第6章 參數(shù)估計

第六章參數(shù)估計一.點估計點估計的優(yōu)良性準(zhǔn)則區(qū)間估計參數(shù)估計在統(tǒng)計方法中的地位統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計參數(shù)估計假設(shè)檢驗參數(shù)估計的方法矩估計法最小二乘法最大似然法順序統(tǒng)計量法估計方法點估計區(qū)間估計被估計的總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示用于估計的樣本統(tǒng)計量一個總體均值比例方差兩個總體均值之差比例之差方差比第一節(jié)點估計點估計

（概念要點）從總體中抽取一個樣本，根據(jù)該樣本的統(tǒng)計量對總體的未知參數(shù)作出一個數(shù)值點的估計例如:用樣本均值作為總體未知均值的估計值就是一個點估計2. 點估計沒有給出估計值接近總體未知參數(shù)程度的信息點估計的方法有矩估計法、順序統(tǒng)計量法、最大似然法、最小二乘法等1. 用于估計總體某一參數(shù)的隨機變量如樣本均值，樣本比例、樣本中位數(shù)等例如:樣本均值就是總體均值的一個估計量如果樣本均值x

=3，則3

就是的估計值理論基礎(chǔ)是抽樣分布估計量

（概念要點）估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

（無偏性）無偏性：估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)P(X)XCA無偏有偏估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

（有效性）AB中位數(shù)的抽樣分布均值的抽樣分布XP(X)有效性：一個方差較小的無偏估計量稱為一個更有效的估計量。如，與其他估計量相比，樣本均值是一個更有效的估計量估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則

（一致性）一致性：隨著樣本容量的增大，估計量越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X第二節(jié)區(qū)間估計區(qū)間估計

（概念要點）1. 根據(jù)一個樣本的觀察值給出總體參數(shù)的估計范圍給出總體參數(shù)落在這一區(qū)間的概率例如:總體均值落在50~70之間，置信度為95%樣本統(tǒng)計量

(點估計)置信區(qū)間置信下限置信上限置信區(qū)間估計

（內(nèi)容）2

已知2未知均值方差比例置信區(qū)間落在總體均值某一區(qū)間內(nèi)的樣本x_XX=Zx95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率表示為(1-為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率常用的顯著性水平值有

99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含1-aa/2a/2影響區(qū)間寬度的因素1. 數(shù)據(jù)的離散程度，用來測度樣本容量，3. 置信水平(1-)，影響

Z的大小第三節(jié)總體均值和總體比例

的區(qū)間估計一.總體均值的區(qū)間估計二.總體比例的區(qū)間估計樣本容量的確定總體均值的區(qū)間估計

(２已知)總體均值的置信區(qū)間

(２已知)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且總體方差（２）已知如果不是正態(tài)分布，可以由正態(tài)分布來近似

(n

30)使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Ｚ總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計

（正態(tài)總體：實例）解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14,n=9,1-=0.95，Ｚ/2=1.96

總體均值的置信區(qū)間為我們可以95％的概率保證該種零件的平均長度在21.302～21.498mm之間【例】某種零件長度服從正態(tài)分布，從該批產(chǎn)品中隨機抽?。辜瑴y得其平均長度為21.4mm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差

=0.15mm，試建立該種零件平均長度的置信區(qū)間，給定置信水平為0.95?？傮w均值的區(qū)間估計

（非正態(tài)總體：實例）解：已知x＝26,=6，n=100,1-=0.95，Ｚ/2=1.96我們可以95％的概率保證平均每天參加鍛煉的時間在24.824～27.176分鐘之間【例】某大學(xué)從該校學(xué)生中隨機抽取100人，調(diào)查到他們平均每天參加體育鍛煉的時間為26分鐘。試以95％的置信水平估計該大學(xué)全體學(xué)生平均每天參加體育鍛煉的時間（已知總體方差為36小時）?？傮w均值的區(qū)間估計

(２未知)總體均值的置信區(qū)間

(２未知)1. 假定條件總體方差（２）未知總體必須服從正態(tài)分布使用t分布統(tǒng)計量3.總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計

（實例）解：已知Ｘ~N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。我們可以95％的概率保證總體均值在46.69～53.30之間【例】從一個正態(tài)總體中抽取一個隨機樣本，n=25

，其均值`x=

50

，標(biāo)準(zhǔn)差s=8。建立總體均值m

的95%的置信區(qū)間?？傮w比例的區(qū)間估計總體比例的置信區(qū)間1. 假定條件兩類結(jié)果總體服從二項分布可以由正態(tài)分布來近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Ｚ3.總體比例Ｐ

的置信區(qū)間為總體比例的置信區(qū)間

（實例）解：已知n=200，＝0.7,n=140>5,n(1-)=60>5，=0.95，Ｚ/2=1.96p

p

p

我們可以95％的概率保證該企業(yè)職工由于同管理人員不能融洽相處而離開的比例在63.6%~76.4%之間【例】某企業(yè)在一項關(guān)于職工流動原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機選取了200人組成一個樣本。在對其進行訪問時，有140人說他們離開該企業(yè)是由于同管理人員不能融洽相處。試對由于這種原因而離開該企業(yè)的人員的真正比例構(gòu)造95%的置信區(qū)間。樣本容量的確定根據(jù)均值區(qū)間估計公式可得樣本容量n為估計總體均值時樣本容量的確定樣本容量n與總體方差2、允許誤差、可靠性系數(shù)Z之間的關(guān)系為與總體方差成正比與允許誤差成反比與可靠性系數(shù)成正比其中：樣本容量的確定

（實例）解:已知2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，=500

應(yīng)抽取的樣本容量為【例】一家廣告公想估計某類商店去年所花的平均廣告費用有多少。經(jīng)驗表明，總體方差約為1800000元。如置信度取95%，并要使估計處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)抽多大的樣本？根據(jù)比例區(qū)間估計公式可得樣本容量n為估計總體比例時樣本容量的確定若總體比例P未知時，可用樣本比例來代替

p^其中：樣本容量的確定

（實例）【例】一家市場調(diào)研公司想估計某地區(qū)有彩色電視機的家庭所占的比例。該公司希望對比例p的估計誤差不超過0.05，要求的可靠程度為95%，應(yīng)抽多大容量的樣本（沒有可利用的p估計值）。解:

已知=0.05，=0.05，Z/2=1.96，當(dāng)p未知時用最大方差0.25代替^應(yīng)抽取的樣本容量為第四節(jié)兩個總體均值及兩個

總體比例之差估計一.兩個總體均值之差估計二.兩個總體比例之差估計兩個總體均值之差的估計兩個樣本均值之差的抽樣分布

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布兩個總體均值之差的估計

(12、22

已知)1. 假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都服從正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個獨立樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其期望值為其標(biāo)準(zhǔn)誤差為兩個總體均值之差的估計

(12、22

已知)兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為使用正態(tài)分布統(tǒng)計量Z兩個總體均值之差的估計

（實例）【例】一個銀行負(fù)責(zé)人想知道儲戶存入兩家銀行的錢數(shù)。他從兩家銀行各抽取了一個由25個儲戶組成的隨機樣本，樣本均值如下：銀行A：4500元；銀行B:3250元。設(shè)已知兩個總體服從方差分別為A2=2500和B2=3600的正態(tài)分布。試求A-B的區(qū)間估計（1）置信度為95%（2）置信度為99%BA兩個總體均值之差的估計

（計算結(jié)果）解:已知

XA~N(A,2500)

XB~N(B,3600)xA=4500，xB=3250，

A2=2500

B2=3600

nA=nB

=25(1)

A-B置信度為95%的置信區(qū)間為(2)

A-B置信度為99%的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計

(12、22未知，但相等)假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布12、12未知，但12＝12總體方差2的聯(lián)合估計量為估計量x1-x2的標(biāo)準(zhǔn)差為兩個總體均值之差的估計

(12、22未知，但相等)使用t

分布統(tǒng)計量兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計

（實例）【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結(jié)算賬目的平均時間長度，分別給兩位職員隨機安排了10位顧客，并記錄下為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時間均服從正態(tài)分布，且方差相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時間之差的95%的區(qū)間估計。21兩個總體均值之差的估計

（計算結(jié)果）解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=1012=121-2置信度為95%的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計

(12

、22未知，且不相等)假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布12、12未知，且1212使用的統(tǒng)計量為自由度兩個總體均值之差的估計

(12、22未知，且不相等)

兩個總體均值之差1-2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計

（續(xù)前例）【例】為比較兩位銀行職員為新顧客辦理個人結(jié)算賬目的平均時間長度，分別給兩位職員隨機安排了10位顧客，并記錄下了為每位顧客辦理賬單所需的時間（單位：分鐘），相應(yīng)的樣本均值和方差分別為：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位職員辦理賬單所需時間均服從正態(tài)分布，但方差不相等。試求兩位職員辦理賬單的服務(wù)時間之差的95%的區(qū)間估計。12兩個總體均值之差的估計

（計算結(jié)果）

自由度f為1-2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

X1~N(1,2)

X2~N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，

s12=16.63s22=18.92

n1=n2=101212兩個總體比例之差的估計1. 假定條件兩個總體是獨立的兩個總體服從二項分布可以用正態(tài)分布來近似2. 兩個總體比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體比例之差的區(qū)間估計兩個總體比例之差的估計

（實例）【例】某飲料公司對其所做的報紙廣告在兩個城市的效果進行了比較，它們從兩個城市中分別隨機地調(diào)查了1000個成年人，其中看過廣告的比例分別為p1=0.18和p2=0.14。試求兩城市成年人中看過廣告的比例之差的95%的置信區(qū)間。^^綠色健康飲品兩個總體比例之差的估計

（計算結(jié)果）P1-P2置信度為95%的置信區(qū)間為解:已知

p1=0.18，p2=0.14，1-=0.95，n1=n2=1000^^我們有95%的把握估計兩城市成年人中看過該廣告的比例之差在0.79%~7.21%之間第五節(jié)正態(tài)總體方差及兩正

態(tài)總體方差比的估計一.正態(tài)總體方差的區(qū)間估計二.兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計正態(tài)總體方差的區(qū)間估計正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

（要點）1. 估計一個總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布總體方差

2

的點估計量為S2,且4.總體方差在1-置信水平下的置信區(qū)間為正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

（實例）【例】對某種金屬的10個樣品組成的一個隨機樣本作抗拉強度試驗。從實驗數(shù)據(jù)算出的方差為4。試求2的95%的置信區(qū)間。正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

（計算結(jié)果）解:已知n＝10，s2＝4，1-＝95%