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距離（二）異面直線的距離ABCA1思考：任意兩條異面直線都有公垂線嗎？有多少條公垂線？已知異面直線AA1和BC，直線AB與異面直線AA1，BC都垂直相交。和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段。定理一：任意兩條異面直線有且只有一條公垂線。存在性：abPa’αQMβcBA直線AB就是異面直線a,b的公垂線唯一性：假如還有直線A’B’也是a,b的公垂線，則

A’B’⊥aA’B’⊥ba’//aA’B’⊥a’所以A’B’⊥平面α又AB⊥平面α

AB//A’B’則

a,b共面矛盾！A’B’定理二：兩條異面直線的公垂線段長是分別連結兩條異面直線上兩點的線段中最短的一條。abABCD練習：證明定理二兩條異面直線的公垂線段的長度，叫做兩條異面直線的距離例1：課本P50例2aa’bA’AdEFlmnθ求異面直線的距離的常用方法：（1）找出（或作出）公垂線，計算公垂線段的長度。（2）轉化為求線面間的距離。abαa//平面α（3）轉化為求平行平面間的距離。abαβa//平面β,b//平面α（2），（3）可進一步轉化為點到平面的距離。（4）用模型公式（5）向量方法：先求兩異面直線的公共法向量，再求兩異面直線上兩點的連結線段在公共法向量上的射影長abEFn例2：如圖，已知空間四邊形OABC各邊及對角線長都是1，D,E分別是OA,BC的中點，連結DE。（1）求證：DE是OA和BC的公垂線。（2）求OA和BC間的距離。OABCDE例3：正方體ABCD——A1B1C1D1中，P為AB中點，Q為BC中點，AA1=a,O為正方形ABCD的中心，求PQ與C1O間的距離。ABCDA1B1C1D1OPQ例4：已知二面角α-l-β的大小是1200，A,C且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a,AC=2a,求（1）BD的長；（2）BD和AC所成角的余弦值；

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