第二章傳遞函數(shù)

開環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點結構簡單價格便宜調試簡單準確、精度高反應靈敏、快速抗干擾元件變化影響小缺點準確性差反應慢不抗干擾元件變化影響大結構復雜成本高調試復雜控制系統(tǒng)中的變量（信號）：

1輸出變量被控制量輸出信號

2輸入變量輸入信號參考輸入

3干擾量干擾信號

4偏差信號

5其它信號對控制系統(tǒng)的基本要求

穩(wěn)定----控制系統(tǒng)可以工作的必要條件響應快----動態(tài)過程快速、平穩(wěn)準確----穩(wěn)態(tài)誤差小穩(wěn)快準

控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結構圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號流圖-梅遜公式脈沖響應函數(shù)各種數(shù)學模型的相互轉換第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型物理模型——任何元件或系統(tǒng)實際上都是很復雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)稱為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質和求解的精確要求來確定出合理的物理模型。數(shù)學模型——物理模型的數(shù)學描述。是指描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內部各變量之間動態(tài)關系的數(shù)學表達式。數(shù)學建?！獜膶嶋H系統(tǒng)中抽象出系統(tǒng)數(shù)學模型的過程?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型:

描述系統(tǒng)內部各物理量之間關系的數(shù)學表達式。數(shù)學表達式：代數(shù)方程、微分方程靜態(tài)數(shù)學模型：系統(tǒng)變量之間與時間無關的靜態(tài)關系動態(tài)數(shù)學模型：系統(tǒng)變量對時間的變化率，反映系統(tǒng)的動態(tài)特性控制系統(tǒng)數(shù)學模型的類型時域（t）模型微分方程頻域（ω）模型頻率特性結構圖=原理圖＋傳遞函數(shù)復域（S）模型傳遞函數(shù)常見數(shù)學模型：時域：微分方程；差分方程；狀態(tài)方程復數(shù)域：傳遞函數(shù)頻域：頻率特性表達形式時域：微分方程、差分方程、狀態(tài)方程復域：傳遞函數(shù)、動態(tài)結構圖頻域：頻率特性線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性拉氏變換傅氏變換

建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法:

分析法(又稱機理建模法)是根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過程中所遵循的物理定理來進行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學中的牛頓定理，熱力學中的熱力學定理等。對于系統(tǒng)結構以知的常用此法。

實驗法(又稱系統(tǒng)辨識)是根據(jù)元件或系統(tǒng)對某些典型輸入信號的響應或其他實驗數(shù)據(jù)建立數(shù)學模型，當元件或系統(tǒng)比較復雜，其運動特性很難用幾個簡單的數(shù)學方程表示時，實驗法就顯得非常重要了。2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型一、線性元件的微分方程建立系統(tǒng)或元件的微分方程的步驟：1）確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量2）依據(jù)各個變量之間遵循的物理或化學定律，列出一組微分方程3）消去中間變量，寫出系統(tǒng)輸入和輸出變量的微分方程4）對微分方程進行整理，寫成標準形式，即輸出量放左邊，輸入量放右邊，按降冪排列建立系統(tǒng)或元件的微分方程的步驟：1）確定系統(tǒng)或元件的輸入量和輸出量2）依據(jù)各個變量之間遵循的物理或化學定律，列出一組微分方程3）消去中間變量，寫出系統(tǒng)輸入和輸出變量的微分方程4）對微分方程進行整理，寫成標準形式，即輸出量放左邊，輸入量放右邊，按降冪排列例2-1：如圖所示，由一RC組成的四端無源網(wǎng)絡。試列寫以U1(t)為輸入量，U2(t)為輸出量的網(wǎng)絡微分方程。

解：設回路電流i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑袑懛匠倘缦拢孩佗冖邰堍軮1I2由④、⑤得由②導出將i1、i2代入①、③，則得這就是RC組成的四端網(wǎng)絡的數(shù)學模型，是一個二階線性微分方程。例2-2圖示是彈簧-質量-阻尼器機械位移系統(tǒng)。試列寫質量m在外力F（t）作用下，位移x(t)的運動方程。解：f--阻尼系數(shù)k--彈性系數(shù)根據(jù)牛頓第二定律式中整理后

mF(t)x(t)fF1F2例2-3列寫電樞控制的它勵直流電動機的微分方程。ua取為輸入量，ωm為輸出量。SM負載解：由電機學可知電磁轉矩方程感應電勢電樞回路電壓平衡方程式直流電機的轉矩平衡方程式由由以上分析，可得電樞控制的他勵直流電機的微分方程組消去中間變量可得在工程應用中，較小，可忽略不計

令得如很小可忽略不計時，則微分方程化簡為如以電機轉角

為輸出，因則微分方程為[需要討論的幾個問題]：1、相似系統(tǒng)和相似量：我們注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一樣的。這是因為：若令（電荷），則例2-1①式的結果變?yōu)椋嚎梢姡晃锢硐到y(tǒng)有不同形式的數(shù)學模型，而不同類型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學模型。[定義]具有相同的數(shù)學模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)例2-1和例2-2稱為力-電荷相似系統(tǒng)，在此系統(tǒng)中分別與為相似量。[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個易于實現(xiàn)的系統(tǒng)來模擬相對復雜的系統(tǒng)，實現(xiàn)仿真研究。2、線性系統(tǒng)的特點線性系統(tǒng)的主要特點：可疊加性和齊次性（疊加原理）疊加原理：設線性微分方程如時方程的解為，時方程的解為。就有當時，解（可疊加性）當（為常數(shù)）時，解（齊次性）

疊加原理說明，對于線性系統(tǒng)（1）兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總響應等于各個外作用單獨作用時分別產(chǎn)生的響應之和；（2）外作用的數(shù)值增大若干倍時，響應也增加同樣的倍數(shù)。可疊加性和齊次性使線性系統(tǒng)的分析和設計大為簡化。3、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性便是可以應用線性疊加原理，即系統(tǒng)的總輸出可以由若干個輸入引起的輸出疊加得到。[非線性系統(tǒng)]如果不能應用疊加原理--非線性例如：在工作點附近用泰勒級數(shù)展開，取前面的線性項可以得到等效的線性環(huán)節(jié)AByx0設具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示若取某一平衡狀態(tài)為工作點，如下圖中的A(x0,y0)。A點附近有點為A(x0+Dx,y0+Dy)，當Dx很小時，AB段可近似看做線性的。[注意]：（1）實際的工作情況在工作點（穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即平衡態(tài)）附近。（2）變量的變化必須是小范圍的。其近似程度與工作點附近的非線性情況及變量變化范圍有關。三、線性定常微分方程的求解（一）復習拉氏變換①拉氏變換的物理意義拉氏變換是將時間函數(shù)f(t)變換為復變函數(shù)F(s)，或作相反變換。時域(t)變量t是實數(shù)，復頻域F(s)變量s是復數(shù)。變量s又稱“復頻率”。拉氏變換建立了時域與復頻域(s域）之間的聯(lián)系。②定義：設函數(shù)f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)連續(xù)，則f(t)的拉氏變換存在，表示為：拉氏變換函數(shù)（象函數(shù)）原函數(shù)衰減因子，其中：τ-時間常數(shù)s=-σ+jω為拉氏變換算子，其中：σ-衰減系數(shù)ω-振蕩頻率（rad/s）由拉氏變換的定義得1(t)的象函數(shù)為求指數(shù)函數(shù)e-αt的象函數(shù)。解:③常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：單位脈沖函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：單位拋物線函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關表格獲得。常用函數(shù)的拉氏變換對照表1)疊加定理：兩個函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即④性質：證

:2)比例定理

K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的K倍。即L［Kf(t)］=KL［f(t)］=KF(s)證:

3)微分定理：則：

L［f’(t)］=sF(s)-f(0)證

L［f’(t)］=sF(s)–f(0)同理：L［f″(t)］=s2F(s)-sf

(0)-f′(0)…L［f

(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-…-f

(n-1)(0)

若具有零初始條件，即f(0)=f’(0)=…=f(n-1)(0)=0則:L［f’(t)］=sF(s)

L［f″(t)］=s2F(s)…L［f(n)(t)］=snF(s)

4)積分定理5)位移定理：L［e-αtf(t)］=F(s+α)

證:6)初值定理7)終值定理

證:由微分定理有對上式兩邊取極限由于當s→0時，e-st→1，則：時滯定理：卷積定理：（二）拉氏反變換

按定義求拉氏反變換很困難，一般常用部分分式法計算：的一般形式為部分分式原函數(shù)分解查表◆F(s)含有共扼復數(shù)極點時，可展開為◆F(s)中具有不同的極點時，可展開為待定系數(shù)◆F(s)含有多重極點時，可展開為

例解：例

例解：3、含有共軛極點。微分方程以s為參量的象函數(shù)的代數(shù)方程象函數(shù)原函數(shù)(微分方程解)拉氏變換求解代數(shù)方程拉氏反變換（三）、用拉氏變換法求解微分方程舉例小結拉氏變換性質拉氏反變換（三種情況）用拉式變換求解微分方程2.2傳遞函數(shù)用微分方程來描述系統(tǒng)比較直觀，但是一旦系統(tǒng)中某個參數(shù)發(fā)生變化或者結構發(fā)生變化，就需要重新排列微分方程，不便于系統(tǒng)的分析與設計。為此提出傳遞函數(shù)的概念。一、傳遞函數(shù)的定義和概念以上一節(jié)例（1）RLC電路的微分方程為例：設初始狀態(tài)為零，對上式進行拉氏變換，得到：G(s)R(s)C(s))定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。一般形式：設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是：

y(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：分母中s的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母階次大于等于分子階次，即,是有理真分式，若m>n,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。二、傳遞函數(shù)的性質

(1)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學模型，是對微分方程在零初始條件下進行拉氏變換得到的；

(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應；

(3)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內部物理結構的有關信息；

(4)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關；

(5)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關；

(6)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號下的動態(tài)特性就確定了。二、傳遞函數(shù)的性質

(1)傳遞函數(shù)描述了系統(tǒng)的外部特性。不反映系統(tǒng)的內部物理結構的有關信息；傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關；

(2)傳遞函數(shù)與微分方程一一對應；

(3)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的輸入輸出的位置有關；

(5)傳遞函數(shù)一旦確定，系統(tǒng)在一定的輸入信號下的動態(tài)特性就確定了。

傳遞函數(shù)微分方程用方框圖來表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)系統(tǒng)輸入量與輸出量的因果關系可以用傳遞函數(shù)連系起來

(6)[例]求如圖所示電路的傳遞函數(shù)[解]：解法一：列出回路電壓方程和輸出節(jié)點方程拉氏變換用復數(shù)阻抗法求電網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)時域方程拉氏變換傳遞函數(shù)復數(shù)阻抗電容電感電阻解法二：將原用復阻抗表示：3、傳遞函數(shù)的幾種表達形式①有理分式形式：式中：—為實常數(shù)，一般n≥m上式稱為n階傳遞函數(shù)，相應的系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。②零點、極點形式（首一多項式）：傳遞函數(shù)的零點，傳遞函數(shù)的極點—傳遞系數(shù)（根軌跡增益）③時間常數(shù)形式（尾一多項式）：其中稱為時間常數(shù)K稱為傳遞系數(shù)或增益。顯然：3、傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響傳遞函數(shù)的零點,用“”表示傳遞函數(shù)的極點,用“”表示極點是微分方程的特征跟，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)。運動的模態(tài)線性微分方程的解=特解+齊次微分方程的通解通解由微分方程的特征方程決定，代表自由運動。零點距極點的距離越遠，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點距極點的距離越近，該極點所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點重合－該極點所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因為分子分母相互抵消。

例

已知某系統(tǒng)在0初條件下的階躍響應為：試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的特征根及相應的模態(tài)；（3）畫出對應的零極點圖；（4）求系統(tǒng)的單位脈沖響應g(t)；（5）求系統(tǒng)微分方程；（6）當c(0)=-1,c′

(0)=0;r(t)=1(t)時，求系統(tǒng)的響應。解.（1）(3)

如圖所示(2)

(4)

(5)

（6）其中初條件引起的自由響應部分4、典型元部件的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)：具有相同形式傳遞函數(shù)的元部件的分類。不同的元部件可以有相同的傳遞函數(shù)；若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數(shù)；任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。

控制系統(tǒng)從動態(tài)性能或數(shù)學模型來看可分成為以下幾種基本環(huán)節(jié)，也就是典型環(huán)節(jié)。

（一）比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：G(s)=K輸出量與輸入量成正比，比例環(huán)節(jié)又稱為無慣性環(huán)節(jié)或放大環(huán)節(jié)。如圖所示為一電位器輸入量和輸出量關系如圖中所示。

（二）慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為如下形式的環(huán)節(jié)為慣性環(huán)節(jié)：當環(huán)節(jié)的輸入量為單位階躍函數(shù)時，環(huán)節(jié)的輸出量將按指數(shù)曲線上升，具有慣性，如圖所示。式中

K——環(huán)節(jié)的比例系數(shù)；