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第四章格林函數(shù)法主要內(nèi)容第一邊值問(wèn)題(狄利克雷（Dirichlet）問(wèn)題）第二邊值問(wèn)題(牛曼（Neumann）問(wèn)題）格林第一（二）公式調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)*格林函數(shù)的定義

及特殊區(qū)域上格林函數(shù)的求法§1拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的提法靜態(tài)薄膜的橫向位移----二維拉普拉斯方程（也稱調(diào)和方程）第二邊值問(wèn)題(牛曼（Neumann）問(wèn)題）（2）第二邊值問(wèn)題(牛曼（Neumann）問(wèn)題）事實(shí)上如果不加以限制，外問(wèn)題的解不一定是唯一的。上述問(wèn)題可以表示為

都是解。可以證明二維情形要求在無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限有界，即§2調(diào)和函數(shù)

2．1格林公式格林第一公式：則有格林第一公式：（2.2）-(2.2’)可得格林第二公式：2.2拉普拉斯方程的對(duì)稱解首先介紹拉普拉斯方程的球?qū)ΨQ解，前面我們知道滿足拉普拉斯方程。做變換（2.4）稱作球坐標(biāo)下的拉普拉斯方程。2.3調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)證明：利用公式

即

性質(zhì)2.2meumann問(wèn)題有解的必要條件

證明令有

代入格林公式：性質(zhì)2.3（平均值公式）證明由表明調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的函數(shù)值等于它在球面上各點(diǎn)的平均值。結(jié)論解的唯一性定理狄利克雷內(nèi)問(wèn)題的解是唯一的；牛曼內(nèi)問(wèn)題的解除了相差一個(gè)常數(shù)外也是唯一的。滿足狄利克雷內(nèi)問(wèn)題（牛曼內(nèi)問(wèn)題)：

對(duì)于牛曼內(nèi)問(wèn)題對(duì)于狄氏內(nèi)問(wèn)題§3格林函數(shù)

2．1格林函數(shù)的定義以狄利克雷內(nèi)問(wèn)題為例。這時(shí)狄利克雷內(nèi)問(wèn)題的解為同樣對(duì)二維情形，可以得到3.2格林函數(shù)的性質(zhì)和物理意義例4.1圓域上的格林

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