理論力學(xué) 15 虛位移原理及其應(yīng)用

15虛位移原理及應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系可分為自由質(zhì)點(diǎn)系和非自由質(zhì)點(diǎn)系。自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)不受任何限制，可以在空間自由運(yùn)動(dòng)，它們的運(yùn)動(dòng)軌跡決定于質(zhì)點(diǎn)系的外力和內(nèi)力。例如，各星體組成的太陽系。

非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系的各質(zhì)點(diǎn)受到一定限制，在空間不能自由運(yùn)動(dòng)，它們的位置或速度必須遵循一定的限制條件。例如，用剛桿連接的兩質(zhì)點(diǎn)，它們之間的距離保持不變。

矢量靜力學(xué)（Vectorial

statics）：以靜力學(xué)公理為基礎(chǔ)，以矢量分析為特點(diǎn)，通過主動(dòng)力與約束力的關(guān)系表達(dá)了剛體的平衡條件。剛體的平衡條件對(duì)于任意非自由質(zhì)點(diǎn)系來說，只是必要的，并非充分的。分析靜力學(xué)（Analyticalstatics）：用數(shù)學(xué)分析的方法研究非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題，平衡條件表現(xiàn)為主動(dòng)力在的虛位移上所做虛功的關(guān)系。虛位移原理（Principleofvirtualdisplacement）：

給出任意非自由質(zhì)點(diǎn)系平衡的必要與充分條件，是解決質(zhì)點(diǎn)系平衡問題的普遍原理。本章重點(diǎn)虛位移、理想約束的概念，應(yīng)用虛位移原理求解物體系的平衡問題。

本章難點(diǎn)廣義坐標(biāo)、廣義力的概念，廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理。15.1約束及其分類

15.1.1約束與約束方程位形（Configuration）：質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在空間的位置的集合。約束（Constraints）：在非自由質(zhì)點(diǎn)系中，那些預(yù)先給定的限制質(zhì)點(diǎn)系位形或速度的運(yùn)動(dòng)學(xué)條件。例如，限制剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變的條件，限制車輪在直線軌道上滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件約束方程（Contraintequations）：限制條件的數(shù)學(xué)方程式。例：

15.1.2約束分類

15.1.2.1定常約束和非定常約束定常約束或穩(wěn)定約束（Steadyconstraint）：約束方程中不顯含時(shí)間t，即約束不隨時(shí)間而變。以上各例都是定常約束。

非定常約束（Unsteadyconstraint）：約束方程中顯含t。約束方程中顯含時(shí)間t。懸掛點(diǎn)移動(dòng)的單擺的約束是非定常約束。圖15-1中的單擺，懸掛點(diǎn)O若以勻速v沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，約束方程成為

15.1.2.2雙面約束與單面約束雙面約束（Bilateralconstraint）：約束方程中用等號(hào)表示的約束。能限制兩個(gè)相反方向的運(yùn)動(dòng)。由不等式表示的約束。單面約束（Unbilateralconstraint）：圖15-1中的單擺，將擺桿以細(xì)繩代替，因繩子不能受壓，約束方程成為

15.1.2.3完整約束與非完整約束約束不僅對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的幾何位形起限制作用，而且還可能與時(shí)間、速度有關(guān)。約束方程的一般形式可表示為（15-1）約束方程中顯含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱運(yùn)動(dòng)約束。約束方程中不顯含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，稱幾何約束。運(yùn)動(dòng)約束能積分成有限形式的約束。完整約束（Holonomicconstraint）：例如約束方程可以積分為常數(shù)，故為完整約束。幾何約束也屬完整約束。幾何約束方程的一般形式為（15-2）幾何約束及可積分的運(yùn)動(dòng)約束統(tǒng)稱為完整約束。（15-3）含有坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)的方程不能積分成有限形式的約束非完整約束（Nonholonomicconstraint）：本章只討論雙面、定常的幾何約束。其約束方程的一般形式為15.2虛位移與自由度

15.2.1虛位移質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在給定位置（或瞬時(shí)），為約束所容許的任何無限小位移，稱為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在該位置的虛位移（Virtualdisplacement）。d是變分（Variation）符號(hào)。dr表示函數(shù)r(t)的變分。變分運(yùn)算與微分運(yùn)算相類似。例如：x=2sinj

，

dx=2cosj

dj。虛線位移：，虛角位移：。，質(zhì)點(diǎn)系的虛位移是一組虛位移，而且彼此并不獨(dú)立；不同位置，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的虛位移并不相同，虛位移必須指明給定的位置（或瞬時(shí)）。虛位移必須為約束所容許，必須是無限小的。如圖15-4所示曲柄滑塊機(jī)構(gòu)：虛位移是人為假設(shè)的，并非真實(shí)的位移。在系統(tǒng)的約束所容許的前提下，可以給定系統(tǒng)任意虛位移。同時(shí)虛位移又完全取決于約束的性質(zhì)及其限制條件，不是虛無飄緲，也不可隨心所欲地假設(shè)。實(shí)位移取決于作用于系統(tǒng)上的主動(dòng)力以及所經(jīng)歷的時(shí)間，其位移可以是無限小的，也可以是有限值，其方向是惟一的。虛位移與主動(dòng)力和時(shí)間無關(guān)，虛位移只能是無限小值，方向卻可以不止一個(gè)。在定常約束條件下，質(zhì)點(diǎn)系在某位置所發(fā)生的微小實(shí)位移必是其虛位移中的一個(gè)（或一組）。由于約束的限制，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移并不獨(dú)立。質(zhì)點(diǎn)系獨(dú)立的虛位移（坐標(biāo)或坐標(biāo)變分）數(shù)目，稱為質(zhì)點(diǎn)系的自由度（Degreeoffreedom）。

15.2.2自由度

自由質(zhì)點(diǎn)系自由度：一空間自由質(zhì)點(diǎn)：（

x,y,z)3個(gè)自由度。一空間自由質(zhì)點(diǎn)系：(xi,

yi,zi)(i=1,2……n)3n個(gè)自由度。一平面自由質(zhì)點(diǎn)：（

x,y,z)2個(gè)自由度。一平面自由質(zhì)點(diǎn)系：(xi,

yi,zi)(i=1,2……n)2n個(gè)自由度。定常幾何約束的質(zhì)點(diǎn)系，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受到s個(gè)約束，(3n-s)個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)?？臻g：其自由度為

k=3n-s。平面：其自由度為

k=2n-s。

非自由質(zhì)點(diǎn)系自由度：

例如，前述曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，確定曲柄連桿機(jī)構(gòu)位形，只須確定A、B兩點(diǎn)在平面內(nèi)的位形，A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)

xA、yA、xB、yB

須滿足三個(gè)約束方程，因此系統(tǒng)有一個(gè)自由度。許多問題中，采用直角坐標(biāo)確定系統(tǒng)的位形并不方便。取3n-s個(gè)獨(dú)立的參數(shù)便能完全確定系統(tǒng)的位形，這些參數(shù)可以是長(zhǎng)度、角度、弧長(zhǎng)等。能夠完全確定質(zhì)點(diǎn)系位形的獨(dú)立參數(shù)，稱為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)（Generalizedcoordinates）。對(duì)于定常的幾何約束系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的數(shù)目就等于系統(tǒng)的自由度數(shù)。

15.2.3廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)以表示。

任一瞬時(shí)系統(tǒng)中每一質(zhì)點(diǎn)的矢徑和直角坐標(biāo)都可以表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，即如圖15-5所示雙擺。質(zhì)點(diǎn)系由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，受到兩個(gè)幾何約束，廣義坐標(biāo)數(shù)（或自由度數(shù)）為2，可以選取角j1和j2作為廣義坐標(biāo)，j1和j2相互獨(dú)立。

15.2.4虛位移分析

15.2.4.1幾何法應(yīng)用幾何學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法求各點(diǎn)虛位移間的關(guān)系。首先根據(jù)系統(tǒng)的約束條件，確定自由度，給定虛位移，畫出虛位移圖，然后應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)的方法求有關(guān)點(diǎn)虛位移間的關(guān)系。

質(zhì)點(diǎn)的無限小位移與該點(diǎn)的速度成正比，即dr=v

dt。兩質(zhì)點(diǎn)無限小位移大小之比等于兩點(diǎn)速度大小之比。兩質(zhì)點(diǎn)虛位移大小之比等于對(duì)應(yīng)點(diǎn)虛速度大小之比?？梢詰?yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)中的速度分析方法（如瞬心法、速度投影法、速度合成定理等）去建立虛位移間的關(guān)系。

例如圖15-4（a）中，連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心為P，A、B兩點(diǎn)虛位移大小之比為

15.2.4.2解析法通過變分運(yùn)算建立虛位移間的關(guān)系。一般情況下，將質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的矢徑或直角坐標(biāo)先表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)，再通過一階變分，可得稱為廣義虛位移（Generalizedvirtualdisplacement）15.3虛位移原理作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在其虛位移上所作的功。設(shè)作用于質(zhì)點(diǎn)上的力F，質(zhì)點(diǎn)的虛位移為dr，則力F在虛位移dr上的虛功為

15.3.1虛功（Virtualwork）虛功只有元功的形式，其計(jì)算同力在真實(shí)小位移上所做的元功。（15-10）

15.3.2理想約束若約束反力在質(zhì)點(diǎn)系的任一組虛位移上所作虛功之和等于零，則稱此約束為理想約束（Idealconstraint）。（15-11）理想約束條件：具有雙面、定常、理想約束的靜止質(zhì)點(diǎn)系，其繼續(xù)保持靜止的充分與必要條件是：所有主動(dòng)力在質(zhì)點(diǎn)系任何虛位移上的虛功之和等于零。

15.3.3虛位移原理（15-12）（15-13）虛功方程（Equationofvirtualwork），虛功方程又稱為靜力學(xué)普遍方程。虛位移原理是虛功原理之一。

必要性證明：系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，則系統(tǒng)內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)必須處于靜止。系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的主動(dòng)力Fi

和約束反力FNi

應(yīng)滿足平衡條件給系統(tǒng)一組虛位移dri（i=1,2,…,n），每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用力虛功之和等于零。理想約束

故充分性證明：

反證法。設(shè)在條件下，系統(tǒng)不平衡，則有些質(zhì)點(diǎn)（至少一個(gè)）必進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。質(zhì)點(diǎn)系原來處于靜止，一旦進(jìn)入運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其動(dòng)能必然增加，即在實(shí)位移dr中，。對(duì)于定常雙面約束，可取微小實(shí)位移作為虛位移，即理想約束矛盾15.4虛位移原理的應(yīng)用求解的問題：（1）求平衡時(shí)主動(dòng)力之間的關(guān)系；（2）確定系統(tǒng)的平衡位置；（3）求靜定結(jié)構(gòu)的約束反力。一般步驟：（1）以整個(gè)系統(tǒng)為對(duì)象，分析主動(dòng)力。（2）分析系統(tǒng)的自由度，給出虛位移，作虛位移圖，求虛位移間的關(guān)系。（3）列虛功方程求解。例15-1

如圖15-7示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA上作用有力偶M，滑塊D上作用水平力F，機(jī)構(gòu)處于平衡。設(shè)曲柄長(zhǎng)OA=r，q角已知，不計(jì)摩擦，試求F與M間的關(guān)系。解：（1）取系統(tǒng)為研究對(duì)象，受F和力偶M作用。（2）系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，即有一個(gè)獨(dú)立的虛位移。取桿OA虛轉(zhuǎn)角dj

為獨(dú)立虛位移。A、B、D點(diǎn)的虛位移如圖15-7所示。根據(jù)虛速度法，則有

（3）根據(jù)虛功方程得

例15-2

如圖15-8所示機(jī)構(gòu)中，桿AB與BC的長(zhǎng)度均為l，B點(diǎn)掛有重為G的重物，D、E兩點(diǎn)用彈簧連接，BD=BE=b。已知彈簧原長(zhǎng)為l0，剛度系數(shù)為k，不計(jì)各桿自重，試求機(jī)構(gòu)的平衡位置（以

q表示）。解：（1）以機(jī)構(gòu)系統(tǒng)為研究對(duì)象。作功的力有重力G和彈簧的內(nèi)力。在平衡位置時(shí)，彈簧的變形量E、D兩點(diǎn)的彈性力的大小為（2）機(jī)構(gòu)有一個(gè)自由度，取q

角為廣義坐標(biāo)。

（3）根據(jù)虛功方程得

以xED表示E、D兩點(diǎn)間的相對(duì)坐標(biāo)，應(yīng)用解析法求虛位移。對(duì)如圖15-8所示Axy坐標(biāo)系變分例15-3多跨靜定如圖15-9（a）所示。求在荷載F1、F2作用下，支座D的約束反力。已知F1=10kN，F(xiàn)2=20kN，圖中的長(zhǎng)度單位為m。解:如圖15-9（a）所示梁的自由度數(shù)等于零，不存在任何為約束所允許的位移。為了用虛位移原理求解支座D的約束反力，將支座D解除，代之以約束反力FND，得到具有一個(gè)自由度的系統(tǒng)。取B點(diǎn)的豎向位移作廣義坐標(biāo)，給B點(diǎn)以虛位移drB[見圖15-9（b）]。

（3）根據(jù)虛功方程得

由幾何條件不難將各主動(dòng)力作用點(diǎn)的虛位移表示為廣義坐標(biāo)變分的函數(shù)[見圖15-9（b）

]：，。試求固定端的反力偶和支座C的反力。

例15-4在如圖15-10(a)所示的結(jié)構(gòu)中，已知：，

（1）求固定端A的反力偶。將固定端A的轉(zhuǎn)動(dòng)約束解除，而代之以反力偶，則桿可繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，但不能沿任何方向移動(dòng)，因此應(yīng)將固定端以固定鉸支座代替[見圖15-10（b）]。此時(shí)系統(tǒng)具有一個(gè)自由度，桿AB作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿BC作平面運(yùn)動(dòng)。給桿AB以虛轉(zhuǎn)角dj

，則一般情況下，每次只解除與某個(gè)未知力相應(yīng)的約束，使系統(tǒng)成為一個(gè)自由度，以便分析有關(guān)虛位移間的關(guān)系。解：本題結(jié)構(gòu)為靜定結(jié)構(gòu)，其自由度為零。欲求某處反力時(shí)，可解除該處約束，代以相應(yīng)的未知力，并視其為主動(dòng)力計(jì)算虛功，仍由虛位移原理求解。

（2）求反力FC。將可動(dòng)鉸支座C去掉，代以約束反力FC。AB部分仍為靜定結(jié)構(gòu)，桿BC只能繞B鉸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。給BC桿虛轉(zhuǎn)角dj，[見圖15-10（c）]

FC=14/4=3.5kN討論：若欲求固定端的水平及豎向反力，分別解除其水平及豎向約束，將固定端以定向支座代替（見圖15-11）。例15-5如圖15-12所示桁架中，AB=BC=AC=l，AD=DC=l/，節(jié)點(diǎn)D作用有鉛垂力F。試求桿BD的受力。

解：

本題求靜定桁架桿的內(nèi)力，可將該桁架桿切斷，并代以內(nèi)力FN、，并視其為主動(dòng)力，則應(yīng)用虛位移原理可以求解。

（1）研究整個(gè)桁架。切斷桿BD后，系統(tǒng)受力為F、FN和。（2）由于切斷桿BD后，系統(tǒng)有一個(gè)自由度。取角q為廣義坐標(biāo)。

（3）根據(jù)虛功方程得

在靜平衡位置，如圖15-12（b）所示的幾何關(guān)系15.5廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理

15.5.1廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理代入虛功方程交換式中i，j的求和順序（15-14）令（15-15）式（15-15）稱為廣義坐標(biāo)形式的虛位移原理。

其中，Qj

稱為對(duì)應(yīng)廣義坐標(biāo)qj

的廣義力（Generalizedforce）。

當(dāng)dqj

是長(zhǎng)度單位時(shí)，則Qj

為力的單位；當(dāng)dqj

是角度單位時(shí)，則Qj

為力矩的單位。

對(duì)于完整系統(tǒng)，各個(gè)廣義坐標(biāo)的變分獨(dú)立，故（15-16）