2017學年高中數(shù)學2-21.2導數(shù)的計算1.2.2（二）含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2.2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及導數(shù)的運算法則（二）［學習目標]1．理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則．2．理解求導法則的證明過程，能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)．3．能運用復合函數(shù)的求導法則進行復合函數(shù)的求導．[知識鏈接]前面我們已經(jīng)學習了幾個常用函數(shù)的導數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，這樣做起題來比用導數(shù)的定義顯得格外輕松．我們已經(jīng)會求f（x）＝5和g（x）＝1。05x等基本初等函數(shù)的導數(shù)，那么怎樣求f（x）與g(x）的和、差、積、商的導數(shù)呢？答利用導數(shù)的運算法則．［預習導引］1．導數(shù)運算法則法則語言敘述［f（x）±g(x）]′＝f′（x)±g′(x）兩個函數(shù)的和（或差）的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差）[f(x）·g(x）］′＝f′(x)·g（x）＋f（x)·g′(x）兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘上第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘上第二個函數(shù)的導數(shù)eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（fx，gx)))′＝eq\f（f′xgx－fx·g′x，[gx］2)(g(x）≠0）兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)乘上分母減去分子乘上分母的導數(shù)，再除以分母的平方2．復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g（x）,如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為y＝f（u)和u＝g（x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g（x))復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)y＝f(g(x））的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g（x)的導數(shù)間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積要點一利用導數(shù)的運算法則求函數(shù)的導數(shù)例1求下列函數(shù)的導數(shù):（1)y＝x3－2x＋3；(2）y＝（x2＋1)(x－1）；（3）y＝3x－lgx。解(1)y′＝(x3)′－(2x）′＋3′＝3x2－2。(2)∵y＝(x2＋1）（x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝（x3)′－（x2)′＋x′－1′＝3x2－2x＋1.（3）函數(shù)y＝3x－lgx是函數(shù)f（x)＝3x與函數(shù)g(x）＝lgx的差．由導數(shù)公式表分別得出f′（x)＝3xln3，g′（x）＝eq\f（1,xln10)，利用函數(shù)差的求導法則可得(3x－lgx)′＝f′(x）－g′(x）＝3xln3－eq\f（1，xln10).規(guī)律方法本題是基本函數(shù)和(差)的求導問題，求導過程要緊扣求導法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導法則，對于不具備求導法則結(jié)構(gòu)形式的可先進行適當?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為較易求導的結(jié)構(gòu)形式再求導數(shù)．跟蹤演練1求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝5－4x3；（2）y＝3x2＋xcosx；(3)y＝ex·lnx；（4）y＝lgx－eq\f(1,x2).解(1）y′＝－12x2；(2）y′＝(3x2＋xcosx）′＝6x＋cosx－xsinx；(3)y′＝eq\f（ex，x）＋ex·lnx；（4）y′＝eq\f(1，xln10)＋eq\f(2,x3）。要點二求復合函數(shù)的導數(shù)例2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1）y＝ln(x＋2）；(2）y＝(1＋sinx)2；解(1）y＝lnu，u＝x＋2∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝（lnu）′·（x＋2）′＝eq\f（1，u）·1＝eq\f(1，x＋2）。(2）y＝u2,u＝1＋sinx，∴yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2)′·(1＋sinx)′＝2u·cosx＝2cosx(1＋sinx)．規(guī)律方法應用復合函數(shù)的求導法則求導，應注意以下幾個方面：(1)中間變量的選取應是基本函數(shù)結(jié)構(gòu)．(2）正確分析函數(shù)的復合層次，并要弄清每一步是哪個變量對哪個變量的求導．(3)一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導．(4）善于把一部分表達式作為一個整體．(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù)．熟練后，就不必再寫中間步驟．跟蹤演練2(1)y＝e2x＋1；（2)y＝(eq\r（x）－2）2.解（1)y＝eu,u＝2x＋1，∴y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝（eu)′·（2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)法一∵y＝(eq\r(x)－2)2＝x－4eq\r（x)＋4，∴y′＝x′－(4eq\r(x))′＋4′＝1－4×eq\f（1,2）x－eq\f(1，2)＝1－eq\f（2，\r（x)).法二令u＝eq\r(x）－2，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝2(eq\r(x)－2）·（eq\r(x）－2)′＝2(eq\r（x）－2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)·\f(1,\r（x）)－0)）＝1－eq\f(2,\r(x）)。要點三導數(shù)的應用例3求過點(1,－1)與曲線f（x）＝x3－2x相切的直線方程．解設P(x0，y0)為切點，則切線斜率為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2，0）－2故切線方程為y－y0＝（3xeq\o\al（2,0)－2）（x－x0) ①∵(x0，y0）在曲線上,∴y0＝xeq\o\al（3,0)－2x0 ②又∵（1，－1)在切線上，∴將②式和（1，－1）代入①式得－1－(xeq\o\al(3,0）－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2）（1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1，2）.故所求的切線方程為y＋1＝x－1或y＋1＝－eq\f(5,4）（x－1）．即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.規(guī)律方法（1，－1）雖然在曲線上，但是經(jīng)過該點的切線不一定只有一條，即該點有可能是切點，也可能是切線與曲線的交點，解題時注意不要失解．跟蹤演練3已知某運動著的物體的運動方程為s(t)＝eq\f（t－1,t2)＋2t2（位移單位：m，時間單位：s）,求t＝3s時物體的瞬時速度．解∵s（t)＝eq\f（t－1，t2)＋2t2＝eq\f（t，t2）－eq\f（1，t2)＋2t2＝eq\f(1,t）－eq\f（1，t2)＋2t2，∴s′(t）＝－eq\f（1,t2）＋2·eq\f（1，t3)＋4t，∴s′(3)＝－eq\f(1,9)＋eq\f(2,27）＋12＝eq\f(323,27)，即物體在t＝3s時的瞬時速度為eq\f(323,27）m/s.1．下列結(jié)論不正確的是(）A．若y＝3，則y′＝0B．若f(x)＝3x＋1，則f′(1)＝3C．若y＝－eq\r（x)＋x，則y′＝－eq\f(1，2\r（x）)＋1D．若y＝sinx＋cosx，則y′＝cosx＋sinx答案D解析利用求導公式和導數(shù)的加、減運算法則求解．D項，∵y＝sinx＋cosx，∴y′＝(sinx）′＋（cosx）′＝cosx－sinx.2．函數(shù)y＝eq\f（cosx，1－x)的導數(shù)是（）A。eq\f(－sinx＋xsinx,1－x2） B．eq\f(xsinx－sinx－cosx,1－x2)C．eq\f(cosx－sinx＋xsinx,1－x2） D．eq\f(cosx－sinx＋xsinx，1－x)答案C解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(cosx，1－x)））′＝eq\f（－sinx1－x－cosx·－1，1－x2)＝eq\f（cosx－sinx＋xsinx,1－x2).3．曲線y＝eq\f(x，x＋2）在點(－1，－1)處的切線方程為(）A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x＋2答案A解析∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22）＝eq\f（2，x＋22），∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝eq\f（2，－1＋22)＝2，∴切線方程為y＋1＝2(x＋1），即y＝2x＋1.4．直線y＝eq\f(1，2)x＋b是曲線y＝lnx（x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝________.答案ln2－1解析設切點為（x0,y0)，∵y′＝eq\f（1,x)，∴eq\f（1,2)＝eq\f(1，x0）,∴x0＝2，∴y0＝ln2,ln2＝eq\f(1，2）×2＋b，∴b＝ln2－1.求函數(shù)的導數(shù)要準確把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導數(shù)．在求導過程中，要仔細分析出函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)導數(shù)運算法則，聯(lián)系基本函數(shù)的導數(shù)公式．對于不具備導數(shù)運算法則結(jié)構(gòu)形式的要進行適當恒等變形,轉(zhuǎn)化為較易求導的結(jié)構(gòu)形式，再求導數(shù)，進而解決一些切線斜率、瞬時速度等問題。一、基礎達標1．設y＝－2exsinx，則y′等于（）A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)答案D解析y′＝－2（exsinx＋excosx)＝－2ex（sinx＋cosx)．2．當函數(shù)y＝eq\f(x2＋a2，x）（a〉0）在x＝x0處的導數(shù)為0時，那么x0＝()A．a(chǎn) B．±aC．－a D．a(chǎn)2答案B解析y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x2＋a2,x）))′＝eq\f（2x·x－x2＋a2，x2)＝eq\f（x2－a2，x2)，由xeq\o\al（2，0）－a2＝0得x0＝±a。3．設曲線y＝eq\f（x＋1，x－1）在點（3,2）處的切線與直線ax＋y＋1＝0垂直，則a等于（）A．2 B．eq\f(1，2）C．－eq\f(1,2) D．－2答案D解析∵y＝eq\f（x＋1,x－1)＝1＋eq\f（2，x－1），∴y′＝－eq\f(2，x－12）。∴y′｜x＝3＝－eq\f（1，2）?！啵璦＝2,即a＝－2。4．已知曲線y＝x3在點P處的切線斜率為k，則當k＝3時的P點坐標為()A．(－2，－8) B．（－1，－1)或(1,1）C．（2，8) D．eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，－\f（1，8））)答案B解析y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，則P點坐標為（－1，－1）或(1,1)．5．設函數(shù)f（x)＝g(x）＋x2，曲線y＝g(x)在點(1，g（1)）處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f（x）在點(1,f（1))處切線的斜率為________．答案4解析依題意得f′(x）＝g′（x)＋2x,f′(1)＝g′（1)＋2＝4。6．已知f(x）＝eq\f（1,3）x3＋3xf′（0），則f′(1)＝________.答案1解析由于f′(0）是一常數(shù)，所以f′（x)＝x2＋3f令x＝0,則f′(0)＝0,∴f′(1）＝12＋3f7．求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y＝（2x2＋3）(3x－1）；（2)y＝x－sineq\f(x，2)coseq\f（x，2）.解(1)法一y′＝(2x2＋3）′(3x－1）＋(2x2＋3)（3x－1）′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二∵y＝（2x2＋3）(3x－1）＝6x3－2x2＋9x－3，∴y′＝(6x3－2x2＋9x－3）′＝18x2－4x＋9。(2）∵y＝x－sineq\f(x,2）coseq\f(x,2）＝x－eq\f（1，2)sinx，∴y′＝x′－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)sinx)）′＝1－eq\f(1，2）cosx.二、能力提升8．曲線y＝eq\f(sinx，sinx＋cosx)－eq\f（1,2)在點Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,4），0))處的切線的斜率為(）A．－eq\f(1，2) B．eq\f（1，2)C．－eq\f(\r(2）,2） D．eq\f(\r(2),2）答案B解析y′＝eq\f(cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx,sinx＋cosx2）＝eq\f（1，sinx＋cosx2），故y′|eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（π，4）))＝eq\f(1,2），∴曲線在點Meq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π，4)，0))處的切線的斜率為eq\f(1，2).9．已知點P在曲線y＝eq\f(4，ex＋1)上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是（)A．［0，eq\f（π,4）） B．[eq\f（π,4)，eq\f（π，2)）C．(eq\f(π，2），eq\f(3π,4）］ D．［eq\f（3π，4），π）答案D解析y′＝－eq\f（4ex，ex＋12）＝－eq\f(4ex,e2x＋2ex＋1），設t＝ex∈(0，＋∞），則y′＝－eq\f（4t,t2＋2t＋1）＝－eq\f(4,t＋\f（1,t）＋2）,∵t＋eq\f(1，t）≥2，∴y′∈［－1,0）,α∈［eq\f(3π，4)，π）．10．(2013·江西)設函數(shù)f（x)在(0,＋∞)內(nèi)可導，且f（ex)＝x＋ex，則f′(1)＝________.答案2解析令t＝ex,則x＝lnt，所以函數(shù)為f(t)＝lnt＋t，即f(x）＝lnx＋x，所以f′(x)＝eq\f(1,x）＋1，即f′（1）＝eq\f(1,1)＋1＝2。11．求過點(2,0)且與曲線y＝x3相切的直線方程．解點（2，0）不在曲線y＝x3上，可令切點坐標為(x0,xeq\o\al(3，0）)．由題意，所求直線方程的斜率k＝eq\f（x\o\al(3,0）－0,x0－2）＝y(tǒng)′｜x＝x0＝3xeq\o\al(2,0），即eq\f（x\o\al(3，0）,x0－2）＝3xeq\o\al(2，0)，解得x0＝0或x0＝3.當x0＝0時，得切點坐標是(0,0),斜率k＝0，則所求直線方程是y＝0；當x0＝3時，得切點坐標是(3,27),斜率k＝27，則所求直線方程是y－27＝27(x－3）,即27x－y－54＝0.綜上，所求的直線方程為y＝0或27x－y－54＝0。12．已知曲線f（x）＝x3－3x，過點A(0,16)作曲線f(x)的切線，求曲線的切線方程．解設切點為（x0，y0），則由導數(shù)定義得切線的斜率k＝f′（x0）＝3xeq\o\al（2,0)－3，∴切線方程為y＝（3xeq\o\al(2,0)－3）x＋16，又切點(x0，y0)在切線上，∴y0＝3(xeq\o\al（2,0)－1）x0＋16,即xeq\o\al（3，0）－3x0＝3（xeq\o\al（2,0）－1)x0＋16，解得x0＝－2,∴切線方程為9x－y＋16＝0.三、探究與創(chuàng)新13．設函數(shù)f(x）＝ax－eq\f(b,x)，曲線y＝f（x）在點(2，f（2））處的切線方程為7x－4y－12＝0。(1)求f（x)的解析式;(2）證明:曲線y＝f（x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值．(1）解由7x－4y－12＝0得y＝eq\f(7,4)x－3.當x＝2時，y＝eq\f（1,2），∴f（2）＝eq\f（1，2)， ①又f′(x）＝a＋eq\f（b,x2）,∴f′(2)＝eq\f(7,4）, ②由①,②得eq\b\lc\｛\rc\(