第二章傳遞函數(shù)

開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單價(jià)格便宜調(diào)試簡(jiǎn)單準(zhǔn)確、精度高反應(yīng)靈敏、快速抗干擾元件變化影響小缺點(diǎn)準(zhǔn)確性差反應(yīng)慢不抗干擾元件變化影響大結(jié)構(gòu)復(fù)雜成本高調(diào)試復(fù)雜控制系統(tǒng)中的變量（信號(hào)）：

1輸出變量被控制量輸出信號(hào)

2輸入變量輸入信號(hào)參考輸入

3干擾量干擾信號(hào)

4偏差信號(hào)

5其它信號(hào)對(duì)控制系統(tǒng)的基本要求

穩(wěn)定----控制系統(tǒng)可以工作的必要條件響應(yīng)快----動(dòng)態(tài)過(guò)程快速、平穩(wěn)準(zhǔn)確----穩(wěn)態(tài)誤差小穩(wěn)快準(zhǔn)

控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式脈沖響應(yīng)函數(shù)各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換第二章自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型物理模型——任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)稱(chēng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和求解的精確要求來(lái)確定出合理的物理模型。數(shù)學(xué)模型——物理模型的數(shù)學(xué)描述。是指描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間動(dòng)態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)建模——從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型:

描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)表達(dá)式：代數(shù)方程、微分方程靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量之間與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)關(guān)系動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量對(duì)時(shí)間的變化率，反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的類(lèi)型時(shí)域（t）模型微分方程頻域（ω）模型頻率特性結(jié)構(gòu)圖=原理圖＋傳遞函數(shù)復(fù)域（S）模型傳遞函數(shù)常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型：時(shí)域：微分方程；差分方程；狀態(tài)方程復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)頻域：頻率特性表達(dá)形式時(shí)域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程復(fù)域：傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖頻域：頻率特性線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換

建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法:

分析法(又稱(chēng)機(jī)理建模法)是根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過(guò)程中所遵循的物理定理來(lái)進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。對(duì)于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)以知的常用此法。

實(shí)驗(yàn)法(又稱(chēng)系統(tǒng)辨識(shí))是根據(jù)元件或系統(tǒng)對(duì)某些典型輸入信號(hào)的響應(yīng)或其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，當(dāng)元件或系統(tǒng)比較復(fù)雜，其運(yùn)動(dòng)特性很難用幾個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方程表示時(shí)，實(shí)驗(yàn)法就顯得非常重要了。2-1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型一、線性元件的微分方程建立系統(tǒng)或元件的微分方程的步驟：1）確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量2）依據(jù)各個(gè)變量之間遵循的物理或化學(xué)定律，列出一組微分方程3）消去中間變量，寫(xiě)出系統(tǒng)輸入和輸出變量的微分方程4）對(duì)微分方程進(jìn)行整理，寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，即輸出量放左邊，輸入量放右邊，按降冪排列建立系統(tǒng)或元件的微分方程的步驟：1）確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量2）依據(jù)各個(gè)變量之間遵循的物理或化學(xué)定律，列出一組微分方程3）消去中間變量，寫(xiě)出系統(tǒng)輸入和輸出變量的微分方程4）對(duì)微分方程進(jìn)行整理，寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，即輸出量放左邊，輸入量放右邊，按降冪排列例2-1：如圖所示，由一RC組成的四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫(xiě)以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。

解：設(shè)回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨?，列寫(xiě)方程如下：①②③④⑤I1I2由④、⑤得由②導(dǎo)出將i1、i2代入①、③，則得這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)二階線性微分方程。例2-2圖示是彈簧-質(zhì)量-阻尼器機(jī)械位移系統(tǒng)。試列寫(xiě)質(zhì)量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的運(yùn)動(dòng)方程。解：f--阻尼系數(shù)k--彈性系數(shù)根據(jù)牛頓第二定律式中整理后

mF(t)x(t)fF1F2例2-3列寫(xiě)電樞控制的它勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)的微分方程。ua取為輸入量，ωm為輸出量。SM負(fù)載解：由電機(jī)學(xué)可知電磁轉(zhuǎn)矩方程感應(yīng)電勢(shì)電樞回路電壓平衡方程式直流電機(jī)的轉(zhuǎn)矩平衡方程式由由以上分析，可得電樞控制的他勵(lì)直流電機(jī)的微分方程組消去中間變量可得在工程應(yīng)用中，較小，可忽略不計(jì)

令得如很小可忽略不計(jì)時(shí)，則微分方程化簡(jiǎn)為如以電機(jī)轉(zhuǎn)角

為輸出，因則微分方程為[需要討論的幾個(gè)問(wèn)題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因?yàn)椋喝袅睿姾桑?，則例2-1①式的結(jié)果變?yōu)椋嚎梢?jiàn)，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類(lèi)型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。[定義]具有相同的數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱(chēng)為相似系統(tǒng)例2-1和例2-2稱(chēng)為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來(lái)模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。2、線性系統(tǒng)的特點(diǎn)線性系統(tǒng)的主要特點(diǎn)：可疊加性和齊次性（疊加原理）疊加原理：設(shè)線性微分方程如時(shí)方程的解為，時(shí)方程的解為。就有當(dāng)時(shí)，解（可疊加性）當(dāng)（為常數(shù)）時(shí)，解（齊次性）

疊加原理說(shuō)明，對(duì)于線性系統(tǒng)（1）兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用時(shí)分別產(chǎn)生的響應(yīng)之和；（2）外作用的數(shù)值增大若干倍時(shí)，響應(yīng)也增加同樣的倍數(shù)?？莎B加性和齊次性使線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)大為簡(jiǎn)化。3、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱(chēng)該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應(yīng)用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。[非線性系統(tǒng)]如果不能應(yīng)用疊加原理--非線性例如：在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前面的線性項(xiàng)可以得到等效的線性環(huán)節(jié)AByx0設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如下圖中的A(x0,y0)。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為A(x0+Dx,y0+Dy)，當(dāng)Dx很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。[注意]：（1）實(shí)際的工作情況在工作點(diǎn)（穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即平衡態(tài)）附近。（2）變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點(diǎn)附近的非線性情況及變量變化范圍有關(guān)。三、線性定常微分方程的求解（一）復(fù)習(xí)拉氏變換①拉氏變換的物理意義拉氏變換是將時(shí)間函數(shù)f(t)變換為復(fù)變函數(shù)F(s)，或作相反變換。時(shí)域(t)變量t是實(shí)數(shù)，復(fù)頻域F(s)變量s是復(fù)數(shù)。變量s又稱(chēng)“復(fù)頻率”。拉氏變換建立了時(shí)域與復(fù)頻域(s域）之間的聯(lián)系。②定義：設(shè)函數(shù)f(t)滿(mǎn)足①t<0時(shí)f(t)=0②t>0時(shí)，f(t)連續(xù)，則f(t)的拉氏變換存在，表示為：拉氏變換函數(shù)（象函數(shù)）原函數(shù)衰減因子，其中：τ-時(shí)間常數(shù)s=-σ+jω為拉氏變換算子，其中：σ-衰減系數(shù)ω-振蕩頻率（rad/s）由拉氏變換的定義得1(t)的象函數(shù)為求指數(shù)函數(shù)e-αt的象函數(shù)。解:③常用函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)：?jiǎn)挝粧佄锞€函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。常用函數(shù)的拉氏變換對(duì)照表1)疊加定理：兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個(gè)函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即④性質(zhì)：證

:2)比例定理

K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的K倍。即L［Kf(t)］=KL［f(t)］=KF(s)證:

3)微分定理：則：

L［f’(t)］=sF(s)-f(0)證

L［f’(t)］=sF(s)–f(0)同理：L［f″(t)］=s2F(s)-sf

(0)-f′(0)…L［f

(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f

(n-1)(0)

若具有零初始條件，即f(0)=f’(0)=…=f(n-1)(0)=0則:L［f’(t)］=sF(s)

L［f″(t)］=s2F(s)…L［f(n)(t)］=snF(s)

4)積分定理5)位移定理：L［e-αtf(t)］=F(s+α)

證:6)初值定理7)終值定理

證:由微分定理有對(duì)上式兩邊取極限由于當(dāng)s→0時(shí)，e-st→1，則：時(shí)滯定理：卷積定理：（二）拉氏反變換

按定義求拉氏反變換很困難，一般常用部分分式法計(jì)算：的一般形式為部分分式原函數(shù)分解查表◆F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)為◆F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)為待定系數(shù)◆F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開(kāi)為

例解：例

例解：3、含有共軛極點(diǎn)。微分方程以s為參量的象函數(shù)的代數(shù)方程象函數(shù)原函數(shù)(微分方程解)拉氏變換求解代數(shù)方程拉氏反變換（三）、用拉氏變換法求解微分方程舉例小結(jié)拉氏變換性質(zhì)拉氏反變換（三種情況）用拉式變換求解微分方程2.2傳遞函數(shù)用微分方程來(lái)描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個(gè)參數(shù)發(fā)生變化或者結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。為此提出傳遞函數(shù)的概念。一、傳遞函數(shù)的定義和概念以上一節(jié)例（1）RLC電路的微分方程為例：設(shè)初始狀態(tài)為零，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得到：G(s)R(s)C(s))定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱(chēng)為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。一般形式：設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是：

y(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對(duì)上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。因?yàn)榻M成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式，若m>n,我們就說(shuō)這是物理不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，是對(duì)微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換得到的；

(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)；

(3)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息；

(4)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)；

(5)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)；

(6)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號(hào)下的動(dòng)態(tài)特性就確定了。二、傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內(nèi)部物理結(jié)構(gòu)的有關(guān)信息；傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)；

(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對(duì)應(yīng)；

(3)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關(guān)；

(5)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號(hào)下的動(dòng)態(tài)特性就確定了。

傳遞函數(shù)微分方程用方框圖來(lái)表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)系統(tǒng)輸入量與輸出量的因果關(guān)系可以用傳遞函數(shù)連系起來(lái)

(6)[例]求如圖所示電路的傳遞函數(shù)[解]：解法一：列出回路電壓方程和輸出節(jié)點(diǎn)方程拉氏變換用復(fù)數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)時(shí)域方程拉氏變換傳遞函數(shù)復(fù)數(shù)阻抗電容電感電阻解法二：將原用復(fù)阻抗表示：3、傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式①有理分式形式：式中：—為實(shí)常數(shù)，一般n≥m上式稱(chēng)為n階傳遞函數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。②零點(diǎn)、極點(diǎn)形式（首一多項(xiàng)式）：傳遞函數(shù)的零點(diǎn)，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)—傳遞系數(shù)（根軌跡增益）③時(shí)間常數(shù)形式（尾一多項(xiàng)式）：其中稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)K稱(chēng)為傳遞系數(shù)或增益。顯然：3、傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響傳遞函數(shù)的零點(diǎn),用“”表示傳遞函數(shù)的極點(diǎn),用“”表示極點(diǎn)是微分方程的特征跟，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。運(yùn)動(dòng)的模態(tài)線性微分方程的解=特解+齊次微分方程的通解通解由微分方程的特征方程決定，代表自由運(yùn)動(dòng)。零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點(diǎn)重合－該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?/p>

例

已知某系統(tǒng)在0初條件下的階躍響應(yīng)為：試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的特征根及相應(yīng)的模態(tài)；（3）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖；（4）求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)；（5）求系統(tǒng)微分方程；（6）當(dāng)c(0)=-1,c′

(0)=0;r(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。解.（1）(3)

如圖所示(2)

(4)

(5)

（6）其中初條件引起的自由響應(yīng)部分4、典型元部件的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)：具有相同形式傳遞函數(shù)的元部件的分類(lèi)。不同的元部件可以有相同的傳遞函數(shù)；若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數(shù)；任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。

控制系統(tǒng)從動(dòng)態(tài)性能或數(shù)學(xué)模型來(lái)看可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。

（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為無(wú)慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。如圖所示為一電位器輸入量和輸出量關(guān)系如圖中所示。

（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：當(dāng)環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時(shí)，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖所示。式中

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；