差標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差平均值。實質(zhì)：以算術(shù)平均數(shù)為中心，各標(biāo)志值距平均數(shù)的平均距離。第一組第二組XX-|X-|XX-|X-|20-404050-101025-353551-9930-303052-8835-252553-7750-101056-44701010600075151562228525257111119030307212121206060731313合計280合計76四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差(varianceandstandarddeviation)方差：各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。（一）數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差：方差的平方根，也稱均方差。1、數(shù)量標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差計算，其計算公式為：資料未分組：資料已分組：例：求產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差日產(chǎn)量（件）209221230241269合計20練習(xí)：日產(chǎn)量（公斤）工人數(shù)f組中值x20—301025288030—407035343040—50904581050—6030555070合計200—12190趣味問題故事情節(jié)有六評委對表演者A，B進(jìn)行評分。以平均成績多少作為取勝標(biāo)準(zhǔn)。六個評委依次對表演者的評分如右。評委1~5都一致認(rèn)為表演者A更優(yōu)秀，結(jié)果取勝的是B!!!評委表演者A表演者B171682888539591476735575567090

（1）變量的方差等于變量平方的平均數(shù)減去變量平均數(shù)的平方。2、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)學(xué)性質(zhì)即：

（2）變量對算術(shù)平均數(shù)的方差小于對任何常數(shù)的方差。

（3）變量線性變換的方差等于變量的方差乘以變量系數(shù)的平方。（二）是非標(biāo)志的方差與標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的平均數(shù)為P。標(biāo)志值x單位數(shù)f10合計N由于標(biāo)準(zhǔn)差有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，它的應(yīng)用最為廣泛。例：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品合格率為95％，不合格率為5％，求是非標(biāo)志的方差及標(biāo)準(zhǔn)差。方差與標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)如果每月工資500元或1000元，你會感覺差距如何？如果每月工資10000元或10500元，你又感覺差距如何？五、變異系數(shù)

(coefficientofvariation)1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比2.對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度3.消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響4.用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計算公式為變異系數(shù)某管理局所屬8家企業(yè)的產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)企業(yè)編號產(chǎn)品銷售額（萬元）x1銷售利潤（萬元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所屬的8家企業(yè)，其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表。試比較產(chǎn)品銷售額與銷售利潤的離散程度變異系數(shù)結(jié)論：計算結(jié)果表明，v1<v2，說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.710東方制造公司和西京自來水公司股票的報酬率及其概率分布情況詳見下表，試計算兩家公司的風(fēng)險性大小。東方制造公司和西京自來水公司股票報酬率的概率分布經(jīng)濟(jì)情況該種經(jīng)濟(jì)情況發(fā)生的概率(pi)報酬率(Ki)西京自來水公司東方制造公司繁榮0.2040％70％一般0.6020％20％衰退0.200％-30％比較兩個公司職工的平均工資水平哪個更均衡。月工資額（元）甲公司人數(shù)乙公司人數(shù)1000以下1000～15001500～20002000以上10201555102510合計5050練習(xí)：1、原點矩：是K階動差的一般形式，公式為：一、原點矩和中心矩

一階E（X）=

二階E（X2）=第四節(jié)偏度和峰度

2、中心矩：如果把原點移動到算術(shù)平均數(shù)的位置，就可以得到一個以頻數(shù)分配各組標(biāo)志值對平均數(shù)的K階中心動差，即稱中心矩。

二、偏度（一）概念變量數(shù)列偏斜程度的指標(biāo)，分布不對稱的方向和程度偏態(tài)系數(shù)=0為對稱分布偏態(tài)系數(shù)>0為右偏分布偏態(tài)系數(shù)<0為左偏分布（二）計算公式左偏分布右偏分布偏態(tài)分布的形狀三、峰度（一）概念要點

1、變量數(shù)列頂部扁平程度的測度