步步高大一輪文科數學課件全國卷第十章第三節(jié)

§10.3

變量間的相關關系、統(tǒng)計案例基礎知識

自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.兩個變量的線性相關知識梳理(1)正相關在散點圖中，點散布在從

到

的區(qū)域，對于兩個變量的這種相關關系，我們將它稱為正相關.(2)負相關在散點圖中，點散布在從

到

的區(qū)域，兩個變量的這種相關關系稱為負相關.(3)線性相關關系、回歸直線如果散點圖中點的分布從整體上看大致在

，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.左下角右上角左上角右下角一條直線附近2.回歸方程(1)最小二乘法求回歸直線，使得樣本數據的點到它的

的方法叫做最小二乘法.(2)回歸方程

是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回歸方程，其中

，

是待定參數.距離的平方和最小3.回歸分析(1)定義：對具有

的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法.(2)樣本點的中心對于一組具有線性相關關系的數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中

稱為樣本點的中心.(3)相關系數當r>0時，表明兩個變量

；當r<0時，表明兩個變量

.相關關系正相關負相關r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性

.r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間

.通常|r|大于

時，認為兩個變量有很強的線性相關性.越強幾乎不存在線性相關關系0.754.獨立性檢驗(1)分類變量：變量的不同“值”表示個體所屬的

，像這類變量稱為分類變量.(2)列聯表：列出兩個分類變量的

，稱為列聯表.假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數列聯表(稱為2×2列聯表)為不同類別頻數表2×2列聯表構造一個隨機變量K2＝

，其中n＝

為樣本容量.

y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋d(3)獨立性檢驗利用隨機變量

來判斷“兩個分類變量

”的方法稱為獨立性檢驗.K2有關系判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)相關關系與函數關系都是一種確定性的關系，也是一種因果關系.(

)(2)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關系.(

)(3)只有兩個變量有相關關系，所得到的回歸模型才有預測價值.(

)思考辨析×√√(4)某同學研究賣出的熱飲杯數y與氣溫x(℃)之間的關系，得回歸方程

＝－2.352x＋147.767，則氣溫為2℃時，一定可賣出143杯熱飲.(

)(5)事件X，Y關系越密切，則由觀測數據計算得到的K2的觀測值越大.(

)(6)由獨立性檢驗可知，有99%的把握認為物理成績優(yōu)秀與數學成績有關，某人數學成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.(

)×√×

考點自測1.(2015·湖北)已知變量x和y滿足關系

＝－0.1x＋1，變量y與z正相關.下列結論中正確的是A.x與y正相關，x與z負相關B.x與y正相關，x與z正相關C.x與y負相關，x與z負相關D.x與y負相關，x與z正相關答案解析所以x與y負相關.又y與z正相關，所以x與z負相關.故選C.

2.(教材改編)下面是2×2列聯表：則表中a，b的值分別為答案解析A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.

y1y2合計x1a2173x2222547合計b46120

因為變量x和y正相關，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項C和D.因為樣本點的中心在回歸直線上，把點(3,3.5)分別代入選項A和B中的直線方程進行檢驗，可以排除B，故選A.答案解析

4.(2017·湖南三校聯考)某產品在某零售攤位的零售價x(單位：元)與每天的銷售量y(單位：個)的統(tǒng)計資料如下表所示：答案解析x16171819y50344131由上表可得線性回歸方程

，據此模型預測零售價為15元時，每天的銷售量為A.51個

B.50個

C.49個

D.48個5.(2016·玉溪一中月考)利用獨立性檢驗來判斷兩個分類變量X和Y是否有關系，通過查閱下表來確定“X和Y有關系”的可信度.為了調查用電腦時間與視力下降是否有關系，現從某地網民中抽取100位居民進行調查.經過計算得K2≈3.855，那么就有________%的把握認為用電腦時間與視力下降有關系.答案解析根據表格發(fā)現3.855>3.841,3.841對應的是0.05，所以根據獨立性檢驗原理可知有95%的把握認為用電腦時間與視力下降有關系.95P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828題型分類深度剖析

題型一相關關系的判斷例1

(1)四名同學根據各自的樣本數據研究變量x，y之間的相關關系，并求得線性回歸方程，分別得到以下四個結論：其中一定不正確的結論的序號是答案解析A.①② B.②③

C.③④

D.①④∴①④一定錯誤.(2)x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為_____.答案解析①x，y是負相關關系；③x、y之間不能建立線性回歸方程.①②①顯然正確；判定兩個變量正、負相關性的方法(1)畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關.(2)相關系數：r>0時，正相關；r<0時，負相關.思維升華

跟蹤訓練1

(1)在一組樣本數據(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝

x＋1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為A.－1 B.0 C. D.1所有點均在直線上，則樣本相關系數最大，即為1，故選D.答案解析

(2)變量X與Y相對應的一組數據為(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；變量U與V相對應的一組數據為(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1).r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，則A.r2＜r1＜0 B.0＜r2＜r1C.r2＜0＜r1

D.r2＝r1對于變量Y與X而言，Y隨X的增大而增大，故Y與X正相關，即r1＞0；對于變量V與U而言，V隨U的增大而減小，故V與U負相關，即r2＜0，故選C.答案解析題型二線性回歸分析例2

(2016·全國丙卷)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；注：年份代碼17分別對應年份2008－2014.解答由折線圖中數據和附注中參考數據得因為y與t的相關系數近似為0.99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：解答所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.線性回歸分析問題的類型及解題方法(1)求線性回歸方程①利用公式，求出回歸系數

②待定系數法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數.(2)利用回歸方程進行預測，把線性回歸方程看作一次函數，求函數值.(3)利用回歸直線判斷正、負相關；決定正相關還是負相關的是系數

.(4)回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.思維升華跟蹤訓練2

(2015·課標全國Ⅰ)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.46.65636.8289.81.61469108.8解答(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；解答(3)已知這種產品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.根據(2)的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？解答②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？解答根據(2)的結果知，年利潤z的預報值故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.題型三獨立性檢驗例3

(2016·福建廈門三中模擬)某大型企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對待企業(yè)改革的關系，隨機抽取了100名員工進行調查，其中支持企業(yè)改革的調查者中，工作積極的有46人，工作一般的有35人，而不太贊成企業(yè)改革的調查者中，工作積極的有4人，工作一般的有15人.(1)根據以上數據建立一個2×2列聯表；

解答根據題設條件，得2×2列聯表如下：

支持企業(yè)改革不太贊成企業(yè)改革總計工作積極46450工作一般351550總計8119100(2)對于人力資源部的研究項目，根據以上數據是否可以認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性有關系？解答P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828提出假設：企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性無關.根據(1)中的數據，可以求得所以有99%的把握認為抽樣員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與工作積極性有關，從而認為企業(yè)的全體員工對待企業(yè)改革的態(tài)度與其工作積極性有關.(1)比較幾個分類變量有關聯的可能性大小的方法①通過計算K2的大小判斷：K2越大，兩變量有關聯的可能性越大.②通過計算|ad－bc|的大小判斷：|ad－bc|越大，兩變量有關聯的可能性越大.(2)獨立性檢驗的一般步驟①根據樣本數據制成2×2列聯表.思維升華③比較k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷.跟蹤訓練3

(2017·衡陽聯考)2016年9月20日是第28個全國愛牙日，為了迎接此節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調查小組，調查“常吃零食與患齲齒的關系”，對該地區(qū)小學六年級800名學生進行檢查，按患齲齒和不患齲齒分類，并匯總數據：不常吃零食且不患齲齒的學生有60名，常吃零食但不患齲齒的學生有100名，不常吃零食但患齲齒的學生有140名.(1)能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該地區(qū)學生常吃零食與患齲齒有關系？解答由題意可得2×2列聯表如下：根據2×2列聯表中數據，得K2的觀測值為

不常吃零食常吃零食總計不患齲齒60100160患齲齒140500640總計200600800∴能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為該地區(qū)學生常吃零食與患齲齒有關系.(2)4名衛(wèi)生部門的工作人員隨機分成兩組，每組2人，一組負責數據收集，另一組負責數據處理，求工作人員甲分到收集數據組，工作人員乙分到處理數據組的概率.解答P(K2≥k0)0.0100.0050.001k06.6357.87910.828設其他工作人員為丙和丁，4人分組的所有情況如下表.由表可知，分組的情況共有6種，工作人員甲負責收集數據且工作人員乙負責處理數據的有2種，小組123456收集數據甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁處理數據丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙典例

(12分)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數據：思想方法指導

規(guī)范解答

求線性回歸方程的方法技巧思想與方法系列21年份20062008201020122014需求量/萬噸236246257276286(1)利用所給數據求年需求量與年份之間的線性回歸方程

；(2)利用(1)中所求出的線性回歸方程預測該地2016年的糧食需求量.回歸分析是處理變量相關關系的一種數學方法.主要解決：(1)確定特定量之間是否有相關關系，如果有就找出它們之間貼近的數學表達式；(2)根據一組觀測值，預測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢；(3)求出線性回歸方程。

返回解

(1)由所給數據看出，年需求量與年份之間近似直線上升，下面來求線性回歸方程，先將數據處理如下表.年份－2010－4－2024需求－257－21－1101929由上述計算結果，知所求線性回歸方程為(2)利用所求得的線性回歸方程，可預測2016年的糧食需求量大約為6.5×(2016－2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸).[12分]

返回課時作業(yè)1.(2016·衡水質檢)具有線性相關關系的變量x，y滿足一組數據如下表所示.若y與x的線性回歸方程為

，則m的值是12345678910答案解析x0123y－11m8√2.(2016·湖南師大附中月考)已知x，y的取值如下表：12345678910x014568y1.31.85.66.17.49.3答案解析A.1.45 B.13.8 C.13 D.12.8√12345678910從而當x＝13時，有y＝13.8.故選B.3.(2017·泰安月考)為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學參加環(huán)保知識測試.統(tǒng)計得到成績與專業(yè)的列聯表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計A班14620B班71320總計21194012345678910附：參考公式及數據：(2)獨立性檢驗的臨界值表：P(K2≥k0)0.0500.010k03.8416.63512345678910則下列說法正確的是A.有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關B.有99%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關C.有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關D.有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關答案解析√3.841<K2<6.635，所以有95%的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關.1234567891012345678910答案解析√∵0.85>0，∴y與x正相關，∴A正確；12345678910∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，∴C正確.故選D.5.有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績，得到如下所示的列聯表：

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b

乙班c30

合計

附：

P(K2≥k0)0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.87912345678910A.列聯表中c的值為30，b的值為35B.列聯表中c的值為15，b的值為50C.根據列聯表中的數據，若按97.5%的可靠性要求，能認為“成績與

班級有關系”D.根據列聯表中的數據，若按97.5%的可靠性要求，不能認為“成績

與班級有關系”√答案解析12345678910由題意知，成績優(yōu)秀的學生數是30，成績非優(yōu)秀的學生數是75，所以c＝20，b＝45，選項A、B錯誤.根據列聯表中的數據，因此有97.5%的把握認為“成績與班級有關系”.12345678910A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件12345678910答案解析√7.以下四個命題，其中正確的序號是________.①從勻速傳遞的產品生產流水線上，質檢員每20分鐘從中抽取一件產品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數的絕對值越接近于1；③在線性回歸方程

＝0.2x＋12中，當解釋變量x每增加一個單位時，預報變量

平均增加0.2個單位；④對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關系”的把握程度越大.答案解析②③①是系統(tǒng)抽樣；對于④，隨機變量K2的觀測值k越小，說明兩個相關變量有關系的把握程度越小.1234567891012345678910答案解析9.某百貨公司1～6月份的銷售量x與利潤y的統(tǒng)計數據如下表：12345678910月份123456銷售量x(萬件)1011131286利潤y(萬元)222529261612解答根據表中2～5月份的數據作出散點圖，如圖所示：12345678910(2)若由線性回歸方程得到的估計數據與剩