2017-2018版高中數學第二章函數5簡單的冪函數（一）學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE5簡單的冪函數（一）學習目標1.理解冪函數的概念.2.學會以簡單的冪函數為例研究函數性質的方法.3.理解和掌握冪函數在第一象限的分類特征，能運用數形結合的方法處理冪函數有關問題．知識點一冪函數的概念思考y＝eq\f（1，x），y＝x,y＝x2三個函數有什么共同特征？梳理如果一個函數底數是自變量x,指數是常量α,即y＝xα，這樣的函數稱為冪函數．知識點二冪函數的圖像與性質思考如圖在同一坐標系內作出函數（1)y＝x；（2）；（3)y＝x2；(4)y＝x－1；（5)y＝x3的圖像．填寫下表:y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域值域單調性增在［0，＋∞)上______，在(－∞，0］上______在(0，＋∞）上______，在(－∞，0)上______梳理根據上表，可以歸納一般冪函數特征:(1)所有的冪函數在（0，＋∞)上都有定義，并且圖像都過點________；(2)α〉0時,冪函數的圖像通過________，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是________函數．特別地，當α>1時，冪函數的圖像下凸；當0〈α〈1時，冪函數的圖像上凸；(3）________時，冪函數的圖像在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數；(4）冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖像關于直線y＝x對稱；（5)在第一象限,作直線x＝a（a>1）,它同各冪函數圖像相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從________到________的順序排列．類型一冪函數的概念例1已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數，求m，n的值．反思與感悟只有滿足函數解析式右邊的系數為1,底數為自變量x，指數為常量這三個條件，才是冪函數．如:y＝3x2，y＝（2x)3,y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x,2）))4都不是冪函數．跟蹤訓練1在函數y＝eq\f（1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x,y＝1中,冪函數的個數為(）A．0B．1C．2D．3類型二冪函數的圖像及應用例2若點(eq\r（2)，2）在冪函數f(x）的圖像上,點（2，eq\f（1，4）)在冪函數g（x)的圖像上,問當x為何值時，（1）f（x）>g(x）;（2)f(x）＝g（x）；(3)f（x）〈g（x）．反思與感悟冪函數由于指數α的不同，它們的定義域也不同，性質也不同，冪函數的圖像主要分0<α<1,α>1和α<0三種情況討論．跟蹤訓練2冪函數y＝xα(α≠0),當α取不同的正數時,在區(qū)間[0，1]上它們的圖像是一簇美麗的曲線（如圖）．設點A(1，0），B（0，1），連接AB，線段AB恰好被其中的兩個冪函數y＝xα，y＝xβ的圖像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于()A．1 B．2C．3 D．無法確定類型三冪函數性質eq\x(命題角度1探討冪函數性質）例3探討函數f（x)＝的單調性．反思與感悟研究函數單調性要先研究函數定義域．冪函數的定義域主要受兩個因素影響：偶次根式被開方數不小于零；分式的分母不為零．跟蹤訓練3已知冪函數f（x）＝（m∈N＋)．試確定該函數的定義域，并指明該函數在其定義域上的單調性．eq\x(命題角度2應用冪函數性質）例4（1）比較，的大?。?2)若（a＋1)〈（3－2a)，則a的取值范圍是________．反思與感悟應用冪函數性質比大小解不等式，首先是根據研究目標的特征構造冪函數，其次是根據所構造的冪函數性質如定義域、單調性來解決問題．跟蹤訓練4（1)比較，，的大小．（2）若冪函數f（x)＝(m∈N＋)過（2,eq\r(2）），解不等式f(2－a)〉f(a－1）．1．已知冪函數f(x)＝k·xα的圖像過點eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）,\f（\r（2),2）)）,則k＋α等于（)A.eq\f（1,2)B．1C。eq\f(3,2)D．22．已知冪函數f(x)的圖像經過點（2，eq\f（\r(2）,2))，則f（4)的值等于（)A．16B。eq\f(1,16）C．2D。eq\f(1,2)3．設α∈{－1,1，eq\f（1,2）,3｝,則使函數y＝xα的定義域為R的所有α的值為()A．1,3B．－1,1C．－1，3D．－1，1，34．下列是的圖像的是(）5．以下結論正確的是（）A．當α＝0時，函數y＝xα的圖像是一條直線B．冪函數的圖像都經過(0，0），（1,1）兩點C．若冪函數y＝xα的圖像關于原點對稱，則y＝xα在定義域內y隨x的增大而增大D．冪函數的圖像不可能在第四象限，但可能在第二象限1．冪函數y＝xα（α∈R)，其中α為常數，其本質特征是以冪的底x為自變量，指數α為常數,這是判斷一個函數是不是冪函數的重要依據和唯一標準．2．冪函數y＝xα的圖像與性質由于α的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：（1）α〉0時,圖像過（0，0），（1,1)在第一象限的圖像上升；α<0時，圖像不過原點，在第一象限的圖像下降,反之也成立．（2）曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α〈1時，曲線上凸;α<0時,曲線下凸．3．在具體應用時，不一定是y＝xα，α＝－1，eq\f(1，2），1，2,3這五個已研究熟的冪函數，這時可根據需要構造冪函數,并針對性地研究某一方面的性質．

答案精析問題導學知識點一思考底數為x，指數為常數．知識點二思考RRR[0,＋∞）{x｜x≠0｝R［0,＋∞)R[0，＋∞)｛y｜y≠0｝增加減少增增減少減少梳理(1)(1,1)（2）原點增(3）α<0（5)小大題型探究例1解由題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1,,2n－3＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3或1，，n＝\f(3,2），))所以m＝－3或1，n＝eq\f（3,2）。跟蹤訓練1B［因為y＝eq\f(1,x2)＝x－2，所以是冪函數；y＝2x2由于出現系數2，因此不是冪函數;y＝x2＋x是兩項和的形式,不是冪函數；y＝1＝x0(x≠0),可以看出，常函數y＝1的圖像比冪函數y＝x0的圖像多了一個點(0,1）,所以常函數y＝1不是冪函數．]例2解設f(x）＝xα，因為點(eq\r（2），2）在冪函數f(x）的圖像上,所以將點（eq\r(2)，2）代入f(x）＝xα中，得2＝(eq\r（2)）α，解得α＝2,則f（x）＝x2。同理可求得g(x)＝x－2。在同一坐標系內作出函數f（x)＝x2和g(x)＝x－2的圖像(如圖所示），觀察圖像可得：(1）當x>1或x〈－1時，f（x)>g（x）；（2)當x＝1或x＝－1時，f(x)＝g（x）;(3)當－1〈x<1且x≠0時，f(x）<g(x）．跟蹤訓練2A[由條件知，M（eq\f（1,3），eq\f(2，3))、N(eq\f（2,3)，eq\f（1,3)），∴eq\f(1，3）＝（eq\f（2，3））α，eq\f（2，3)＝(eq\f(1,3)）β，∴（eq\f(1，3））αβ＝[（eq\f（1,3））β］α＝(eq\f（2,3）)α＝eq\f(1,3），∴αβ＝1。故選A。］例3解f（x)＝的定義域為（0，＋∞)．任取x1,x2∈（0，＋∞),且x1<x2，則f(x2)－f（x1)＝－＝eq\f(1，\r（x2))－eq\f(1，\r(x1))＝eq\f（\r（x1）－\r（x2），\r(x1x2））＝eq\f(x1－x2，\r(x1x2）·\r（x1)＋\r(x2)）.因為x2>x1>0，所以x1－x2〈0，且eq\r（x1x2）·(eq\r（x1）＋eq\r（x2)）>0，于是f（x2)－f（x1）〈0，即f（x2）<f(x1），所以f(x)＝在區(qū)間（0，＋∞）內是減函數．跟蹤訓練3解∵m∈N＋,∴m2＋m＝m×（m＋1)為偶數．令m2＋m＝2k，k∈N＋,則f(x)＝eq\r(2k,x)，∴f(x）的定義域為［0，＋∞），在［0，＋∞）上為增函數．例4(1）解∵在[0，＋∞)上是增函數，27>25，∴即（2)（eq\f(2,3）,eq\f(3，2））解析由(1)知f（x)＝x在區(qū)間（0，＋∞)內是減函數．所以(a＋1)<（3－2a)等價于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＋1>0，，3－2a〉0，,a＋1〉3－2a,）)解得eq\f(2,3）<a<eq\f(3，2）.所以a的取值范圍是(eq\f（2，3)，eq\f(3,2）)．．跟蹤訓練4解∵在R上為增函數，且eq\f（1,2)<9〈16,∴即(2）∵eq\r(2）＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去），∴f(x）＝，由(1)知f（x）在定義域［0,＋∞）上為增函數，∴f(2－a)>f(a－1）等價于2－a>a－1≥0，解得1≤a〈eq\f(3,2)。當堂訓練1．C[由冪函數的定義知k＝1.又feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2)）)