2022年上海春季高考數(shù)學(xué)試卷真題及答案詳解(精校版)

第第頁2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷真題及答案詳解一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i為虛數(shù)單位），則z=2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），則A∩B＝．3．（4分）不等式x?1x＜0的解集為4．（4分）若tanα＝3，則tan（α+π4）＝5．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3的反函數(shù)為f﹣1（x），則f﹣1（27）＝．6．（4分）在（x3+1x）12的展開式中，則含1x7．（5分）若關(guān)于x，y的方程組x+my=2mx+16y=8有無窮多解，則實(shí)數(shù)m的值為8．（5分）已知在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，則△ABC的外接圓半徑為9．（5分）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為.（用數(shù)字作答）10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則MP→?CP→的最小值為11．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)均在雙曲線Γ：x2a2?y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，則實(shí)數(shù)12．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝lnx，若將方程f（x）＝x+1的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為x1，x2，x3，…，xn，則limn→∞（xn+1﹣xn）＝二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．（5分）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）A．y=x?12 B．y＝x﹣1 C．y=14．（5分）若a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc15．（5分）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）A．0 B．2 C．4 D．1216．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，則下列選項(xiàng)判斷正確的是（）A．若S2022＞S2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．若T2022＞T2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021 D．若數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17．（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為O、O1，AA1為圓柱的母線，底面半徑長為1．（1）若AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，求直線MO1與上底面所成角的大?。唬ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過OO1的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．18．（14分）已知在數(shù)列{an}中，a2＝1，其前n項(xiàng)和為Sn．（1）若{an}是等比數(shù)列，S2＝3，求limn→∞Sn（2）若{an}是等差數(shù)列，S2n≥n，求其公差d的取值范圍．19．（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD，AB＝30m，AD＝15m．為保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為AB邊上的點(diǎn)E，出線口為CD邊上的點(diǎn)F，施工要求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．（計(jì)算長度精確到0.1m，計(jì)算面積精確到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的長；（2）當(dāng)入線口E在AB上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？20．（16分）已知橢圓Γ：x2a2+y2＝1（a＞1），A、B兩點(diǎn)分別為Γ的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)均在直線l：x＝（1）設(shè)F是橢圓Γ的右焦點(diǎn)，且∠AFB=π（2）若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請(qǐng)判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓Γ上，并說明理由；（3）設(shè)直線AD、BC分別交橢圓Γ于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求|CD|的最小值．21．（18分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，現(xiàn)有兩種對(duì)f（x）變換的操作：φ變換：f（x）﹣f（x﹣t）；ω變換：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t為大于0的常數(shù)．（1）設(shè)f（x）＝2x，t＝1，g（x）為f（x）做φ變換后的結(jié)果，解方程：g（x）＝2；（2）設(shè)f（x）＝x2，h（x）為f（x）做ω變換后的結(jié)果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）設(shè)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞增，f（x）先做φ變換后得到u（x），u（x）再做ω變換后得到h1（x）；f（x）先做ω變換后得到v（x），v（x）再做φ變換后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，證明：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．

2022年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1．（4分）已知z＝2+i（其中i為虛數(shù)單位），則z=2﹣i【解答】解：∵z＝2+i，∴z=2?i故答案為：2﹣i．2．（4分）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），則A∩B＝（1，2）．【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），∴A∩B＝（1，2）．故答案為：（1，2）．3．（4分）不等式x?1x＜0的解集為【解答】解：由題意得x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，故不等式的解集（0，1）．故答案為：（0，1）．4．（4分）若tanα＝3，則tan（α+π4）＝【解答】解：若tanα＝3，則tan（α+π4）故答案為：﹣2．5．（4分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3的反函數(shù)為f﹣1（x），則f﹣1（27）＝3．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3的反函數(shù)為f﹣1（x），整理得f?1所以f﹣1（27）＝3．故答案為：3．6．（4分）在（x3+1x）12的展開式中，則含1x【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1＝C12k（x3）12﹣k（1x）k＝C12kx36﹣4k得k＝10，即T11＝C1210x﹣4=66故答案為：66．7．（5分）若關(guān)于x，y的方程組x+my=2mx+16y=8有無窮多解，則實(shí)數(shù)m的值為4【解答】解：根據(jù)題意，若關(guān)于x，y的方程組x+my=2mx+16y=8則直線x+my＝2和mx+16y＝8重合，則有1×16＝m×m，即m2＝16，解可得m＝±4，當(dāng)m＝4時(shí)，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，當(dāng)m＝﹣4時(shí)，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故m＝4．故答案為：48．（5分）已知在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，AC＝3，則△ABC的外接圓半徑為21【解答】解：在△ABC中，∠A=π3，AB＝2，利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB?AC?cosA，整理得BC=7所以BCsinA=2R，解得R故答案為：2139．（5分）用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則這些四位數(shù)中比2134大的數(shù)字個(gè)數(shù)為17.（用數(shù)字作答）【解答】解：根據(jù)題意，用數(shù)字1、2、3、4組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，當(dāng)其千位數(shù)字為3或4時(shí)，有2A33＝12種情況，即有12個(gè)符合題意的四位數(shù)，當(dāng)其千位數(shù)字為2時(shí)，有6種情況，其中最小的為2134，則有6﹣1＝5個(gè)比2134大的四位數(shù)，故有12+5＝17個(gè)比2134大的四位數(shù)，故答案為：17．10．（5分）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則MP→?CP→的最小值為?【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系如下，則B（2，0），C（0，2），M（1，0），直線BC的方程為x2+y2=點(diǎn)P在直線上，設(shè)P（x，2﹣x），∴MP→=（x﹣1，2﹣x），CP→=（∴MP→?CP→=x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x∴MP→?CP→的最小值為故答案為：?911．（5分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)均在雙曲線Γ：x2a2?y2＝1（a＞0）的右支上，若x1x2＞y1y2恒成立，則實(shí)數(shù)【解答】解：設(shè)P2的對(duì)稱點(diǎn)P3（x2，﹣y2）仍在雙曲線右支，由x1x2＞y1y2，得x1x2﹣y1y2＞0，即OP∴∠P1OP3恒為銳角，即∠MON≤90°，∴其中一條漸近線y=1ax的斜率∴a≥1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．故答案為：[1，+∞）．12．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝lnx，若將方程f（x）＝x+1的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為x1，x2，x3，…，xn，則limn→∞（xn+1﹣xn）＝2【解答】解：∵函數(shù)y＝f（x）為定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于x＝1對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝lnx，∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，圖象如圖：將方程f（x）＝x+1的正實(shí)數(shù)根從小到大依次記為x1，x2，x3，…，xn，則limn→∞（xn+1﹣xn∴l(xiāng)imn→∞（xn+1﹣xn故答案為：2．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13．（5分）下列函數(shù)定義域?yàn)镽的是（）A．y=x?12 B．y＝x﹣1 C．y=【解答】解：y=x?12=y=x?1=1xy=x13y=x12=x∴定義域?yàn)镽的是y=x故選：C．14．（5分）若a＞b＞c＞d，則下列不等式恒成立的是（）A．a(chǎn)+d＞b+c B．a(chǎn)+c＞b+d C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)d＞bc【解答】解：對(duì)于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，滿足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正確，對(duì)于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，滿足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，滿足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D錯(cuò)誤．故選：B．15．（5分）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級(jí)收攏的四面鐘樓，如圖，四個(gè)大鐘分布在四棱柱的四個(gè)側(cè)面，則每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)）相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為（）A．0 B．2 C．4 D．12【解答】解：3點(diǎn)時(shí)和9點(diǎn)時(shí)相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直，∴每天0點(diǎn)至12點(diǎn)（包含0點(diǎn)，不含12點(diǎn)），相鄰兩鐘面上的時(shí)針相互垂直的次數(shù)為2，故選：B．16．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，則下列選項(xiàng)判斷正確的是（）A．若S2022＞S2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B．若T2022＞T2021，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021 D．若數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，則a2022≥a2021【解答】解：如果數(shù)列a1＝﹣1，公比為﹣2，滿足S2022＞S2021，但是數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以A不正確；如果數(shù)列a1＝1，公比為?12，滿足T2022＞T2021，但是數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以如果數(shù)列a1＝1，公比為12，Sn=1?(12)n12=2（1?12數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正確，所以D正確；故選：D．三、簡答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17．（14分）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為O、O1，AA1為圓柱的母線，底面半徑長為1．（1）若AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，求直線MO1與上底面所成角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（2）若圓柱過OO1的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積．【解答】解：（1）因?yàn)锳A1為圓柱的母線，所以AA1垂直于上底面，所以∠MO1A1是直線MO1與上底面所成角，tan∠MO1A1=A所以∠MO1A1＝arctan2．（2）因?yàn)閳A柱過OO1的截面為正方形，所以AA1＝2，所以圓柱的體積為V＝πr2h＝π?12?2＝2π，圓柱的側(cè)面積為S＝2πrh＝2π?1?2＝4π．18．（14分）已知在數(shù)列{an}中，a2＝1，其前n項(xiàng)和為Sn．（1）若{an}是等比數(shù)列，S2＝3，求limn→∞Sn（2）若{an}是等差數(shù)列，S2n≥n，求其公差d的取值范圍．【解答】解：（1）在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，S2＝3，則a1＝2，∴公比q=12，則∴l(xiāng)imn→∞Sn=（2）若{an}是等差數(shù)列，則S2n=即（3﹣2n）d≤1，當(dāng)n＝1時(shí)，d≤1；當(dāng)n≥2時(shí)，d≥13?2n恒成立，∵13?2n∈綜上所述，d∈[0，1]．19．（14分）為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處要架空線入地的矩形地塊ABCD，AB＝30m，AD＝15m．為保護(hù)D處的一棵古樹，有關(guān)部門劃定了以D為圓心、DA為半徑的四分之一圓的地塊為歷史古跡封閉區(qū)．若空線入線口為AB邊上的點(diǎn)E，出線口為CD邊上的點(diǎn)F，施工要求EF與封閉區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．（計(jì)算長度精確到0.1m，計(jì)算面積精確到0.01m2）（1）若∠ADE＝20°，求EF的長；（2）當(dāng)入線口E在AB上的什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？【解答】解：（1）作DH⊥EF，垂足為H，則EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；（2）設(shè)∠ADE＝θ，則AE＝15tanθ，F(xiàn)H＝15tan（90°﹣2θ），S四邊形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2×12×15×15tan=152（30tanθ+15cot2θ）=152（30tanθ+15當(dāng)且僅當(dāng)3tanθ=1tanθ，即tanθ=33時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AE＝15tanθ＝53，最大面積為450?20．（16分）已知橢圓Γ：x2a2+y2＝1（a＞1），A、B兩點(diǎn)分別為Γ的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)均在直線l：x＝（1）設(shè)F是橢圓Γ的右焦點(diǎn)，且∠AFB=π（2）若C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請(qǐng)判斷直線AD與直線BC的交點(diǎn)是否在橢圓Γ上，并說明理由；（3）設(shè)直線AD、BC分別交橢圓Γ于點(diǎn)P、點(diǎn)Q，若P、Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求|CD|的最小值．【解答】解：（1）由題可得B（0，﹣1），F(xiàn)（c，0），因?yàn)椤螦FB=π6，所以tan∠AFB=bc=1所以a2＝1+（3）2＝4，故Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24（2）直線AD與直線BC的交點(diǎn)在橢圓上，由題可得此時(shí)A（﹣a，0），B（0，﹣1），C（a，2），D（a，1），則直線BC：y=3ax﹣1，直線AD：y=12ax+12，交點(diǎn)為（故直線AD與直線BC的交點(diǎn)在橢圓上；（3）B（0，﹣1），P（acosθ，sinθ），則直線BP：y=sinθ+1acosθx﹣1，所以C（a，A（﹣a，0），Q（﹣acosθ，﹣sinθ），則直線AQ：y=sinθacosθ?a（x+a），所以D（a，所以|CD|=sinθ+1cosθ?設(shè)tanθ2=t，則|CD|＝2（因?yàn)?a+1則|CD|≥6，即|CD|的最小值為6．21．（18分）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，現(xiàn)有兩種對(duì)f（x）變換的操作：φ變換：f（x）﹣f（x﹣t）；ω變換：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t為大于0的常數(shù)．（1）設(shè)f（x）＝2x，t＝1，g（x）為f（x）做φ變換后的結(jié)果，解方程：g（x）＝2；（2