第七章 均勻設計

2023/2/51第七章均勻設計

§7.1均勻設計表§7.2均勻設計的使用表§7.3均勻設計的數(shù)據(jù)分析§7.4均勻混料設計2023/2/52前言

均勻設計(UniformDesign)是由中國數(shù)學家王元和方開泰于1978年首次提出的,采用均勻設計表來安排試驗的方法。其最初在我國導彈設計中應用，經(jīng)過20多年的發(fā)展和推廣，均勻設計已在我國有較廣泛的普及，并在醫(yī)藥、生物、化工、航天、電子、軍事工程等諸多領域中使用，取得了顯著的經(jīng)濟和社會效益。與均勻設計幾乎同期出現(xiàn)在西方流行的“拉丁超立方體抽樣”與均勻設計在本質(zhì)上是一致的。2023/2/53王元方開泰中國科學院數(shù)學研究所中國科學院院士中國科學院應用數(shù)學研究所北京師范大學－香港浸會大學聯(lián)合國際學院美國數(shù)理統(tǒng)計科學院終身院士美國統(tǒng)計學會終身院士2023/2/54§7.1均勻設計表

7.1.1均勻設計概述

例7.1

為了研究環(huán)境污染對人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響，考察老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率。將每一種重金屬看成一個因子，每一因子取17個水平。試驗如何設計？如果采用正交設計，那么至少要進行172=289次試驗。如果采用二次回歸正交設計那么也至少要進行26-1+2×6+1=45次試驗，試驗次數(shù)都較多。能否減少試驗次數(shù)？均勻設計便是針對這種情況提出的一種設計方法。2023/2/55

均勻設計是用均勻設計表安排試驗，而用回歸分析進行數(shù)據(jù)分析的一種試驗設計方法?；鞠敕ㄊ且乖囼烖c在因子空間中具有較好的均勻分散性。均勻設計同正交設計一樣，也是部分因子設計的只要方法之一，是一種穩(wěn)健試驗設計。

適用范圍：試驗因子多、因子取值范圍大、因子水平多（不少于5），而試驗次數(shù)相對較少的情況。因子一般需要是連續(xù)性的數(shù)值變量，若有個別為定性的分類變量可以采用虛擬啞變量法。2023/2/567.1.2均勻設計表均勻設計表是均勻設計的基本工具，它是用數(shù)論方法編制的。

1.均勻設計表Un(qm)

均勻設計表用代號Un(qm)表示，U表示均勻設計表，它有n行，m列，每列的水平數(shù)為q。

2023/2/57均勻設計表U7(76)該表的每一列都是的一個特定排列。

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該表的特點是：（1）對任意的n都可以構(gòu)造均勻設計表，并且行數(shù)n可以與水平數(shù)q相同，因此試驗次數(shù)少；（2）列數(shù)可按下面規(guī)則給出：

當n為素數(shù)時，列數(shù)最多等于n-1；譬如上面n=7，所以列數(shù)最多為n-1=6列；

當n是合數(shù)時，設，其中為素數(shù)，為正整數(shù)，那么列數(shù)為

譬如n=9，由于9=32，所以列數(shù)為列。

2023/2/592.另一類均勻設計表

對于n為合數(shù)的表，一般列數(shù)較少，不太適用。譬如n=6時，由于n=2×3，經(jīng)計算，所以列數(shù)只有2列。因為均勻設計表U7(76)最后一行全是“7”組成的，故劃去這一行，相當于減少一個水平。所以建議用U7(76)劃去最后一行的方法得到，為區(qū)別起見，記為2023/2/510§7.2均勻設計的使用表

7.2.1均勻設計表的使用在用均勻設計表安排試驗時，因為任意兩列的均勻性是不同的，用哪些列是有講究的。譬如用安排兩個因子時，用1,3列與用1,6列的均勻性是不同的，試驗點在平面上的分布見圖7.2.1。前者分布比較均勻。7.2.12023/2/5117.2.2“均勻性”的度量通常用“偏差”來度量均勻性，偏差愈小均勻性愈好。（1）把均勻設計表Un(nm)中每一行看成m維空間中的一個點，其m個坐標必是集合中的某個數(shù)。（2）用線性變換將均勻地變換到區(qū)間[0，1]中的某個數(shù)。此線性變換為：

Un(nm)中n個試驗點變換成Cm=[0，1]m中的n個點?？紤]Un(nm)中n個試驗點的均勻性等價于考慮在

[0，1]m中的均勻性。2023/2/512

（3）設是[0，1]m中任一點，則

為多維矩形的體積，且。（4）記為n個點落在多維矩形的個數(shù)，則表示有多少比例的點落在矩形中。若此n個點在[0，1]m中均勻散布，則與該多維矩形的體積相差不大。（5）設是[0，1]m中的n個點，則稱

為點集{}在[0，1]m中的偏差(D)，或星偏差。2023/2/513偏差(D)的缺點用（星）偏差來度量均勻性的缺點之一是不夠靈敏，有時明顯不同的兩個均勻設計會出現(xiàn)相同的偏差；缺點之二是與原點有關(guān)，所有矩形都從原點開始。為了克服上述偏差的缺點，人們有研究出很多其它的偏差度量方法。其它的偏差

CD2——中心化L2偏差

WD2——可卷的L2偏差

MD2——修正的L2偏差

SD2——對稱化L2偏差其中，用的最多的是CD2偏差和WD2偏差。后來方開泰教授新研制的均勻設計表大都基于最小的CD2偏差。2023/2/5147.2.3

使用均勻設計表偏差D可對任一均勻設計表或中任意二列、任意三列、…進行計算，從中選出使D達到最小的列作為使用列，從而形成使用表。如下表就是的使用表，s表示因子數(shù)。均勻設計表的使用表若從中選出5列使用，就會使偏差D過大，故建議不使用，把使用表中不出現(xiàn)的列剔去，并重新編號，可以得到及其使用表。2023/2/515均勻設計表及其使用表

使用表說明：當安排兩個因子時，第1、3列是最佳的選擇，若安排4個因子，第1、2、3、4是最佳選擇。

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均勻設計表U7(74)與的使用表

由表上的D值可知，在表上加“*”的比不加“*”的均勻，因此在實際中我們首先使用加“*”的均勻設計表。但是可安排的因子較少。對于各因子不等水平的均勻設計，可以直接采用混合水平均勻設計表，或者采用擬水平法設計。2023/2/5177.2.4

新均勻設計表由于基于CD2偏差和WD2偏差的均勻設計表具有更好的均勻性，方開泰教授在2000年左右研制了2580多張新的均勻設計表。參見本章提供給大家的附件文件夾“第七章均勻設計表UniformDesign”。或登錄方開泰教授的“均勻設計網(wǎng)站”：.hk/UniformDesign/查詢。2023/2/518§7.3均勻設計數(shù)據(jù)分析均勻設計的試驗數(shù)據(jù)的處理通常采用回歸分析的方法，回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性回歸模型，可以通過逐步回歸的方法篩選變量。下面通過一個例子來說明均勻設計及其數(shù)據(jù)的分析步驟。

例7.1

為了研究環(huán)境污染對人體的危害，考察六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響，為此考察老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率，為了了解誤差，每一水平組合重復三次。2023/2/5197.3.1

試驗設計

1．明確試驗目的：了解六種重金屬Cd、Cu、Zn、Ni、Cr、Pb對老鼠壽命的影響。

2．明確試驗指標：老鼠體內(nèi)某種細胞的死亡率。

3．確定因子與水平：這里因子都是定量的。水平可以是等間隔的，也可以是不等間隔的。

本例中有六種重金屬可看作六個因子，每一因子取17個水平，其水平值均為：（單位：ppm）

0.01，0.05，0.1，0.2，0.4，0.8，1，2，4，5，8，10，12，14,16，18，20

注意：水平必須按順序排列2023/2/520

4．選擇均勻設計表，利用使用表進行表頭設計由于這里考察六個因子，每一因子取17個水平，可以用表U17（1716），六個因子按使用表的規(guī)定分別置于1，2，3，5，7，8列上，得到試驗計劃（見表7.3.6），表中括號內(nèi)的數(shù)據(jù)是水平編號，括號外的數(shù)據(jù)是水平取值。7.3.2

進行試驗，獲得試驗結(jié)果本例在每一水平組合下進行三次重復試驗，試驗結(jié)果列在表7.3.6的最后三列上。2023/2/5217.3.62023/2/5227.3.3

數(shù)據(jù)分析對均勻設計所得到的試驗結(jié)果通常采用回歸分析方法，建立回歸方程。設在一個試驗中有p個因子。若只考慮y關(guān)于的線性關(guān)系，則可用多元線性回歸方法建立回歸方程，并對每一系數(shù)作顯著性檢驗，然后逐個刪去不顯著的變量，直到所有系數(shù)顯著為止。若考慮y關(guān)于的二次回歸，除每一變量的線性項外，還要考慮變量間的二次項、乘積項，那么回歸系數(shù)就有

在本例中p=6，回歸系數(shù)有28個，超過試驗次數(shù)n=17，這時可采用篩選變量的方法建立合適的回歸方程。2023/2/523

在本例中，根據(jù)背景知識，認為死亡率與含量的對數(shù)有關(guān)，因此先將含量進行變換（這里將六個自變量分別取對數(shù)），并考慮其的二次項、交叉乘積項等，用逐步回歸或向前、向后回歸的方法，在顯著性水平0.05上挑選變量，所建立的方程如下：2023/2/524對方程作失擬檢驗與顯著性檢驗的方差分析表如下：6.3.7

在顯著性水平0.05下，F(xiàn)lf=1.24<F0.95(6,34)=2.40，失擬檢驗的結(jié)果是上述方程是合適的，又F=72.83>F0.95(10,40)=2.10，因而此回歸方程是顯著的。2023/2/525

對每一項回歸系數(shù)的檢驗在顯著性水平0.05下都是顯著的。所以上面所得到的方程是可信的。此方程對應的誤差標準差的估計為，決定系數(shù)是0.948。此方程反映了該種細胞的死亡率與六種重金屬的關(guān)系。從方程可以看出Cd、Cu、Ni的含量增加會增加該種細胞的死亡率，Zn與Cd、Ni、Cr、Pb的結(jié)合對該種細胞的死亡率有較大影響。若要尋找最優(yōu)的工藝參數(shù)，可通過求極值的方法獲得。2023/2/5267.3.4

SAS回歸分析Datasasuser.DOE346;InputCdCuZnNiCrPbY;CdCu=Cd*Cu;CdZn=Cd*Zn;CdNi=Cd*Ni;CdCr=Cd*Cr;CdPb=Cd*Pb;CuZn=Cu*Zn;CuNi=Cu*Ni;CuCr=Cu*Cr;CuPb=Cu*Pb;ZnNi=Zn*Ni;2023/2/5277.3.4

SAS回歸分析ZnCr=Zn*Cr;ZnPb=Zn*Pb;NiCr=Ni*Cr;NiPb=Ni*Pb;CrPb=Cr*Pb;Cd2=Cd*Cd;Cu2=Cu*Cu;Zn2=Zn*Zn;Ni2=Ni*Ni;Cr2=Cr*Cr;Pb2=Pb*Pb;2023/2/5287.3.4

SAS回歸分析Cards;…；ProcRegdata=sasuser.DOE346;ModelY=CdCuZnNiCrPbCdCuCdZnCdNiCdCrCdPbCuZnCuNiCuCrCuPbZnNiZnCrZnPbNiCrNiPbCrPbCd2Cu2Zn2Ni2Cr2Pb2/selection=stepwisesls=0.05sle=0.05;Run;2023/2/5297.3.4

SAS回歸分析

在本例中R2=0.9479

模型：F=72.83，P<0.0001

可得回歸方程（取對數(shù)后值）：

Y=27.8951+4.8334*Cd+5.2749*Cu+2.2917*Ni-0.5764*Cd*Zn+0.3934*Zn*Ni-0.4010*Zn*Cr+0.3844*Zn*Pb+0.6695*Cd*Cd+0.3671*Cu*Cu+0.7102*Ni*Ni

經(jīng)SAS或Lingo求極小值得到：

Cd=0.00，Cu=0.00，Ni=0.00，Zn=3.00Cr=3.00，Pb=0.00時，Ymin=24.28612023/2/530§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）前面講了單形格子設計和單形重心設計，但是這些方法都存在一些缺陷：一、眾多個試驗點都被安排在試驗區(qū)域的頂點或者邊界上，這樣的試驗相當于缺少幾種混料成分，不是真正的混料試驗；二、試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)部的分布十分不均勻，影響混料效果。特別是在生物化學反應試驗中，缺少某些混料成分，化學反應可能不會進行，或者生成了其它產(chǎn)物。為此，人們提出了均勻混料設計。所謂均勻混料設計，就是在均勻設計中使所有試驗點在試驗區(qū)域內(nèi)盡可能均勻地散布。2023/2/531§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

均勻混料設計的主要步驟如下：（1）給定試驗因子p和試驗次數(shù)n，欲生成均勻混料設計表UMn(np)，應選用合適的均勻設計表Un(np-1)，用ukj記表中第k行第j列的元素。（2）對于每個k和j，計算（3）計算2023/2/532§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）（4）計算（5）計算（6）計算2023/2/533§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

例7.2：對p=3,n=11的均勻設計，采用均勻設計表U11(112)生成均勻混料設計UM11(113)的過程。此時上述公式可以簡化為：2023/2/534§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

結(jié)果見下表UM11(113)試驗u1u2c1c2x1x2x31141/227/220.7870.1450.0682293/2217/220.6310.0840.2853375/2213/220.5230.1950.2824417/221/220.4360.5390.02655119/2221/220.3600.0290.61166311/225/220.2930.5460.16177613/2211/220.2310.3840.38488815/2215/220.1740.2630.56399217/223/220.1210.7590.12010101019/2219/220.0710.1270.8031111521/229/220.0230.5770.4002023/2/535§7.4均勻混料設計（UniformMixtureDesign）

均勻混料設計UM11(113)單形重心設計

可以看到均勻混料設計試驗點的相當均勻的分布在單形內(nèi)，試驗完成后，同樣采用回歸分析。回歸分析模型可采用線性回歸模型、二次回歸模型或其它非線性模型。2023/2/536

例7.3在一個新金屬材料研制中，含三種金屬成分，擬采用均勻混料設計UM15(153)。NOx1x2x3YNOx1x2x3Y10.81740.10350.07918.225690.24720.17570.577110.136220.68380.05270.26358.7794100.20420.76930.02659.376030.59180.36740.04089.5115110.16330.25100.585710.277240.51700.17710.30599.5619120.12440.55450.32119.865250.45230.41990.12789.9145130.08710.09130.821610.102260.39450.02020.58539.5526140.05130.79060.15819.179270.34170.32910.32929.9481150.01680.42610.55719.95658