數(shù)值分析第二章復(fù)習(xí)與思考題

第二章復(fù)習(xí)與思考題1.什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構(gòu)造的？有何重要性質(zhì)？答：若n次多項式lj(X)(j=0,1，…,n)在n+1個節(jié)點x0＜?xì)猓???＜x上滿足條件<1,k=j,[0,k。j,j,k=0,1,…,n,則稱這n<1,k=j,[0,k。j,j,k=0,1,…,n,則稱這n+1個n次多項式l(X)l(x)…,l(x)為節(jié)點x,x，…,x上的n次拉格朗日插值0 1 n 0 1 n基函數(shù).以lkG)為例，由lkG)所滿足的條件以及l(fā)kG)為n次多項式，可設(shè)lk(x)"G-x)…(x-x)x-x)…(x-x)，

0 k-1 k+1 n其中A為常數(shù)，利用lk?)=1得1=A(xk-x)…(x-xK-x)…(x-x)，

0k k-1 k k+1 kn、/ 1/ 、/ 、,-x)—(x-x~)x-x~)…C-x)，k0k k-1 k k+1 kn7/、(x-x)—(x-xK-x)—(x-x)nl(x)=( )~( k_1Vk+^~(—n~~)=nk vx一x)—(x一x)(x一x)—(x一x)k k-1k k+1 knk-x0x一x jj=0x*jj豐k對于l(x)(i=0,1，…,n)i有不xkl(x)=xkk=0,1,—,n，iii=0特別當(dāng)k=0時，有乎l(x)=1.ii=02.什么是牛頓基函數(shù)？它與單項式基｛x,…,xn｝有何不同?基函數(shù)答：稱￡,x-x,(x-x)x-x)…,(x-x)…(x-x)｝為節(jié)點x,x，…,x上的牛頓0 0 1 0 n-1 01 n利用牛頓基函數(shù)，節(jié)點x,x，…,x上的n次牛頓插值多項式PG)可以表示為01 n nP(x)=a+a(x-x) +a(x-x)…(x-x)n 0 1 0 n 0 n-1=fR,氣,…,xk1k=0,1,…,n.與拉格朗日插值多項式不同，牛頓插值基函數(shù)在增其中ak加節(jié)點時可以通過遞推逐步得到高次的插值多項式，例如P(x)=P(x)+a(x-x)…(x-x)

k+1 k k+1 0 kTOC\o"1-5"\h\z其中a是節(jié)點x,x,…,x上的k+1階差商，這一點要比使用單項式基1,X,…,xnk+1 01 k+1得多.什么是函數(shù)的n階均差？它有何重要性質(zhì)？答：稱ftx,x]=fGjfG0)為函數(shù)f(x)關(guān)于點x,x的一階均差，0k x-x 0kf\x,x]-f\x,x]」= —J0，1為f(x)的二階均差.一般地，稱x一x」 1ftx，…,x,x]-ftx,x，…,x] (),,f|x,x，…x」=0 n-2_n0~1 n-^為f板)的n階均差.01n x一x均差具有如下基本性質(zhì):n階均差可以表示為函數(shù)值f煩)fGJ…,f?)的線性組合，即fLx...x]—歹r、r f\j 、01n ^^^^x^^一xJ—0j0j j-1j j+1 jn該性質(zhì)說明均差與節(jié)點的排列次序無關(guān)，即均差具有對稱性.J ]f|x,x，…,x]-f|x,x,…,x]TOC\o"1-5"\h\zfLx,x，…x-I— 1_2 n 0_1 n-^.01n x-x⑶若f(x)在a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù)且節(jié)點x,x,…,xg⑶若f(x)在a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為fL,x,.x]—f頃)，&gCz,b].01n n!寫出n+1個點的拉格朗日插值多項式與牛頓均差插值多項式，它們有何異同?答：給定區(qū)間偵b]上n+1個點a<x<x<…<x<b上的函數(shù)值y,—f(xi)(i—0,1,…,n)，則這n+1個節(jié)點上的拉格朗日插值多項式為L(x)-^y"(x),k—0其中i其中i(x)—rfx-xj—0VkXjyjNk這n+1個節(jié)點上的牛頓插值多項式為P(x)=a+a(x-x) FaG-x).??G-x),n 0 1 0 n 0 n-1其中a=flx,x，…,x],k=0,1,…,n為fG)在點x,x,…，x上的k階均差.k 0 1k 0 1k由插值多項式的唯一性，、（x）與P（x）是相同的多項式，其差別只是使用的基底不同，牛頓插值多項式具有承襲性，當(dāng)增加節(jié)點時只需增加一項，前面的工作依然有效，因而牛頓插值比較方便，而拉格朗日插值沒有這個優(yōu)點.插值多項式的確定相當(dāng)于求解線性方程組Ax=y，其中系數(shù)矩陣A與使用的基函數(shù)有關(guān).y包含的是要滿足的函數(shù)值（y0,七,…,yn>.用下列基底作多項式插值時，試描述矩陣A中非零元素的分布.（1）單項式基底；（2）拉格朗日基底；（3）牛頓基底.答：（1）若使用單項式基底，則設(shè)P（x）=a+ax+…+axn，其中a,a,…,a為待TOC\o"1-5"\h\zn 0 1 n 0 1 n定系數(shù)，利用插值條件，有f.a+ax+ +axn=y0 10 n0 0a+ax+ +axn=y<0 11 n1 1，a+ax+ +axn=y0 1n nnn因此，求解Ax=y的系數(shù)矩陣A為1 x ..?xn0 01 x?xnA= 1 11x?-xnnn為范德蒙德矩陣.(2)若使用拉格朗日基底，則設(shè)L(x)=al(x)+al(x)+…+al(x)，其中l(wèi)G)為n 00 11 nn k拉格朗日插值基函數(shù)，利用插值條件，有al(x)+al(x) +al(x)=y00/0、11/0、 nn/0、0alG)+alG) +alG)=y001111 nn1 1 [al(x)+al(x)+?+al(x)=y00n11n nnnn由拉格朗日插值基函數(shù)性質(zhì)，求解Ax=y的系數(shù)矩陣A為

為單位矩陣.(3)若使用牛頓基底為單位矩陣.(3)若使用牛頓基底則設(shè)P(x)=a+a(x一x) +a(x一x)…(x一x)，由插n 0 1 0 n 0 n-1值條件a+a(x-x) +a(x-x)...(x-x)=yTOC\o"1-5"\h\z0 1/0 0、 n/0 0、 /0 n-1\ 0a+aG-x) +aG-x)—G-x)=y0 1 1 0 n1 0 1 n-1 1a+a(x-x) +a(x-x)...(x-x)=y0 1n0 nn0 nn-1nan-x)=yV0 110 1(x-x) +a(x-x)..?(￥-x )=ynn0 n n-1 n故求解Ax=y的系數(shù)矩陣A為x-x (x-x)x-x)...(x-x)x-x)...(x-x)n0n0n1 n0n1 n n-1-為下三角矩陣.用上題給出的三種不同基底構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序.答：若用上述三種構(gòu)造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，則工作量由低到高分別為拉格朗日基底，牛頓基底，單項式基底.給出插值多項式的余項表達(dá)式，如何用它估計截斷誤差？答：設(shè)f(n)(x)在a,b\上連續(xù)，f如)。在(a,b)內(nèi)存在，節(jié)點a<x<x<???<x<b，LG)是滿足條件L(x)=y,j=0,1，…,n的插值多項式，則0 1 n n njj對任何xga,混，插值余項R(x)=fGf 氣+1⑴，這里&G(a,^)且與x有關(guān)，w(x)=(x-x)(x-x)…(x-x).n+1 0 1 n若有max|f(n+i)G)=M+1，則LG)逼近fG)的截斷誤差a<x<b^nGk扁"n+1Q-埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什么是泰勒多項式？它是什么條件下的插值多項式？答：一般函數(shù)插值要求插值多項式與被插函數(shù)在插值節(jié)點上函數(shù)值相等，而埃爾米特插值除此之外還要求在節(jié)點上的一階導(dǎo)數(shù)值甚至高階導(dǎo)數(shù)值也相等稱pn(x)=fGo)+f，G°)X-xo)+...+十G-為fG)在點xo的泰勒插值多項式，泰勒插值是一個埃爾米特插值，插值條件為Pu)G)=f(k)G)k=0,1,???,n，n0 0泰勒插值實際上是牛頓插值的極限形式，是只在一點xo處給出n+1個插值條件得到的n次埃爾米特插值多項式.為什么高次多項式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個高次多項式插值相比有何優(yōu)點？答：對于任意的插值結(jié)點，當(dāng)n-8時，LG)不一定收斂于fG)，如對龍格函數(shù)做n高次插值時就會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，因而插值多項式的次數(shù)升高后，插值效果并不一定能令人滿意.分段低次插值是將插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上進(jìn)行低次插值，這樣在整個插值區(qū)間，插值多項式為分段低次多項式，可以避免單個高次插值的振蕩現(xiàn)象三次樣條插值與三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個更優(yōu)越？請說明理由.答：三次樣條插值要求插值函數(shù)s(x)gC2a,b］，且在每個小區(qū)間Lj.,x++1］上是三次多項式，插值條件為s，)=七,j=0,1,,n.三次分段埃爾米特插值多項式ihG)是插值區(qū)間a,。］上的分段三次多項式，且滿足ihg)gc1a,b］，插值條件為I(x)=f(x)，I'(x)=f,(x),(k=0,1，…,n).hk khk k分段三次埃爾米特插值多項式不僅要使用被插函數(shù)在節(jié)點處的函數(shù)值，而且還需要節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值，且插值多項式在插值區(qū)間是一次連續(xù)可微的.三次樣條函數(shù)只需給出節(jié)點處的函數(shù)值，但插值多項式的光滑性較高，在插值區(qū)間上二次連續(xù)可微，所以相比之下，三次樣條插值更優(yōu)越一些.確定n+1個節(jié)點的三次樣條插值函數(shù)需要多少個參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什么條件？答：由于三次樣條函數(shù)sG)在每個小區(qū)間上是三次多項式，所以在每個小區(qū)間X,七書］上要確定4個待定參數(shù)，n+1個節(jié)點共有n個小區(qū)間，故應(yīng)確定4n個參數(shù)，而根據(jù)插值條件，只有4n-2個條件，因此還需要加上2個條件，通常可在區(qū)間la,混的端點a=x0，b=x&上各加一個邊界條件，常用的邊界條件有3種：已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即Sf(x)=ff，Sf(x)=ff.0 0 nn已知兩端的二階導(dǎo)數(shù)值，即Sff(x)=f，S"(x)=f,00 nn特殊情況為自然邊界條件S”(x)=0，S"(x)=0.0n當(dāng)fG)是以x.-x0為周期的周期函數(shù)時，要求SG)也是周期函數(shù)，這時邊界條件就滿足S(x+0)=S(x-0)，S'00+0)=S,(x—0)，S"G0+0)=S"(x-0)這時S(x)稱為周期樣條函數(shù).判斷下列命題是否正確？對給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個數(shù)可以任意多.如果給定點集的多項式插值是唯一的，則其多項式表達(dá)式也是唯一的.#=0,1,…,n)是關(guān)于節(jié)點x〔(i=0,1,…,n)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對任何次數(shù)不大于n的多項式P(x)都有況l(x)P(x)=P(x)i ii=0當(dāng)f(x)為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點x,(i=0,1,…,n)為等距節(jié)點，構(gòu)造拉格朗日插值多項式LG)，則n越大L(x)越接