流體力學(xué) 第1章

流體力學(xué)李忠賢E-mail:lizhongxian@南京信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院2流體力學(xué)是研究流體（宏觀）運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及流體與固體之間相互作用等方面的一門學(xué)科。水－－液體空氣－－氣體流體地球物理流體海洋大氣自然界的物質(zhì),按照其凝聚態(tài)（或分子平均間距）的不同，可以分為固體、液體和氣體，液體和氣體統(tǒng)稱為流體。第1章流體力學(xué)的基礎(chǔ)概念3(1)流動(dòng)性流體的抗拉強(qiáng)度很小，只有在適當(dāng)?shù)募s束下才能承受壓力；處于靜止?fàn)顟B(tài)的流體不能承受任何剪切力作用，即在不論怎樣小的剪切力作用下，流體將發(fā)生連續(xù)不斷的變形，直到剪切力消失時(shí)，流體的變形才會(huì)停止。流體的這一特性稱之為流動(dòng)性。1.1流體的主要物理性質(zhì)第1節(jié)流體的物理性質(zhì)和宏觀模型4(2)黏性處于相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)流體對(duì)剪切形變的阻礙的度量。當(dāng)流體層之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，流體就會(huì)反抗這種相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使流體漸漸失去相對(duì)運(yùn)動(dòng)；這種阻礙流體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的特性，稱為黏性。1.1流體的主要物理性質(zhì)第1節(jié)流體的物理性質(zhì)和宏觀模型5(3)壓縮性流體體積在外力作用下可以改變的特性。液體的壓縮性一般情況下很小，可略去不計(jì)，可視為不可壓縮流體。例如，水在溫度不變條件下，每增加一個(gè)大氣壓，體積減少率為0.005%。但在壓力變化很大或很突然時(shí)，則液體的壓縮性必須考慮。氣體的壓縮性一般較大，一般不能當(dāng)做不可壓縮流體處理。例如，空氣在溫度不變條件下，當(dāng)壓力由1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓增加到1.1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓時(shí)，體積減小率為0.1。真實(shí)流體都是可壓縮的，不可壓縮流體是一種抽象的理論模型，是對(duì)流場(chǎng)中體積（密度）變化較小的實(shí)際流體的一種近似。1.1流體的主要物理性質(zhì)第1節(jié)流體的物理性質(zhì)和宏觀模型6

在普通物理的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中，通常把實(shí)際物體抽象概括為“質(zhì)點(diǎn)”這樣一個(gè)理論模型，較簡(jiǎn)便地研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

流體力學(xué)中也需要把實(shí)際流體抽象概括為一個(gè)宏觀理論模型，再來(lái)討論它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這里理論模型不是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)中的“質(zhì)點(diǎn)”，而是下文所介紹的連續(xù)介質(zhì)。

7實(shí)際流體是由無(wú)數(shù)流體分子（2.7X1019/cm3）構(gòu)成的不連續(xù)的離散系。若以單個(gè)分子為研究對(duì)象，由于其運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性，相應(yīng)的物理量（如分子速度）隨時(shí)間作隨機(jī)變化，同時(shí)由于分子間存在間距，則物理量（如分子速度）在空間上存在不連續(xù)性。因而將流體視為分子構(gòu)成的粒子系求解流體運(yùn)動(dòng)方程是不可能的。1.2流體的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)日常生活中所指的流體運(yùn)動(dòng)，屬于經(jīng)典力學(xué)范疇的宏觀運(yùn)動(dòng)，它并不要求涉及分子運(yùn)動(dòng)和分子的微觀結(jié)構(gòu)。連續(xù)介質(zhì)假設(shè)：把離散分子構(gòu)成的實(shí)際流體抽象為由無(wú)數(shù)流體質(zhì)點(diǎn)沒有空隙的連續(xù)分布而構(gòu)成的連續(xù)介質(zhì)這樣一種理想的物理模型。使用這一模型可以簡(jiǎn)化流體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)分析，描述流體物理性質(zhì)的各種物理量均視為時(shí)間和空間的連續(xù)函數(shù)，可直接應(yīng)用牛頓定律及相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具（如，微積分）。89流體質(zhì)點(diǎn)，是宏觀質(zhì)點(diǎn)，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)均包含大量分子，流體質(zhì)點(diǎn)所具有的宏觀物理性質(zhì)是所含分子相應(yīng)物理性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)平均。在微觀上足夠大，以保證流體質(zhì)點(diǎn)中包含足夠多的分子，對(duì)它們進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均能取得穩(wěn)定的宏觀量值，不會(huì)因少量分子出入流體質(zhì)點(diǎn)而影響該宏觀量值；同時(shí)，又要求宏觀上充分地小，要求流體質(zhì)點(diǎn)的線尺度和流動(dòng)范圍相比要充分地小，以致可以把流體質(zhì)點(diǎn)近似地看成在幾何沒有維度的點(diǎn)。流體質(zhì)點(diǎn)10例如，在通常條件下，1cm3的空氣中含有2.7x1019個(gè)分子。因此，取10-3cm為邊長(zhǎng)的立方體作為流體質(zhì)點(diǎn)，它對(duì)于一般流動(dòng)規(guī)模已是充分地小，可當(dāng)作一點(diǎn)（宏觀上充分?。?，而它還含有2.7x1010個(gè)分子，可認(rèn)為它在微觀上充分大，足夠具有確定的統(tǒng)計(jì)平均效應(yīng)。對(duì)于大多數(shù)情況的流體，一般均可以當(dāng)做連續(xù)介質(zhì)來(lái)考慮，但對(duì)稀薄氣體運(yùn)動(dòng)或空氣動(dòng)力學(xué)中的激波區(qū)則流體連續(xù)介質(zhì)模型不能使用。在50km左右（平流層頂以下）的高空大氣，仍然可以作為連續(xù)介質(zhì)。本課程僅討論連續(xù)介質(zhì)模型適用的情況。1112(1)拉格郎日(Lagrange)方法（隨體觀點(diǎn)）該方法觀察流體運(yùn)動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)是設(shè)法描述每一個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)自始至終的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，即它們的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。第2節(jié) 流體的速度和加速度2.1描寫流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法13考慮確定的參考系，取流體質(zhì)點(diǎn)的位置矢徑為，且可以表示為：Oxyz笛卡爾坐標(biāo)系如果x,y,z在流體域內(nèi)連續(xù)取值，則上式就描述了流體域所有流體質(zhì)點(diǎn)的位置。14假定某一流體質(zhì)點(diǎn)的初始時(shí)刻位置位于點(diǎn)：則該流體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的位置矢徑為，可以表示為：分量形式：變量x,y,z為L(zhǎng)agrange變量。15Lagrange觀點(diǎn)下有： 據(jù)速度的定義，求位置矢量隨時(shí)間的變化率，即：Lagrange觀點(diǎn)下流體運(yùn)動(dòng)的速度16例1-2-1已知Lagrange變量，求流體運(yùn)動(dòng)的速度。17(2)歐拉(Euler)方法（場(chǎng)的觀點(diǎn)）該方法觀察流體運(yùn)動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)是設(shè)法描述任意瞬時(shí)流體質(zhì)點(diǎn)的物理量(例如，溫度、壓強(qiáng)、速度矢量等)在空間場(chǎng)的分布。18

流體運(yùn)動(dòng)的流速矢量是空間和時(shí)間的函數(shù):分量形式：Euler觀點(diǎn)下流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)19分量形式：上式通常稱為流速場(chǎng)或流場(chǎng)。Euler觀點(diǎn)下流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)變量u,v,w為Euler變量。20若某時(shí)刻流場(chǎng)不隨空間變化-----------均勻流場(chǎng)；反之，為非均勻流場(chǎng)；若流場(chǎng)不隨時(shí)間變化-----------定常（穩(wěn)定）流場(chǎng)；反之，為非定常（不穩(wěn)定）場(chǎng)。幾個(gè)與流場(chǎng)有關(guān)的基本概念Euler觀點(diǎn)下流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)21例1-2-2已知Lagrange變量，其中均為常數(shù),且，求流體運(yùn)動(dòng)的加速度。2.2流體運(yùn)動(dòng)的加速度加速度是指流體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量隨時(shí)間的變化率，即：22已知Euler變量，求流體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)例如流體速度場(chǎng)如下：Euler觀點(diǎn)下的流體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)23求解Euler觀點(diǎn)下的流體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)24引入那勃勒算子25定義微商算符：上式適用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如溫度、氣壓等標(biāo)量。26物理意義？27微商算符的常用形式：①②③普通情況下：

物理量的局地變化由兩部分組成，個(gè)別變化和平流變化。28流體運(yùn)動(dòng)加速度場(chǎng)產(chǎn)生的原因流體運(yùn)動(dòng)加速度場(chǎng)產(chǎn)生的原因：流場(chǎng)的非定常性和非均勻性。定常流場(chǎng)均勻流場(chǎng)29例題1-2-3已知流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)如下，分別求流體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)；并說(shuō)明各種情況下產(chǎn)生加速度的原因。（a為常數(shù)）；（m、n為常數(shù)）；

①②③30例題1-2-4已知流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)，求流體運(yùn)動(dòng)的加速度場(chǎng)。31第3節(jié)跡線和流線流體運(yùn)動(dòng)的物理圖象？直觀和形象地描述流體的運(yùn)動(dòng)情況跡線和流線的概念引入323.1跡線用拉格朗日方法描述流體的流動(dòng)時(shí)，流體質(zhì)點(diǎn)在流動(dòng)過(guò)程中所形成的軌跡，稱為流體質(zhì)點(diǎn)的跡線。每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)都具有自己的跡線。同一空間點(diǎn)，在不同瞬時(shí)，可能為不同的流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)，因此，不同流體質(zhì)點(diǎn)的跡線在空間相互間是可能相交的。33參數(shù)方程跡線消去參數(shù)t跡線-----拉格郎日(Lagrange)變量密切相關(guān)34例1-3-1假設(shè)流體運(yùn)動(dòng)的Lagrange變量為：解：消去參數(shù)t，即可得跡線方程：

求跡線方程？35為了用幾何的方法來(lái)表示流動(dòng)流體的速度場(chǎng)，在某一瞬時(shí)t，可以在流動(dòng)流體所占據(jù)的空間中畫出一系列曲線，使得曲線上的每一點(diǎn)的切線方向正好與該時(shí)刻該處的流速方向相同，這樣的曲線，稱為該瞬時(shí)的流線。3.2流線362015年1月1日00時(shí)的流線。2015年2月1日00時(shí)的流線。37同一瞬時(shí)，每個(gè)空間點(diǎn)上均只可能有一個(gè)流體速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于無(wú)窮大這兩種特殊情況下，同一瞬時(shí)的流線在空間是不可能相交的。非定常流場(chǎng)的局地速度是隨時(shí)在變化的，因此，其流線是隨時(shí)變化的空間曲線。38式中x、y、z、t為四個(gè)相互獨(dú)立的變量，積分時(shí)將t作常數(shù)處理。積分流線設(shè)為流線的線元矢量：流線的求解39例1-3-2已知流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)如下：求出t=0時(shí)刻，過(guò)點(diǎn)M（1,1）的流線方程。40下列有關(guān)流線的描述正確嗎？定常流場(chǎng)流線不隨時(shí)間變化流線不隨時(shí)間變化定常流場(chǎng)41定常流動(dòng)即流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)某固定空間位置時(shí)流速是相同的，其流線是一些不隨時(shí)變化的空間曲線，而且其每條流線上的所有流體質(zhì)點(diǎn)的跡線均和這條流線相重合。42例1-3-3流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)由Euler變量表示為：

其中k為常數(shù)：（1）求流線方程；（2）請(qǐng)問(wèn)同一地點(diǎn)不同時(shí)刻流速是否相同？同一流體質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的流速是否相同？

(3)求出t=0時(shí)刻，過(guò)點(diǎn)（a，b，c）的跡線方程。43第4節(jié)速度分解剛體運(yùn)動(dòng)的速度構(gòu)成：經(jīng)典力學(xué)中，剛體運(yùn)動(dòng)的速度剛體上任一質(zhì)點(diǎn)A的速度VA可以分為隨同剛體上任意一點(diǎn)M0的平動(dòng)VM0和繞M0的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)線速度。有平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)速度44流動(dòng)性和壓縮性等形變流體運(yùn)動(dòng)的速度構(gòu)成平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)亥姆霍茲速度分解定理：流體運(yùn)動(dòng)的速度可分解為平動(dòng)速度、轉(zhuǎn)動(dòng)線速度和形變線速度三部分。45選擇參考點(diǎn)及鄰近一點(diǎn)某瞬時(shí)t，以位于流動(dòng)流體中的任意一個(gè)空間點(diǎn)M0處的流體質(zhì)點(diǎn)為基點(diǎn)，對(duì)流體微團(tuán)內(nèi)的任意一個(gè)與M0點(diǎn)的相對(duì)失徑為處的流體質(zhì)點(diǎn)M的流動(dòng)速度進(jìn)行速度分解。46某瞬時(shí)t4748定義:49y方向作類似處理：50z方向作類似處理：51亥姆霍茲速度分解定理：流體運(yùn)動(dòng)的速度可分解為平動(dòng)速度、轉(zhuǎn)動(dòng)線速度和形變線速度三部分。52形變張量矩陣53流體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度54剛體運(yùn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)是作為一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行的；

流體運(yùn)動(dòng)：流體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度是一個(gè)局地量，流體域內(nèi)各點(diǎn)可以以不同的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。

55例1-4-1已知流場(chǎng)：其中m為常數(shù)，計(jì)算坐標(biāo)原點(diǎn)O附近點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度和形變線速度。O56第5節(jié)渦度、散度和形變率引進(jìn)其他的物理量，表征流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的各種特征。流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置變化形狀大小變化流體質(zhì)點(diǎn)自身可以旋轉(zhuǎn)。575.1渦度定義渦度矢為矢量微商符和速度矢的矢性積，即：①渦度的定義58表示流體沿閉合曲線流動(dòng)趨勢(shì)的程度。②渦度的物理意義首先引入速度環(huán)流的概念在流體中取任一閉合曲線,

沿閉合曲線對(duì)該曲線上的每一點(diǎn)的流速分量求和：59應(yīng)用斯托克斯（Stokes）公式，線積分曲面積分：60當(dāng)閉合曲線l向內(nèi)無(wú)限收縮（閉合曲線所圍面積趨向零）渦度是度量流體旋轉(zhuǎn)程度的物理量。表示流體沿閉合曲線流動(dòng)趨勢(shì)的程度。61③渦度與流體旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系例1-5-1流體質(zhì)點(diǎn)在xoy平面上圍繞oz軸作逆時(shí)針圓周運(yùn)動(dòng)（假設(shè)旋轉(zhuǎn)角速度大小為a），其流速與流體質(zhì)點(diǎn)到oz軸的距離成正比，試求流體的渦度場(chǎng)。

62④與渦度有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題：A直線有旋運(yùn)動(dòng)B無(wú)旋圓周運(yùn)動(dòng)C有旋圓周運(yùn)動(dòng)63例1-5-2已知流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)為，求流體運(yùn)動(dòng)的渦度。

645.2散度定義散度為矢量微商符和速度矢的數(shù)性積，即：①散度的定義65為了說(shuō)明散度的概念及意義，引入流體通量F②散度的物理意義σ為流體中的任一封閉曲面上式表示單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)整個(gè)閉合曲面的流體體積通量66流體散度即為單位體積的流體通量。當(dāng)曲面面元向內(nèi)無(wú)限收縮時(shí)，即體積元趨于零：應(yīng)用奧—高公式，將以上曲面積分轉(zhuǎn)化為體積分，則有：Ostrovski-Gaussformula67流體凈流出源(輻散)

流體凈流入?yún)R(輻合)場(chǎng)的觀點(diǎn)若流體中的任一封閉曲面為幾何面時(shí)：散度的物理意義（一）：68封閉曲面向外膨脹

封閉曲面向內(nèi)收縮流體中的任一封閉曲面為流體質(zhì)點(diǎn)組成的物質(zhì)面時(shí)：體現(xiàn)了流體體積的變化。散度的物理意義（二）：69例1-5-3已知流體二維速度場(chǎng)為，分別計(jì)算渦度和散度。70①法形變率法形變率（線形變率）：即單位長(zhǎng)度的速度變化率（單位長(zhǎng)度單