2023年數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

數(shù)列一、數(shù)列的概念（1)數(shù)列定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)),在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng),……，序號(hào)為的項(xiàng)叫第項(xiàng)(也叫通項(xiàng)）記作；數(shù)列的一般形式：,,，……，,……,簡(jiǎn)記作。例:判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列（１)a,-３，－1,１，ｂ,5,7,9;（2）2０2３年各省參與高考的考生人數(shù)。（2）通項(xiàng)公式的定義：假如數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表達(dá),那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：①：1，２,3，４,5,…②:…數(shù)列①的通項(xiàng)公式是＝（7,）,數(shù)列②的通項(xiàng)公式是＝(）。說明：①表達(dá)數(shù)列,表達(dá)數(shù)列中的第項(xiàng)，=表達(dá)數(shù)列的通項(xiàng)公式;②③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如,１，1.４,１．41,1.4１4，……（3)數(shù)列的函數(shù)特性與圖象表達(dá):序號(hào)：123456項(xiàng)：456７89上面每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的相應(yīng)關(guān)系可當(dāng)作是一個(gè)序號(hào)集合到另一個(gè)數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從１開始依次取值時(shí)相應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，…….通常用來代替，其圖象是一群孤立點(diǎn)。例：畫出數(shù)列的圖像.(４）數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分:有窮數(shù)列和無窮數(shù)列;②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分:單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列）、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例:下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列?（1)１,2，3,4,５，6,…（2)10，9,8，7,6,5,…（3）１，0,1，0,１,０,…(4)a,ａ，ａ，a，a,…(5)數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：例:已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式練習(xí)：1.根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式:（１）1，3,5,7……;(2），，，;（3），，,。(4)9，9９，999,9999…（5）７,77，７7７,７77７,…（６)8，88,888,8888…2．?dāng)?shù)列中,已知(1)寫出，,，，;(２）是否是數(shù)列中的項(xiàng)?若是，是第幾項(xiàng)?3.（2023京春理14,文15)在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中,自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的記錄數(shù)據(jù)如下表.觀測(cè)表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（__＿_(dá)_)內(nèi)。４、由前幾項(xiàng)猜想通項(xiàng):根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格及括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù),寫出點(diǎn)數(shù)的通項(xiàng)公式.（1）（1）（4）（7）（）（）5．觀測(cè)下列各圖，并閱讀下面的文字,像這樣,10條直線相交,交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是（),其通項(xiàng)公式為.2條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)A．40個(gè)B.452條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表達(dá)。用遞推公式表達(dá)為或。例：等差數(shù)列，題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:;說明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列,為常數(shù)列，為遞減數(shù)列。例：１.已知等差數(shù)列中,等于(）A．15Ｂ.30C．31D．642．是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列,假如，則序號(hào)等于（A）66７(B）668(C）６69(D)6７03.等差數(shù)列,則為為(填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”)題型三、等差中項(xiàng)的概念:定義:假如，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中，，成等差數(shù)列即：(）例:1．(０6全國(guó)I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若,,則(）A．B.?C.Ｄ．２.設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是()Ａ．1B.2Ｃ.4D．８題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);(2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列;(3)在等差數(shù)列中，對(duì)任意,,，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且,則；題型五、等差數(shù)列的前和的求和公式:。(是等差數(shù)列)遞推公式：例:1．假如等差數(shù)列中,，那么(A）1４（Ｂ）21(C）28(D）3５2.(2023湖南卷文)設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知,,則等于（)A．1３B.35Ｃ.４9D．633.（202３全國(guó)卷Ⅰ理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則=4.(2023重慶文）(2）在等差數(shù)列中，，則的值為()（Ａ）5(Ｂ）6（Ｃ)８（D）105.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為１46,且所有項(xiàng)的和為３9０,則這個(gè)數(shù)列有（）A.13項(xiàng)? Ｂ.１2項(xiàng) ??C．11項(xiàng) ? ?Ｄ.1０項(xiàng)6.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若7.（2023全國(guó)卷Ⅱ理）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則8．（98全國(guó)）已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，ｂ1=1,b1+b2+…+b10=１00.(Ⅰ)求數(shù)列{ｂｎ}的通項(xiàng)bｎ;9.已知數(shù)列是等差數(shù)列,，其前1０項(xiàng)的和，則其公差等于()Ｃ.D．10．(2023陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若,則１1.（００全國(guó))設(shè)｛an}為等差數(shù)列,Sn為數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和,已知S7＝７，S15=７５,Tn為數(shù)列{｝的前ｎ項(xiàng)和，求Tn。１２.等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為,已知=1\*GＢ3①求通項(xiàng);=２\*GB3②若=242，求13.在等差數(shù)列中，(１）已知;（2)已知;(3)已知題型六．對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列：（1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項(xiàng),則①偶奇;②;(2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項(xiàng),則①奇偶；②。題型七.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列,仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前２m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為()Ａ．１３0 ? B.170?? Ｃ.21０? D.２602．一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為４8，前2項(xiàng)的和為6０,則前３項(xiàng)的和為。3．已知等差數(shù)列的前1０項(xiàng)和為100,前1０0項(xiàng)和為10,則前11０項(xiàng)和為4.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,=５．（0６全國(guó)II）設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=,則=A.?B.C.?Ｄ．題型八.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*ＧＢ3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法:是等差數(shù)列=3\＊ＧB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為（)Ａ.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2．已知數(shù)列的通項(xiàng)為,則數(shù)列為()A.等差數(shù)列Ｂ.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷３.已知一個(gè)數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和,則數(shù)列為（)Ａ．等差數(shù)列Ｂ.等比數(shù)列Ｃ．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D．無法判斷4．已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為（）A.等差數(shù)列B．等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷５.已知一個(gè)數(shù)列滿足，則數(shù)列為()Ａ.等差數(shù)列Ｂ.等比數(shù)列C．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷６.數(shù)列滿足=8,（)=1\＊GＢ3①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;7.(01天津理，2)設(shè)Ｓn是數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n２，則{aｎ}是（)A．等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列 ??B.等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，并且也是等比數(shù)列???Ｄ.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列題型九.數(shù)列最值(1),時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；(２）最值的求法:①若已知,的最值可求二次函數(shù)的最值;可用二次函數(shù)最值的求法（);②或者求出中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知，則最值時(shí)的值(）可如下擬定或。例:１．等差數(shù)列中,,則前項(xiàng)的和最大。2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知=1＼*GB3①求出公差的范圍，=2＼*GB3②指出中哪一個(gè)值最大,并說明理由。3.（0２上海)設(shè)｛aｎ}(n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且Ｓ5＜S6,S6=S7>Ｓ８，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（)A．d<０?B.a7＝０C.S９>S5? D.S６與S7均為Sｎ的最大值4.已知數(shù)列的通項(xiàng)(），則數(shù)列的前3０項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。(1）數(shù)列從哪一項(xiàng)開始小于0?(2）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出相應(yīng)的值.6.已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，其中,公差,若，求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值．7.在等差數(shù)列中,,,求的最大值.題型十．運(yùn)用求通項(xiàng)．1.數(shù)列的前項(xiàng)和．(1）試寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；（２）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？(3)你能寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？２．已知數(shù)列的前項(xiàng)和則３.設(shè)數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為Sn=２n2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;4.已知數(shù)列中,前和＝１\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB３②求數(shù)列的通項(xiàng)公式5.(20２３安徽文)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則的值為（)(Ａ)1５(B)16(C)4９(D）64等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;公比通常用字母表達(dá),即：：。一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式在等比數(shù)列中,,則在等比數(shù)列中，,則3．（0７重慶文)在等比數(shù)列{an}中，a２＝8，a1=64,,則公比ｑ為(）（A）2? （B）３? ?(C）４?? （Ｄ）84.在等比數(shù)列中，,，則＝5．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),前三項(xiàng)和為２1,則（）A３3B7２C８4Ｄ1８9二、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則稱為的等比中項(xiàng),且為是成等比數(shù)列的必要而不充足條件.例:1．和的等比中項(xiàng)為()２.(２023重慶卷文)設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=（)A. B． C. D.三、等比數(shù)列的基本性質(zhì),１．(1）（２)（３)為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列．例：1.在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,則()2．在等比數(shù)列,已知,,則=3.在等比數(shù)列中,=１＼＊ＧB3①求=2\*GB3②若4.等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且（)A．１2B．10C.8D.２+5.(２023廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足,且，則當(dāng)時(shí),()A.B．C.Ｄ.2．前項(xiàng)和公式例：1.已知等比數(shù)列的首相，公比,則其前n項(xiàng)和2．已知等比數(shù)列的首相,公比,當(dāng)項(xiàng)數(shù)ｎ趨近與無窮大時(shí),其前n項(xiàng)和３.設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已，求和4.（２０23年北京卷）設(shè)，則等于()A.? Ｂ．C． D.５．(19９6全國(guó)文，２1）設(shè)等比數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和為Ｓn，若S3＋S6=2Ｓ9，求數(shù)列的公比q;6.設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前ｎ項(xiàng)和為Sn，若Sn＋１,S?ｎ，Ｓｎ+2成等差數(shù)列,則ｑ的值為．３.若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么,,成等比數(shù)列.如下圖所示:例：1．(2０23遼寧卷理)設(shè)等比數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若=3,則＝A.2Ｂ.C.D.32.一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48,前2項(xiàng)的和為60,則前3項(xiàng)的和為()Ａ．83B.108C.7５D．６33.已知數(shù)列是等比數(shù)列,且4.等比數(shù)列的鑒定法(1）定義法：為等比數(shù)列;(2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；(３）通項(xiàng)公式法:為等比數(shù)列;(４)前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。例:１．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則數(shù)列為(）Ａ.等差數(shù)列B.等比數(shù)列Ｃ．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足,則數(shù)列為(）A．等差數(shù)列B.等比數(shù)列C．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3．已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則數(shù)列為（）Ａ.等差數(shù)列Ｂ.等比數(shù)列Ｃ.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D．無法判斷5.運(yùn)用求通項(xiàng)．例：1.(202３北京卷）數(shù)列{ａn｝的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，,n=１，2，3，……,求a2,ａ3,a４的值及數(shù)列{ａn｝的通項(xiàng)公式.2．（2０２3山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且,證明數(shù)列是等比數(shù)列.四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法(1).公式法（定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列滿足:，求;已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.數(shù)列滿足=8，(），求數(shù)列的通項(xiàng)公式;已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項(xiàng)公式已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；已知數(shù)列滿足（),求數(shù)列的通項(xiàng)公式;已知數(shù)列滿足且()，求數(shù)列的通項(xiàng)公式;已知數(shù)列滿足且()，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；1２．?dāng)?shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)公式=(２)累加法1、累加法合用于:若，則兩邊分別相加得例:1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式（3）累乘法合用于:若,則兩邊分別相乘得,例：1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。已知數(shù)列滿足,,求。3.已知，，求。待定系數(shù)法合用于解題基本環(huán)節(jié):擬定設(shè)等比數(shù)列,公比為列出關(guān)系式比較系數(shù)求,解得數(shù)列的通項(xiàng)公式解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例：１.已知數(shù)列中,，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2023，重慶,文,14）在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項(xiàng)___＿_(dá)＿_(dá)____＿_(dá)_＿3．（2023.福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式;４.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:設(shè)5．已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:設(shè)6．已知數(shù)列中,,,求7．已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)８.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。遞推公式為（其中p,ｑ均為常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足９.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(5)遞推公式中既有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系,然后采用相應(yīng)的方法求解。(2023北京卷)數(shù)列{ａn}的前n項(xiàng)和為Ｓｎ，且ａ1=1，,n＝１,2,3,……，求a２，a3，a4的值及數(shù)列{aｎ}的通項(xiàng)公式．2.（20２３山東卷）已知數(shù)列的首項(xiàng)前項(xiàng)和為，且,證明數(shù)列是等比數(shù)列．3.已知數(shù)列中，前和=1\＊GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\＊GB3②求數(shù)列的通項(xiàng)公式４.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（6)根據(jù)條件找與項(xiàng)關(guān)系例1.已知數(shù)列中,,若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式2.（２023全國(guó)卷Ⅰ理）在數(shù)列中,（I)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（7)倒數(shù)變換法合用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項(xiàng)例：1.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(8）對(duì)無窮遞推數(shù)列消項(xiàng)得到第與項(xiàng)的關(guān)系例：１.（２023年全國(guó)I第１５題,原題是填空題）已知數(shù)列滿足,求的通項(xiàng)公式。2.設(shè)數(shù)列滿足,.求數(shù)列的通項(xiàng);（9）、迭代法例：1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由于,所以又,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。(１０）、變性轉(zhuǎn)化法1、對(duì)數(shù)變換法合用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例:已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由于,所以。兩邊取常用對(duì)數(shù)得 ?2、換元法合用于含根式的遞推關(guān)系例：已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:令，則五、數(shù)列求和１.直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。公比含字母時(shí)一定要討論(理)無窮遞縮等比數(shù)列時(shí),例：1.已知等差數(shù)列滿足,求前項(xiàng)和2.等差數(shù)列{aｎ｝中,a1=1,a3+a5=14,其前n項(xiàng)和Sｎ=100，則n=（)A．9B．10C.11Ｄ.123.已知等比數(shù)列滿足,求前項(xiàng)和４．設(shè)，則等于()?Ａ. B.C. ?Ｄ．2.錯(cuò)位相減法求和：如：例：1．求和２．求和：3．設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，（Ⅰ)求,的通項(xiàng)