第5章靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算

第5章靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算一、變形與位移變形：結(jié)構(gòu)形狀的改變。位移：結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)位置的移動(dòng)和截面轉(zhuǎn)動(dòng)。5.1

概述位移線位移角位移水平位移豎向位移二、產(chǎn)生位移的原因：荷載；（集中荷載、均布荷載、力偶）支座移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)；溫度改變；制造誤差等。廣義荷載還有什么原因會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移?

根據(jù)產(chǎn)生位移的原因，

位移可分為：

剛體位移變形體位移靜定多跨梁的支座A有一給定位移CA，

桿AC繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿CD繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。有位移無(wú)應(yīng)變ABCD剛體位移變形體位移

簡(jiǎn)支梁在載荷q作用下，各點(diǎn)產(chǎn)生線位移；同時(shí)梁內(nèi)彎矩M產(chǎn)生的曲率k和應(yīng)變e。（曲率半徑）有位移有應(yīng)變?nèi)?、?jì)算位移的目的：1、剛度校核：考察結(jié)構(gòu)在給定荷載作用下的位移是否滿足使用要求。2、超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算的基礎(chǔ)；3、結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)等施工過(guò)程中也往往需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取一定的施工措施。在工程上，吊車(chē)梁允許的撓度<1/600跨度；高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。四、計(jì)算位移的方法和基本假設(shè)（1）幾何法：（2）利用虛功原理：2.基本假設(shè)（1）小變形假設(shè)；（2）線彈性（3）理想聯(lián)結(jié)1.方法功=力×位移位移=功/力一、功的概念：功=力乘以在力的方向上所發(fā)生的位移。力力偶廣義力線位移角位移廣義位移一點(diǎn)的線位移兩點(diǎn)的相對(duì)線位移一個(gè)截面轉(zhuǎn)角兩個(gè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角5.2變形體虛功原理單位荷載法總之：作功的力和位移都是廣義的。二、實(shí)功、虛功、虛位移：實(shí)功：力在自身所引起的位移上所作的功。虛功：力在力的方向上、在別的因素所引起的位移上所作的功。一、功的概念：注意：位移采用雙腳標(biāo)表示：第一個(gè)腳標(biāo)表示位置，第二個(gè)腳標(biāo)表示產(chǎn)生位移的原因。P1的實(shí)功：P1的虛功：Δ12：虛位移二、實(shí)功、虛功、虛位移：注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)；力狀態(tài)位移狀態(tài)二、實(shí)功、虛功、虛位移：實(shí)功和虛功的區(qū)別：（1）實(shí)功是力在自身所引起的位移上所做的功；虛功是力在其它原因所引起的位移上所做的功。虛功并不是不做功，而是強(qiáng)調(diào)做功的力與產(chǎn)生位移的原因無(wú)關(guān)這一特點(diǎn)。（2）實(shí)功是變力做功，計(jì)算式中有系數(shù)1/2；虛功是常力做功，計(jì)算式中沒(méi)有系數(shù)1/2。（3）實(shí)功恒為正，虛功可正可負(fù)。虛位移應(yīng)滿足的條件：虛位移應(yīng)當(dāng)是微小的；虛位移必須是變形可能的，即位移函數(shù)是連續(xù)的。二、實(shí)功、虛功、虛位移：三、變形體虛功原理：變形體處于平衡的充分必要條件是：對(duì)于任何虛位移，外力所作的虛功（虛外功）總和等于內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功。（1）受力狀態(tài)和變形狀態(tài)是相互獨(dú)立的，二者彼此無(wú)關(guān)。（2）第一狀態(tài)滿足靜力平衡（內(nèi)力并不一定是真實(shí)的）第二狀態(tài)滿足虛位移變形協(xié)調(diào)條件說(shuō)明：（4）剛體虛功原理是特殊情況，即內(nèi)力虛功為零的情況。（3）變形體虛功原理是變形體力學(xué)的普遍原理。四、虛功原理的兩種實(shí)用形式1、虛位移原理特點(diǎn)：受力真實(shí)，位移虛設(shè)。用途：用以計(jì)算真實(shí)受力狀態(tài)下的未知力，與平衡方程等效。YBYAXAΔΔ/2由虛功原理：虛功方程

平衡方程（4）剛體虛功原理是特殊情況，即內(nèi)力虛功為零的情況。2、虛力原理特點(diǎn)：位移真實(shí)，受力狀態(tài)虛設(shè)。用途：用以求解真實(shí)位移狀態(tài)中的待求位移。ΔΔCV四、虛功原理的兩種實(shí)用型式求ΔCV。（一）支座移動(dòng)對(duì)靜定結(jié)構(gòu)的影響剛體位移：有位移無(wú)應(yīng)變變形體位移：有位移有應(yīng)變五、靜定結(jié)構(gòu)由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算求K點(diǎn)的豎向位移（二）基本公式

虛設(shè)力的方法：1、虛設(shè)力P的作用點(diǎn)為預(yù)求位移的點(diǎn)；虛設(shè)力的方向與欲求位移的方向一致；2、虛設(shè)力P的大小等于單位1，并稱這樣的力為單位力。實(shí)際位移狀態(tài)虛設(shè)的力狀態(tài)Ri的正向與Ci的正向一致剛體虛功原理：T=0六、單位荷載法：假設(shè)一單位力作為力狀態(tài)，利用虛功原理求位移的方法叫單位荷載法。虛設(shè)力狀態(tài)必須另外畫(huà)一個(gè)圖。虛力狀態(tài)的建立：六、單位荷載法：虛力狀態(tài)的建立六、單位荷載法：總之：求線位移集中力相對(duì)線位移加方向相反的一對(duì)集中力角位移集中力偶相對(duì)角位移加方向相反的一對(duì)集中力偶六、單位荷載法：（三）支座移動(dòng)引起靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算步驟:求單位力作用下的支反力利用公式求位移根據(jù)擬求位移作單位力狀態(tài)P=11/21/2Δ=-(-1/2*

Δ)=Δ/2求ΔCV。ΔΔCV例：圖示多跨靜定梁支座Ｂ發(fā)生沉陷a，求Ｅ截面的豎向位移DEV和Ｄ鉸兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。1YBYC（2）求單位力作用下的支反力（3）利用公式,求位移解：1、求Ｅ截面的豎向位移（1）根據(jù)擬求位移作單位力狀態(tài)YA例：圖示多跨靜定梁支座Ｂ發(fā)生沉陷a，求Ｅ截面的豎向位移DEV和Ｄ鉸兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。YBYC（2）求單位力作用下的支反力（3）利用公式,求位移解：（1）根據(jù)擬求位移作單位力狀態(tài)2、Ｄ鉸兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角()YA其微段ds的變形情況如圖：（一）圖示剛架由于外因作用，產(chǎn)生變形和位移如圖。求D點(diǎn)處的水平位移Δ。du稱為相對(duì)軸向變形；dj

稱為相對(duì)轉(zhuǎn)角；dv稱為相對(duì)剪切變形。5.3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式一、

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式結(jié)構(gòu)在P=1單獨(dú)作用下，產(chǎn)生支反力`R1

、R2

、R3；（二）為了應(yīng)用變形體虛功原理，建立單位力狀態(tài)即在D點(diǎn)沿所求位移方向虛設(shè)單位力P=1。微段ds兩端面所受內(nèi)力分別為`N、

`M、`Q。一、

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式（三）對(duì)來(lái)說(shuō)，C1

就是虛位移；作、的虛位移。同理，C2、C3可看（b）狀態(tài)的所有外力在（a）狀態(tài)的虛位移上所作的虛功為：一、

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式（四）的變形所作的虛變形功為：（b）狀態(tài)微段上的內(nèi)力沿（a）狀態(tài)微段上總虛變形功為：一、

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式變形體處于平衡的必要充分條得：件是：對(duì)于任何虛位移，外力所作的虛功總和等于內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功。由變形體虛功原理：即，上式稱為計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式。一、

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式一般公式的普遍性表現(xiàn)在：2.結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1.位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等；3.材料性質(zhì)：線性、非線性；4.變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5.位移種類：線位移、角位移；相對(duì)線位移和相對(duì)

位移。5.4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算一、公式推導(dǎo)：結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式：求C點(diǎn)的豎向位移Δ。無(wú)支座位移:du、dj和dv分別表示實(shí)際荷載所引起的桿件微段ds上的相對(duì)軸向變形、彎曲變形和剪切變形。一、公式推導(dǎo)：當(dāng)結(jié)構(gòu)為線彈性結(jié)構(gòu)時(shí)：E為彈性模量；A、I分別為桿件截面積和慣性矩；G為剪切彈性模量；k為應(yīng)力沿截面不均勻系數(shù)，其值與截面形狀有關(guān)。最后得到：一、公式推導(dǎo)：二、實(shí)用公式：（一）符號(hào)含義：結(jié)構(gòu)在虛設(shè)單位力作用下的內(nèi)力；（一）梁、剛架：結(jié)構(gòu)在實(shí)際荷載作用下的內(nèi)力；（二）公式中的第一項(xiàng)是彎曲變形對(duì)位移的影響，

第二項(xiàng)是軸向變形的影響，第三項(xiàng)是剪切變形的影響。（二）桁架：一、公式推導(dǎo)：（三）拱的位移計(jì)算：對(duì)一般拱結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算不考慮剪切、軸向變形的影響，?。簩?duì)扁平拱、接近合理拱軸線的拱，應(yīng)考慮軸向變形的影響：二、實(shí)用公式：（四）組合結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算：組合結(jié)構(gòu)受力特點(diǎn)：1）梁式桿2）桁架桿位移計(jì)算公式：二、實(shí)用公式：（一）虛設(shè)相應(yīng)的力狀態(tài)：線位移→集中力角位移→集中力偶（二）分別求出兩種狀態(tài)的內(nèi)力（三）代入相應(yīng)實(shí)用公式計(jì)算內(nèi)力不同須分段來(lái)求。三、計(jì)算荷載作用下靜定結(jié)構(gòu)位移步驟：（1）梁、剛架：（2）桁架：四、舉例：例1、求圖示結(jié)構(gòu)中點(diǎn)C的豎向位移ΔCV。（EI=c）解：1.虛設(shè)相應(yīng)的單位力狀態(tài)：3.分別求出兩種狀態(tài)下的內(nèi)力，即求MP和`M:設(shè)以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取脫離體：2.求兩種狀態(tài)下的支反力：（一）梁、剛架的位移計(jì)算:4、代入公式求解：小結(jié)：1.符號(hào)：結(jié)果為正，說(shuō)明位移方向與所設(shè)力方向一致；為負(fù)，則相反；2.列方程時(shí)，MP和`M的坐標(biāo)應(yīng)一致，內(nèi)力方向假設(shè)應(yīng)一致。3.積分時(shí)，當(dāng)EI、荷載改變時(shí)，應(yīng)分段積分；4.利用對(duì)稱性時(shí)，注意：必須兩種狀態(tài)均對(duì)稱。例2、試求圖示結(jié)構(gòu)C端的水平位移ΔCH和角位移jc。（已知EI為常數(shù)）解：（1）虛設(shè)相應(yīng)的單位力狀態(tài)：（2）分別求出兩種狀態(tài)的內(nèi)力：分段：1.求ΔCH：分為AB、BC段：BC段：以C為原點(diǎn)：以B為原點(diǎn)：AB段：（3）代公式積分求值：（→）BC段：2.求jc。（1）虛設(shè)相應(yīng)的單位力狀態(tài)：（2）分別求出兩種狀態(tài)的內(nèi)力：分段：分為AB、BC段：BC段：以C為原點(diǎn)：例2、試求圖示結(jié)構(gòu)C端的水平位移ΔCH和角位移jc。（已知EI為常數(shù)）AB段：（）以B為原點(diǎn)：（3）代入公式求解：BC段：（2）分別求出兩種狀態(tài)的內(nèi)力：例、求圖示桁架2點(diǎn)的豎向位移Δ2V。（EA為已知）解：（1）虛設(shè)相應(yīng)的單位力狀態(tài)：（2）由公式列表計(jì)算兩種狀態(tài)的內(nèi)力：（二）桁架的位移計(jì)算:∴桿件號(hào)長(zhǎng)度(m)1-261-352-352-452-563-464-55Σ單位荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力用截面法，截開(kāi)1-2桿、2-3桿和3-4桿：用節(jié)點(diǎn)法，取1結(jié)點(diǎn)：由對(duì)稱性可得其余桿件軸力。實(shí)際荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力用截面法截開(kāi)1-2桿、2-3桿和3-4桿：1結(jié)點(diǎn)：由對(duì)稱性可得其余桿件軸力。

5.5圖乘法一、問(wèn)題的提出：梁和剛架：二、公式推導(dǎo)：現(xiàn)考察設(shè)AB桿段，由荷載所引起的

MP圖為曲線圖形，所引起的M圖為直線圖形?，F(xiàn)設(shè)單位彎矩圖的直線與基線交于O點(diǎn)，并設(shè)夾角為a。由單位力表示MP圖的面積ω對(duì)y軸的面積矩，它等于MP圖的面積ω乘以該圖形的形心到y(tǒng)軸的距離x0。y0表示`M圖中與MP圖的形心相對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。二、公式推導(dǎo)：三、公式應(yīng)用條件：1、各構(gòu)件是等截面直桿；2、各構(gòu)件EI為常數(shù)；3、各構(gòu)件MP、`M圖中至少有一個(gè)是直線圖形，而

y0則必須取自直線圖形。四、位移符號(hào)：ω與y0同側(cè)相乘為正，異側(cè)為負(fù)。五、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心的位置：ω=hl/2l/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)六、圖乘法計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟：（一）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)；（二）分別作出兩種狀態(tài)的M圖（即`M圖和MP圖）；（三）利用公式求位移。解：一、求jB。（一）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（三）利用公式求位移：（二）分別作出`M、MP圖：二、求ΔCV：（一）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（二）分別作出`M、MP圖：（三）利用公式求位移：()()規(guī)律1：當(dāng)`M圖由若干直線組成時(shí)，應(yīng)分段相乘。例1、求圖示簡(jiǎn)支梁B端的轉(zhuǎn)角jB和跨中C點(diǎn)的豎向位移ΔCV。（已知EI為常數(shù)）一、求Δ

CV:（一）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（三）利用公式求位移：（二）分別作出`M、MP圖：二、求jc

：（一）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（二）分別作出`M、MP圖：（三）利用公式求位移：()()解：例2、求圖示剛架C點(diǎn)的豎向位移Δ

CV和轉(zhuǎn)角jc

。

例3、求圖示剛架C點(diǎn)的水平位移ΔCH。（EI=C）解：（一）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（二）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（三）利用公式求位移：解法一：解法二：()規(guī)律2：與`M圖相乘。規(guī)律3：當(dāng)MP

圖的形心不便確定時(shí)，可將該圖形分解為幾個(gè)易于確定形心的部分后再分別當(dāng)MP圖和`M圖均為直線圖形時(shí)，y0可取自任一圖形。Fl/2l/2C例4求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MFFlCF=1l/2l/6l6EIFl123=FlEIC212=△5Fl/6EIFl4853=Fl65×??llEIyC22210?è?××==Dw例5、求圖示剛架C點(diǎn)的ΔCH、ΔCV和轉(zhuǎn)角jc

。

1、求ΔCH:（1）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（3）利用公式求位移：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：解：()2、求ΔCV：（1）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（3）利用公式求位移：（2）分別作出`M圖和MP圖：()解：3、求jc

：解：（1）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（3）利用公式求位移：()例6：求Δ

BH和轉(zhuǎn)角jA

。（EI=C）

解：（1）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（3）利用公式求位移：1、求Δ

BH

：()（1）建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：（2）分別作出兩種狀態(tài)的M圖：（3）利用公式求位移：2、求jA

：()5.6靜定結(jié)構(gòu)由其他因素所引起的位移計(jì)算一、支座移動(dòng)所引起的位移：

支座移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)不引起靜定結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變，但要引起剛體位移。`

Ri表示單位荷載作用下的支座反力。注意：當(dāng)`Ri與Ci方向一致時(shí)，`RiCi為正；反之為負(fù)。單位統(tǒng)一化為國(guó)標(biāo)。公式本身自帶負(fù)號(hào)。例：已知圖示三鉸剛架右邊支座B的豎向位移為ΔBV

=6cm（↓），水平位移為ΔBH

=4cm（→），?=12m，h=8m。試求由此支座移動(dòng)所引起的A端截面的角位移jA。解：一、建立相應(yīng)的虛力狀態(tài)：二、求出（一）以整體為研究對(duì)象：()()（二）從鉸C處切開(kāi)，以右邊為研究對(duì)象：()()三、代入公式計(jì)算：()二、溫度改變所引起的位移計(jì)算：溫度改變時(shí)，材料只膨脹或收縮，并不產(chǎn)生剪

應(yīng)變。`N、`M表示單位荷載作用下的軸力、彎矩值。當(dāng)溫度變化與單位力作用下引起的構(gòu)件軸線的伸、縮性相同時(shí)，第一項(xiàng)取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；

當(dāng)溫度變化引起的構(gòu)件伸長(zhǎng)側(cè)與單位力產(chǎn)生的彎矩引起的構(gòu)件受拉側(cè)相同時(shí)，第二項(xiàng)取正號(hào)，反之，取負(fù)號(hào)。圖示結(jié)構(gòu)，當(dāng)外側(cè)溫度升高了t1，內(nèi)側(cè)溫度升高了t2時(shí)，求ΔCV。a表示材料的線膨脹系數(shù)，ω表示單位荷載作用下內(nèi)力圖的面積6.7互等定理一、功的互等定理：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功。二、位移互等定理：

在第一個(gè)單位力的方向上由于第二個(gè)單位力所引起的位移，等于在第二個(gè)單位力的方向上由于第一個(gè)單位力所引起的位移。注意：位移廣義位移線位移角位移單位力廣義單位力單位集中力單位集中力偶位移互等定理是功的互等定理的一個(gè)特例。三、反力互等定理：主要應(yīng)用于超靜定結(jié)構(gòu)。支座1由于支座2的單位位移所引起的支座反力等于支座2由于支座1的單位位移所引起